对数函数及其性质教案

对数函数及其性质教案 2.2.2对数函数及其性质（一）隆湖中学教师李江华教学目标（一）教学知识点1对数函数的概念；2对数函数的图象与性质（二）能力训练要求1理解对数函数的概念；2掌握对数函数的图象、性质；3培养学生数形结合的意识（三）德育渗透目标1认识事物之间的普遍联系与相互转化；2用联系的观点看问题；3了解对数函数在生产生活中的简单应用教学重点对数函数的图象、性质教学难点对数函数的图象与指数函数的关系教学过程 一、复习引入 1、指对数互化关系b NN aab?log 2、)10(?a a a yx且的图象和性质a10a1图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质 (1)定义域R （2）值域（0，+） （3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数 3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个?细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x2log?.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是x y2log?.引出新课-对数函数 二、新授内容11对数函数的定义函数x yalog?)10(?a a且叫做对数函数，定义域为),0(?学生思考问题为什么对数函数概念中规定?1,0?a a例例11求下列函数的定义域 （1）2log x ya?； （2）)4(log x ya?；分析此题主要利用对数函数x yalog?的定义域（0，+）求解解 （1）由2x0得0?x,函数2log x ya?的定义域是?0|?x x； （2）由04?x得4?x，函数)4(log x ya?的定义域是?4|?x x； （3）由x-10得x1，函数的定义域是?,122对数函数的图象通过列表、描点、连线作x y2log?与x y21log?的图象思考x y2log?与x y21log?的图象有什么关系？3， （1）根据对称性（关于x轴对称）已知y=3log x的图像，你能画出y=x31log的图像吗？32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801111log)3(7?xy11log7?xy （22）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质. （1）x y2log? （2）x y21log? （3）x y3log? （4）x y31log?44对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质a10a1图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域（0，+）值域R过点（1，0），即当x=1时，y=0)1,0(?x时0?y),1(?x时0?y)1,0(?x时0?y),1(?x时0?y在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数 三、讲解范例例例22比较下列各组数中两个值的大小5.8log,4.3log22；7.2log,8.1log3.03.0；)1,0(9.5log,1.5log?a aa a解考查对数函数x y2log?，因为它的底数21，所以它在（0，+）上是增函数，于是5.8log4.3log22?考查对数函数x y3.0log?，因为它的底数00.31，所以它在（0，+）上是减函数，于是7.2log8.1log3.03.0?小结1两个同底数的对数比较大小的一般步骤确定所要考查的对数函数；根据对数底数判断对数函数增减性；比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小当1?a时，x yalog?在（0，+）上是增函数，于是9.5log1.5loga a?；当10?a时，x yalog?在（0，+）上是减函数，于是9.5log1.5loga a?小结2分类讨论的思想对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握 四、练习11。 （P 73、22）求下列函数的定义域 （1）y=3log(1-x) (2)y=x2log1 (3)y=x311log7?x y3log)4(?（5)416(log2xy? （6）)3(log1x yx?解 （1）由1-x0得x1所求函数定义域为x|x1； (2)由2log x0，得x1，又x0所求函数定义域为x|x0且x1； (3)由31,0310311?xxx得所求函数定义域为x|x31； (4)由?10,0log03xxxx得x1所求函数定义域为x|x1.习练习 2、函数)1,0 (2)1(log?a a x ya的图象恒过定点（） 3、已知函数)1,0()1(log?a a x ya的定义域与值域都是0，1，求a的值。 （因时间而定，选讲） 五、课堂小结对数函数定义、图象、性质；对数的定义，指数式与对数式互换；比较两个数的大小 六、课后作业1阅读教材第7072页；2.习案P191192面。 2.2.2对数函数及其性质（二）教学目标1.教学知识点1对数函数的单调性；2同底数对数比较大小；不同底数对数比较大小；对数形式的复合函数的定义域、值域；对数形式的复合函数的单调性2.能力训练要求4掌握对数函数的单调性；掌握同底数对数比较大小的方法；掌握不同底数对数比较大小的方法；掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；5掌握对数形式的复合函数的单调性；6培养学生的数学应用意识3.德育渗透目标1用联系的观点分析问题、解决问题；认识事物之间的相互转化教学重点1利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；2求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；3求对数形式的复合函数的单调性的方法教学难点1不同底数的对数比较大小；对数形式的复合函数的单调性的讨论教学过程 一、复习引入1对数函数的定义函数x yalog?)10(?a a且叫做对数函数，对数函数x yalog?)10(?a a且的定义域为),0(?，值域为),(? 2、对数函数的性质a10a1图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域（0，+）值域R过点（1，0），即当1?x时，0?y)1,0(?x时0?y),1(?x时0?y)1,0(?x时0?y),1(?x时0?y在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数3书P73面练习35函数y=x+a与x yalog?的图象可能是_ 二、新授内容例例11比较下列各组中两个值的大小6log,7log76；8.0log,log23? （3）6log,7.0,67.067.0解16log7log66?，17log6log77?，6log7log76?01log log33?，01log8.0log22?，8.0log log23?小结1引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小练习1比较大小（备用题）11o x y11o x y11o x yy11o x3.0log7.0log4.03.0?；216.04.3318.0log7.0log?；1.0log1.0log2.03.0?例例2已知x=49时，不等式log a(x2x2)log a(x2+2x+3)成立，求使此不等式成立的x的取值范围.解x=49使原不等式成立.log a249)49(2?log a)3492)49(12?即log a1613log a1639.而16131639.所以y=log a x为减函数，故0a1.原不等式可化为?322032022222x x x xx xx x，解得?2513121xxx x或.故使不等式成立的x的取值范围是)25,2(例例3若函数)10(log)(?a x x fa在区间a，2a上的最大值是最小值的3倍，求a的值。 （42?a）例例4求证函数f(x)=xx?1log2在(0,1)上是增函数.解设0x1x21，则f(x2)f(x1)=212221log log11x xx x?21221 (1)log (1)x xx x?=.11log21122xxxx?0x1x21，12xx1，2111xx?1.则2112211logxxxx?0，f(x2)f(x1).故函数f(x)在(0,1)上是增函数例例5已知f(x)=log a(aa x)(a1). （1）求f(x)的定义域和值域； （2）判证并证明f(x)的单调性.解 （1）由a1，aa x0，而aa x，则x1.故f(x)的定义域为(1,+)，而axa，可知0aaxa，又a1.则log a(aax)lg a a=1.取f(x)1，故函数f(x)的值域为(,1). （2）设x1x21，又a1，1xa2xa，1xa a?a2xa，log a(a1xa)log a(a2xa)，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(1,+)上为减函数.例例6书书P72面例9。 指导学生看书。 例例77（备选题）求下列函数的定义域、值域)52(log22?x x y；)54(log231?x x y；解44)1(5222?x x x对一切实数都恒成立，函数定义域为R从而24log)52(log222?x x即函数值域为),2?要使函数有意义，则须5105405422?x x x x x，由51?x在此区间内9)54(max2?x x，95402?x x从而29log)54(log31231?x x即值域为2?y，定义域为-1,5，值域为),2?例例8（备选题）已知f(x)=log ax(a0，a1)，当0x1x2时，试比较)2(21x xf?与)()(2121x f x f?的大小，并利用函数图象给予几何解释.【解析】因为12121()()()22x xff x fx?12121loglog log22aaax xxx?=212121212log log2logx xx xx xxxa aa?又0x1x2，x1+x2222121)(xxxx?0，即x1+x2221xx，21212xxxx?1.于是当a1时，21212logx xxxa?0.此时)2(21x xf?)()(2121x fx f?同理0a1时)2(21x xf?)()(2121x fx f?或当a1时，此时函数y=log ax的图象向上凸.显然，P点坐标为)2(21x xf?，又A、B两点的中点Q的纵坐标为21f(x1)+f(x2)，由几何性质可知)2(21x xf?)()(2121x fx f?.当0a1时，函数图象向下凹.从几何角度可知21212logx xxxa?0，此时)2(21x xf?)()(2121x fx f? 四、课堂小结2比较对数大小的方法；B x1221xx?x2x yQ A(x1,f(x1)()(21,2(2121x fx fxx?(x2,f(x2)22(2121xxx xP?2对数复合函数单调性的判断；3对数复合函数定义域、值域的求法 五、课后作业1习案P193与与P195面。 备选题2讨论函数)1(log)(22?xx f在)0,(?上的单调性（减函数）3.已知函数y=alog(2-xa)在0，1上是减函数，求a的取值范围解a0且a1,当a1时，1a2.当0 一、复习引入 1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt，其中速度v是常量，定义域t?0，值域s?0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vst?，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数，定义域s?0，值域t?0问题函数s=vt的定义域、值域分别是什么？问题函数vst?中，谁是谁的函数？问题函数s=vt与函数vst?之间有什么关系？ 2、又如，在函数y2x6中，x是自变量，y是x的函数，定义域x?R，值域y?R我们从函数y2x6中解出x，就可以得到式子32?yx这样，对于y在R中任何一个值，通过式子32?yx，x在R中都有唯一的值和它对应因此，它也确定了一个函数y为自变量，x为y的函数，定义域是y?R，值域是x?R 3、再如指数函数xa y?中，x是自变量，y是x的函数，由指数式与对数式的互化有y xalog?对于y在（0，+?）中任何一个值，通过式子y xalog?，x在R中都有唯一的值和它对应因此，它也确定了一个函数y xalog?，y为自变量，x为y的函数，定义域是y?（0，+?），值域是x?R 二、讲解新课1反函数的定义一般地，设函数)(A xx f y?的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x=?(y)若对于y在C中的任何一个值，通过x=?(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=?(y)(y?C)叫做函数)(A xx fy?的反函数，记作)(1y fx?，习惯上改写成)(1x fy?开始的两个例子s=vt记为vt tf?)(，则它的反函数就可以写为vtt f?)(1，同样62?x y记为62)(?xx f，则它的反函数为32)(1?xx f讨探讨1所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x fy?来说，不一定有反函数，如2x y?，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，2x y?，),0?x有反函数是x y?讨探讨2互为反函数定义域、值域的关系函数)(x fy?反函数)(1x fy?定义域A C值域C A讨探讨3)(1x fy?的反函数是什么？若函数)(x fy?有反函数)(1x fy?，那么函数)(1x fy?的反函数就是)(x fy?，这就是说，函数)(x fy?与)(1x fy?互为反函数奎屯王新敞讨探讨4探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论 （1）函数)(x fy?的图象和它的反函数)(1x fy?的图象关于直线xy?对称 （2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性 三、讲解例题例例1求下列函数的反函数)(13R xxy?；)(13R xxy?.解由13?xy解得31?yx函数)(13R xxy?的反函数是)(31R xxy?，由)(13R xxy?解得x=31?y，函数)(13R xxy?的反函数是)(13R xxy?小结求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明例例2函数log (1)ay x? (01)aa?且的反函数的图象经过点（1，4），求a的值.【解析】根据反函数的概念，知函数log (1)ay x? (01)aa?且的反函数的图象经过点（4，1），1log3a?，3a?.【小结】若函数()y fx?的图象经过点(,)a b，则其反函数的图象经过点(,)b a.例例3已知函数1)(?xx fy，求)3(1?f的值解方法一0?x1?y由1?xy解得2)1(?y x)1()1()(21?xxxf为原函数的反函数，)3(1?f4方法二由反函数的定义得13?x，解得x4，即)3(1?f4习练习1求下列函数的反函数 （1）y=x4(xR), (2)y=x25.0(xR