高二数学讲座分类讨论人教

用心 爱心 专心 122 号编辑 1 高二数学专题讲座高二数学专题讲座 分类讨论分类讨论 一 本周教学内容 专题讲座 分类讨论 一 学习指导 在解 或证 某些数学问题时 往往会由问题的不同情况而采取不同的转化方 法 或得出不同的结论 因而这类数学问题的求解就必须 分类讨论 这与我们 日常工作中 要特别注意 分别情况区别对待 是完全一致的 二 何时需要分类讨论 1 某种运算可否实施情况不定 如 取对数时 真数大于零 底数大于零且不等于 1 的条件得不到保证 2 式子变形的条件能否具备情况不定 如 不等式两边同乘 或除 一个数的正 负不定时 3 函数的某种性质定理具备情况不定 如 指数函数与对数函数由于底 a 的取值范围不定而导致的函数的增 减不定 4 解析几何中 曲线方程的类型不定 三 分类讨论遵循 不重不漏 的基本原则 1 对每一个基本公式 基本性质的适用范围 对每一种运算实施的条件 都能 准确地把握 2 思考问题时 切忌极端和片面 力争统观全局 3 在分类讨论的全过程中 要坚持同一个分类的标准 四 分类讨论的类型题 不含参数的讨论问题 含有参数的讨论问题 1 2 典型例题典型例题 1 不含有参数的讨论问题 例 1 解不等式 logxxx5832 2 解 解 loglog xx xxx583 22 01 5830 583 1 5830 583 2 22 2 22 x xx xxx x xx xxx 或 用心 爱心 专心 122 号编辑 2 1 2 3 5 3 2 xx或 原不等式的解集为或xxx 1 2 3 5 3 2 例 2 解不等式 xx 311 分析 分析 此题要按零点分类去掉绝对值符号 1 3 x 零点为和xx 13 应该分三类求解 当时 11 1 311 1 x x xx x 当时 213 13 311 13 1 2 1 2 3 x x xx x x x 当时 33 3 311 3 41 3x x xx x x 综上 原不等式的解集为 1 2 例 3 设 为椭圆的两个焦点 为椭圆上的点 已知 FF xy PPFF 12 22 12 94 1 是一个直角三角形的三个顶点 且 求的值 PFPF PF PF 12 1 2 分析 分析 因 P F1 F2是一直角三角形的三个顶点 且 PF1 PF2 则直角顶点 有两种可能性 点 F2或点 P 故有两解 解 解 椭圆方程为 xy 22 94 1 abc325 用心 爱心 专心 122 号编辑 3 PFPFaF Fc 1212 2622 5 P F1 F2 x 当时 设 则1906 2112 PF FPFxPFx o xxx 2 2 206 14 3 PFPF 12 14 3 4 3 PF PF 1 2 7 2 当时 设 2906 1212 F PFPFxPFx o xxxx 2 2 2 62 542或 舍 PFPF 12 42 PF PF 1 2 4 2 2 y 2 F1 F2 x 2 P 答 若时 若时 PF F PF PF F PF PF PF oo 21 1 2 12 1 2 90 7 2 902 2 含有参数的分类讨论问题 例 1 已知 求证 aba ba b abba 00 用心 爱心 专心 122 号编辑 4 证明 证明 a b a b ab a b ab ba a ba b a b 又 ab 00 当时 10101ab a b ab a b a b 当时 20101ab a b ab a b a b 当时 300101ba a b ab a b a b 上述三种情况均说明 即 a b a ba b a b abba 1 例 2 解关于 的不等式 xaxx 2 210 解 解 当时 原不等式10210 1 2 axx 当时 原不等式21101 2 axx 当时 3044 22 1 2 aax a a x a a x a a 12 11 2 11 aaxx 0210 2 解集为 1111a a x a a 当时 401 1111 12 ax a a x a a 解集为 或x a a x a a 1111 当时 原不等式的判别式51440aa 解集为 R 用心 爱心 专心 122 号编辑 5 综上 原不等式的解集为 当时 10 1111 ax a a x a a 当时 20 1 2 axx 当时 或301 1111 axx a a x a a 当时 411axx 当时 51aR 例 3 解关于 的不等式 x xa xa aR 2 0 解 解 xa xa xa xa 2 2 00 要求出这个一元二次不等式的解就必须先比较 a2与 a 的大小 a2 a a a 1 当或时101001 2 aaa aaa 原不等式的解集为 x axa 2 当时201001 2 aaa aa 原不等式的解集为 x axa 2 当或时301001 2 aaa aaa 原不等式的解集为 综上 原不等式的解集为 当或时 101 2 aax axa 当时 201 2 ax axa 当或时 原不等式的解集为301aa 说明 1 在严格分类标准下 分类讨论要做到不重不漏 但也不要分得过细 过 碎 用心 爱心 专心 122 号编辑 6 2 不等式的解集要按参数的分类写出 千万不可以合并 例 4 函数的图象与 轴只有一个公共点 求实f xmxmxx 1211 2 数 m 的值及这个交点的坐标 分析 分析 因为已知条件未指明 f x 是 x 的二次函数 故当 x2的系数为零时 f x 是一次函数 当 x2的系数不为零时 f x 是二次函数 因此要分类讨论 解 解 mR 有以下两种情况 当时 是一次函数 其图象为一条直线1110mmf x 当时 图象与 轴只有一个交点 符合题意mf xxx 141 1 4 0 当时 直线与 轴无交点 但mf xyxmm 11111 当时 2mm 110 f x 是 x 的二次函数 其图象为开口向上的抛物线 抛物线 f x 与 x 轴只有一个交点 抛物线 f x 与 x 轴必相切 41410 2 mm 即 mmm 2 20 当且时 式化为 mmmm 0130 2 mm03或 mm 00 为所求 此时 f xxxx 2 2 211 抛物线与 轴的公共点为 f xx 10 当且时 式化为 mmmm 010 2 mm01或 又 此时无解 m 0 综上所述 所求实数 m 的值为 1 和 0 用心 爱心 专心 122 号编辑 7 当时 公共点为 当时 公共点为 m m 1 1 4 0 010 注 一般在化去绝对值符号时要注意分类讨论 1 已知双曲线的两条渐近线的夹角为 求双曲线的离心率 60o 2 求过点 P 0 4 与抛物线只有一个公共点的直线 yx 2 2 3 解关于 x 的不等式 ax x aR 1 1 参考答案参考答案 1 解 解 y x 60 30 c b 或 a a 或 b 1 当双曲线焦点在 x 轴上时 a c c a o cos30 2 3 3 2 当双曲线的焦点在 y 轴上时 a c c a o sin302 综上 双曲线的离心率为或 2 2 3 3 2 解 解 过点 P 0 4 与抛物线只有一个公共点的直线有 3 条 yx 2 2 y 4 y 4 x 1 当斜率不存在且过点 P 0 4 时 直线方程为 x 0 2 当斜率存在且为时 过 P 0 4 的直线 k 0y 4 3 当斜率存在且又过点 P 0 4 应与抛物线相切k 0 用心 爱心 专心 122 号编辑 8 消去 y ykx yx 4 2 2 k xkx 22 82160 64324640 1 8 1 8 4 22 kkkk yx 综上 所求过点 P 0 4 且与有一个公共点的直线为 yx 2 2 1 当 k 不存在时 直线为 x 0 2 当时 直线为 k 0y 4 3 当时 直线为 k 0yx 1 8 4 3 解 解 ax x 1 1 axx x xa x 1 1 0 1 110 1 当 即时 原不等式10 aa 1 xx a 1 1 1 0 当时 即a 01 1 11 0 a a a 1 1 1 a 原不等式解为 或x a 1 1 x 1 当时 即01 a1 1 11 0 a a a 1 1 1 a 原不等式解为 或x 1x a 1 1 2 当时 即时 10 aa 1xx 101 3 当时 即时 原不等式10 aa 1 xx a 1 1