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谈数学概念教学-基于科学视角 杭州第七中学胡、问题的提出二、认识数学概念理解2.1 数学概念理解的特点概念是反映客观对象的一般的本质属性的思维形式。数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其特征在思维中的反映，是从现实世界中抽象概括出来的。数学概念理解是对数学概念的内涵和外延的全面的把握。其特点主要有以下几个方面：2.1.1数学概念内涵理解的多样性 内涵是数学概念的本质特征，一般将数学概念的内涵称为数学概念的性质，将最具本质特征的性质用来定义数学概念。而数学概念内涵的其它部分则是以概念的性质、定理或推论等形式存在的，所以在理解数学概念时不能仅进行定义本身的剖析，还要对概念主要性质进行全面的研究才能较好地把握数学概念的内涵另一方面，由于部分性质具有等价性，同一个数学概念的定义方法也可以不同，使得数学概念的定义方式呈现出多样性特点，所以数学概念的理解必须强调对内涵多样性的理解。2.1.2数学概念外延理解的丰富性 外延是数学概念所反映的对象全体由于数学分支构建的特点，同样的数学对象在不同领域或环境中可以呈现不同的形态，这就构成了数学概念的外延的丰富性一个数学概念与多个数学概念之间相比之下会有相同或部分相同的外延，通过它们之间存在的关系，可以研究概念间的相互关系。理解概念的外延不能仅记住几个例子，而是应该比较全面地分析概念间的相互关系，形成概念的网络结构，以及在不同分支中的表述差异和特征。2.1.3数学概念表述理解的抽象性 数学本身是一个逐级抽象的学科，也正是这种抽象性拉开了数学概念与现实之间的关系。数学的抽象是高度的抽象，数学的具体是相对的具体。若要做到理解数学概念，则须做到透过抽象的表述抓住其内涵与外延。因此，只去分析数学概念的表述达不到对概念的真正理解，需要利用与数学概念抽象性表述相关的现实或相对具体地去理解它。2.1.4数学概念符号理解的系统性 数学概念符号之间是有联系的，每几个符号就可以构成一个子系统。数学概念的表达与应用主要是通过符号完成的，理解符号的结构与关系成为理解相关的数学概念的必要环节。我们要利用它们之间的联系，通过符号在符号系统中的大小、顺序和位置等信息去理解数学符号，最终达到对符号子系统所构成的数学概念的理解。2.1.5数学概念应用理解的多变性 数学作为一种通用的科学语言，在许多领域都有不同程度的应用。由于不同领域所表达的对象各不相同，所以导致数学概念形态的多变性。数学在科学中是基础学科，其概念在各个学科中都得到了广泛的应用。利用学生所喜欢的学科帮助学生去理解数学概念，我们可以充分利用数学概念在其它学科的应用背景来促进学生对数学概念多变性的理解。2.1.6数学概念定义理解的逻辑性概念本身就是形式逻辑的基础，数学是逻辑思维的最好应用，逻辑性在数学概念的定义方式中体现得尤为明显。理解数学概念要遵循逻辑的规律，不能独立地去理解单个数学概念，而应该从整体上去把握数学概念。根据已知数学概念去理解与之有关的数学概念是数学概念理解的主要途径。2.1.7数学概念阶段理解的层次性 一个数学概念的形成往往都要经历一个从感性到理性、从低级到高级、从粗糙到严密的发展和演变的过程。人们对数学概念的理解也要经历一个由浅入深、由简到繁、由表及里的过程。在不同的阶段，对同一个数学概念的理解层次也不同。比如，对“函数”这个概念，小学就开始渗透，初中给出初步概念，高中上升到较为严格的“集合-映射”型概念，一直到微积分的学习中，才对函数概念有全面、深刻的理解。三、错误概念对数学概念正确理解的影响学生在学习一个新的数学概念时，在他们的头脑中已形成了一些概念，对一些数学问题和现象都有自己的看法与理解。学生已有的一些概念并不都与所要学习的数学概念表现得十分一致，有时，还可能为“断裂”或“冲突”的，这些为“错误概念“的产生创设了条件。错误概念对数学概念正确理解的影响表现为以下几个方面：3.1日常概念的干扰为什么这些日常概念会干扰学生数学概念的学习呢？这是因为许多表示数学概念的术语是学生在日常生活中所熟悉的，术语的生活意义有时跟它们的科学意义基本一致，但有时和科学意义就完全不同。这些术语意义的一致或不一致，就对学生掌握数学概念便有了不同的影响。当两者不一致时，它们就对学生学习数学概念产生干扰和排斥，结果就会使学生在掌握数学概念的过程中发生困难，产生误解，形成错误概念。一旦学生建构了自己的错误概念，即使学了科学概念，会背科学概念的形式定义，但在他们的意识中仍会潜在地存在错误概念。因而，有些错误几乎是根深蒂固的，具有“顽固性”。3.2用概念意象替代概念定义现代心理学研究表明：数学概念的心理表征在大多数情况下并非由相应的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合物概念意象来定义。作为数学概念的心理表征，概念意象指与所说的概念直接相联系的各种心理成分的总和，包括相应原型的直观形象、心智图像、对其性质及相关过程的记忆等。概念意象的建立过程就是数学对象的内化过程。然而概念意象并不就是概念定义，与数学概念定义的明确性、不变性、抽象性相比，概念意象具有丰富性、个体性、可变性等特征。因此，如果学生不能对头脑中的概念意象建立清醒的自我意识，并自觉地对之做出反思，而以概念意象代替概念定义，那么产生错误就是不可避免的了。原因就是学生在概念意象中记忆原型的相关特征时，往往把个别或一些无关特征也加以“标准化”、“中心化”。例如，学生若以“无分母”作为整式的概念意象就会认为不是整式。3.3迁移的惯性所谓迁移，就是把在一个情境中学到的东西迁移到新情境的能力。所有的学习都涉及到原有经验的迁移，数学概念的学习也需要迁移。迁移量以学生带到学习情境的原有知识为基础，是在原来学习领域和新领域之间重叠部分的函数。因此，迁移也可以是负向的，表现为过去事件中的某类经验会干扰到在相关任务中的执行。当学生用先前经验去建构对新概念的理解时，会产生对新信息的误解，影响数学概念学习。四、数学概念理解的教学策略4.1展示直观、抓住本质、有助于理解概念由于数学概念具有抽象性，为了准确理解概念，可以通过对符合实际的感性材料的抽象、概括，来揭示概念所反映的本质属性，因此在教学中，要密切联系数学概念在现实世界中的实际模型，通过对实物模型的观察，对图形的大小关系、位置关系、数量关系的比较分析、在具有充分感性认识的基础上引入概念。充分利用图形与实例，使抽象的概念直观化、模型化、具体化，使学生加深对概念的理解和掌握。例如，在学习“棱柱”这一节内容时，教师可通过让学生观察长方体、三棱柱、六棱柱、五棱柱，上下底面是梯形的四棱柱，平行六面体等模型，总结它们在形状上的共同特点，这些模型至少有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，然后再得出棱柱的定义。学生自己通过“观察评述，组织结构”得到的概念更容易理解和记忆。又如解析几何中的椭圆等概念的引入，可充分借助于教具或电教手段，把曲线的产生过程加以演示，使学生形成实感，概括出可椭圆的概念的本质特征，从而得出椭圆的概念：“平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆。”同时对椭圆中与的关系认真分析，抓住本质，加深对椭圆概念的领悟。4.2充分提示概念的内涵和外延、有助于理解概念数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式，内涵和外延是构成数学概念的两个重要方面。数学概念的内涵是反映数学对象的本质属性的总和，外延是数学概念所反映对象的全体。充分揭示概念的内涵和外延有助于加深对概念的理解。如三角函数，这样揭示正弦函数值的本质是一个“比值”，它是角的终边上任一点的纵坐标与这一点到原点距离的比值，由于，因此，是一个不超过1的数值；这个比值与点在角的终边上的位置无关，这个比值的大小随的变化而变化，当取某个确定的值时，比值也有唯一确定的值与它对应。如此以函数为基本线索，从中找出自变量、函数以及对应法则，从而对正弦函数理解就比较深刻了。经过对内涵分析后，指出角的终边上任意一点一经确定，就涉及这3个量，任取其中两个量组成比值，有且只有6个，因此基本三角函数只有6个。这样就对三角函数的外延揭示得十分清楚了，从而对三角函数的概念有一个既有“质”又有“量”的完整统一的认识和理解。4.3重视概念的发生过程，有助于理解概念一个数学概念的建立和形成，必须通过学生的亲身体验、主动建构。为此，从引进新概念开始就要创造启发式的态势，促进概念的本质属性和简单的文字表述，再对概念进行结构分析和概念的应用，形成一个生动的概念发生的过程。如在“异面直线”的定义教学中，教材中定义为“不同在任何一个平面内的两条直线”。新课伊始若直接给出这种定义，学生理解难度大。我们在教学中改用与教材定义等价的叙述(更换定义形式)：首先通过观察实物或模型，引导学生将空间中既不平行又不相交的两条直线定义为异面直线(外延定义)；然后根据公理3的推论2得出，a,b为异面直线，即不存在这样的平面，使得直线a与b在平面内(揭示本质属性)。通过逐次抽象，最后概括成教材中的定义。这样，学生就不会认为难以理解了。4.4抓住关键、突破难点、有助于理解概念数学概念本身就较为抽象，在课堂教学中，有些概念的定义中某些关键字眼不易被学生所理解或容易被忽视；有些概念的条件较多，学生常顾此失彼，不易全面掌握；有些概念与它的邻近概念相似，不易区别，使学生认识模糊，易疏漏；有些概念还需逆向分析、多方思考。因此我在教学过程中，引导学生对概念的难点进行认真分析，突破难点。如在双曲线概念的教学中，当得出双曲线定义：“平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线”之后，我让学生讨论这样的几个问题：（1）将定义中的“小于”改为“等于”或“大于”，其点的轨迹又是什么呢？（2）将“绝对值”三个字去掉，其结果又如何呢？（3）令定义中的常数为0，其余不变，其点的轨迹又是什么呢？（4）将括号中的小于去掉后，如何讨论点的轨迹？通过上述问题的讨论与解答，并结合动画演示，使学生们对于双曲线的定义中的“绝对值”、“常数小于”以至整个概念就有了较为深刻的理解，从而深化了知识。4.5把握概念教学的层次性、有助于理解概念一个数学概念的建立和形成需要一个过程，须分层次递进，低层次的理解是高层次理解的基础，各层次之间最好不要越级，任何急功近利的想法或做法都是不可取的，一个数学概念的理解和掌握应是一个螺旋式上升的过程。4.6重视概念的系统化和网络化、加深理解概念由于学生理解和掌握概念有一个反复加深的过程，有些概念的理解，一般不是一次可以完成的，教师应有计划地使学生不断丰富和加深理解所学的概念。可以通过单元复习或阶段复习的方式使所学有关概念系统化和网络化，在纵横联系中对概念加以深刻的理解。如关于角的概念的深化和系统化。（1）平面角：1)从一点出发的两条射线所组成的图形(静态的定义)；2)以一条射线的端点为顶点旋转所成的图形(顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角，不作任何旋转为零角)(动态的定义)。（2）异面直线所成的角：在空间任意取一点，分别引两条异面直线的平行线所成的锐角或直角叫做两条异面直线所成的角。（3）直线与平面所成的角：若直线在平面内或直线与平面平行，规定它们所成角为0o；若直线与平面垂直，规定它们所成角为90o；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。（4）二面角：平面角二面角图形定义从平面内一点引两条射线(半直线)所组成的图形从空间一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形表示法AOB二面角a二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。使“角”的概念形成一个良好的认知结构，还需要进一步认识到空间的“异面直线所成的角”、“ 直线与平面所成的角”、“二面角”，都是在“平面角”概念的基础上发展和推广的；同时，这些空间中的角又都是转化为“平面角”来表示和计算的，进而揭示了从平面到空间，再由空间到平面的转化思想，使学生头脑中形成了较为系统的“角”的体系，这样不但可使学生的知识、概念网络化而且也可培养学生的综合能力。总之，数学是一门应用相当广泛的学科，其概念自然为数不少。在平时的教学中，学生对数学概念理解模糊的情况时有发生，学生对数学概念掌握和理解的程度，直接影响到其它数学知识的学习。因此，在实际教学中，我们一定要重视数学概念的教学，实现对概念的深入理解。而如何才能使学生对数学的概念从内涵到外延都能用自己内化后的方式进行理解并加以记忆，这就需要我们数学教师不断的加强对概念教学的深入研究，提高其教育艺术。特别是当我们再面对学生的“错解”与“不解”时，我相信只要教师在教态上要给学生以亲切感和行为美，创造一个融洽的教学气氛，引起学生共鸣，使学生心情舒畅、思维活跃，毫无保留地将自己头脑中的错误概念倾吐出来，成为教师启发诱导的材料。教师与学生平等地探讨物理概念，好像“有缘千里来相会”，定会为概念教