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第八章随机积分 ito积分 第一节引言 第二节ito积分的理论 第三节ito积分的特征 第四节ito定理及应用 第五节更复杂情况下的ito公式 第一节引言 一 ito积分的导出 在物理现象中是用微分方程来描述其模型 而建立微分方程是从导数定义出发 并可根据微分与积分的关系 建立相应的积分方程 但在随机环境中 由于不可预测的 消息 不断出现 并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数 这就无法定义一个有效的导数 建立一个微分方程 然而 在某些条件下可以定义一个积分 ito积分 建立积分方程 首页 前面讨论的随机微分等式 其中的项都只是近似讨论 而没给出精确的解释 但如果给出ito积分的定义 反过来才能更确切地讨论 即若用微分方程 代表资产价格的动态行为 那么能否对两边取积分 即 也就是说 是否等式右边第二项的积分有意义 为解释此项积分的含义 需引进ito积分 首页 也就是说 一旦定义ito积分 则上积分等式才有意义 即有 其中h为一定的时间间隔 若 则上等式改写为 即 或 这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式 首页 此表示式为一近似式 其精确公式为 二 ito积分的重要性 首先 随机微分方程只能根据ito积分方程来定义 要理解随机微分方程的真正含义 必须首先理解ito积分 其次 在实际运用当中 经常先用固定的时间间隔 得出随机微分方程的近似值 然后再通过ito积分就可以给出近似值的精确形式 返回 首页 第二节ito积分的理论 ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和 布朗运动 如果 标准布朗运动 一 ito积分的定义 首页 定义1 满足 作和式 如果均方极限 存在 则称 记为 首页 注意 在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式 原因是 即 所以这里取固定的左端点 定理1 首页 定理2 则 证 令 则 首页 因为 0 首页 例1 解 试求 故 首页 注 表明ito随机积分不同于黎曼积分 二 ito积分的性质 性质1 则 1 2 证明 与黎曼积分相仿 略 首页 性质2 则 证明 略 首页 性质3 则 存在且关于t是均方连续的 证明 首页 三 ito微分法则 则第二个积分作为ito积分存在 且 1 这时 称 1 式定义的随机过程有 ito 随机微分 并记为 首页 例2 求随机微分 解 由例 可知 即 由随机微分的定义 首页 定理3 ito公式 的二次微分函数 则 且 首页 例3 求随机微分 解 设 因为 所以由ito公式得 首页 定理4 都是连续函数 如果随机过程有随机微分 则 首页 注 是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现 称为ito公式 首页 四 ito随机微分方程 则在ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程 称为ito随机微分方程 与ito随机微分方程等价的ito随机积分方程 其中右边第一个积分是均值积分 第二个积分是ito积分 首页 例4 考虑ito方程 取 由ito公式得 即 所以 即 注 将看作普通函数 则解为 返回 首页 第三节ito积分的特征 资产价格理论意义下ito积分 其中在信息集下是非预期的 一 ito积分是鞅 在间隔内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为 则此ito积分就是鞅 因为 首页 给定时间t的信息集 如果每个增量是不可预测的 则这些增量的总和也是不可预测的 即 于是 故ito积分是鞅 首页 下面考虑两种有意思的情况 1 第一种情况 假设 此时ito积分就等同于riemann积分 即有 则 即积分是鞅 首页 因为 维纳过程的增量具有0均值且是非相关的 故此积分是鞅 注 当是常数时 riemann和ito积分是相同的且都是鞅 首页 2 第二种情况 若 此时ito积分就不同于riemann积分 ito积分将保持鞅特性 而riemman将不再具有鞅特性 例如 如果衍生产品的标的资产具有几何分布 其方差 则可表明ito积分就不同于riemann积分 用riemann求和来大致估计ito积分会导致自相矛盾 方法 具体过程如下例 首页 3 一个例子 其中偏移量和方差率分别为 假设资产价格满足随机微分方程 即两个参数都比例于资产价格 考虑一个小时间间隔 对随机微分方程积分 现在用rieman求和来讨论上式右边的第二项积分的近似计算 看会有什么结果 首页 rieman求和的一种近似计算是用子间隔的中点处的维纳过程测值来计算 首先计算 然后再乘以矩形的底 得 从而有 两项相关 下面考虑上随机微分方程的简单形式 则其新增项形式为 首页 用riemann求和来大致估计这样一个积分 根据底和高为矩形的面积可得 由于期望 这意味着上式右边的条件期望不为0 即是可预测的 首页 从而可知 用riemann求和来估计ito积分意味着新增干扰项有一个非零期望值 即 但由于ito积分存在条件 即有 则ito积分的近似计算必须是 矛盾 首页 注 如果被积函数不是非预期的 则不能保证用来构建ito积分的部分求和的均方值会收敛为一个有效的随机变量 即ito积分根本就不存在 二 路径积分 考察在期间 0 t 内资产价格 间隔长度为 分割 且有 首页 假设一个金融分析家要计算积分 其有限求和形式为 取特殊路径 则 显然 但路径积分在随机过程中并不一定收敛 如 首页 取符号函数 则有 即 故此路径积分在随机过程中不收敛 注 路径积分意义 在计算路径积分时 没有用到与相联系的概率 而是用实际测值来计算的 另一方面 ito积分是用均方收敛值来计算并由随机等式来决定 非预期重要性 由于可预测的符号 函数能 看到未来情况 则求和公式中各部分都为正 当n增加时 就会发散 首页 三 ito积分存在性 存在的条件是 也就是说 的均方会收敛到某个称为ito积分的随机变量 首页 四 相关性 ito积分是一随机过程 因此它有各种不同的量 一次量 即 二次量 协方差 方差 返回 首页 第四节ito定理及应用 在随机环境中 导数的概念是不存在的 资产价格的变动被认为是不可预测的 且在连续时间内变动太不规则 导致资产价格可能连续却不光滑 必须用随机微分来代替导数进行计算 ito规则给出了一个简化随机微分的公式 并给出了详细的计算 一 导数类型 在标准计算中 所有变量都是确定型的 可以有三种类型的导数 首页 偏导数 全微分 链式导数 导数在金融市场中作用 偏导数为计算资产价格相对于风险因子的变化反应提供了一个 乘数 典型例子 是在计算套期保值参数中用到偏导数 假设一个市场参与者知道的函数形式 1 则 首页 因此 对维纳过程定义一个关于时间的导数不会有任何困难 但需要知道的不是随时间的变化 而是假定在时间固定情况下 它对的小变化有什么反应 2 3 全微分是在假定时间和标的资产的价格都发生变动 而导致的变化 其结果就是随机微分 它代表了在时间间隔内衍生资产价格的变化 对市场交易者很有用 在标准计算中 链式导数表示一个变量相对于初始变量经过某些连锁效应的最终变化速率 在随机计算中 链式导数指的是随机微分相互间的关系 也就是全微分的随机形式 首页 例1 且 则 注 但全微分同随机事件的实际发生率有关 二者不同 上式给出的是对为非随机变量的情况 首页 二 ito定理的应用 一 ito定理 则有ito公式可得 或 首页 说明 在分析金融衍生产品时 一旦知道标的资产的随机微分方程 运用ito公式就可得到金融衍生产品的随机微分方程 即知道衍生资产价格的变化 例2 求 解 因 故有ito定理可得 首页 因此得到在信息集下的的随机微分方程 其偏移率和方差项为即漂移率是常数 方差依赖于信息集 例3 若 则有 此时得到在信息集下的的随机微分方程 其偏移率和方差项为 首页 例4 计算ito积分 解 设 得 其相关积分等式 故 即 注 这个结果与本章第二节计算出来的结果相同 可作为计算ito积分的工具 首页 例5 计算积分 解 定义 由ito定理得 其对应的积分等式 故 首页 注 用ito定理计算ito积分的步骤 1 2 3 对新得到的随机微分方程两边进行积分处理 得到一个新的积分等式 该等式所包含的积分的计算要比原积分简单 4 重新排列积分等式各项 得到最终结果 首页 二 伊托定理在远期合约定价中的应用 补充内容 现在以不支付股息的股票为例说明伊托定理在远期合约领域中的应用 假定各个时期的无风险利率r等于常数 远期价格用f表示 则远期价格f与即期价格s之间的关系可表示为 所以 首页 如果股票价格s遵循几何布朗运动 并且预期收益和波动率分别是和 即 那么由伊托公式可得远期价格f变化的随机过程为 将代入上式 得 可见 远期价格f与股票价格s一样 也遵循几何布朗运动 但是 远期价格的预期增长率是 而不是 首页 三 ito定理的积分形式 微分形式 进而可得ito定理的另一特性 两边取积分 得积分形式 该式说明关于维纳过程和其它连续时间随机过程的积分是用时间的积分函数表达出来的 注 返回 首页 第五节更复杂情况下的ito公式 第一种是在某些条件下 函数可能不只是依赖于单一随机变量 这样就要用到多变量的ito公式 不能直接使用ito公式的两种情况 第二种考虑金融市场受到小概率事件影响 这样需要对随机微分方程加上跳跃过程来决定资产价格 相应的ito公式会改变很多 首页 一 多变量情况 设为两个受维纳过程影响的随机过程 其中 则 首页 是两个独立的维纳过程的增量结果 这个问题可由下面ito定理的多变量形式得到解决 由于 在单变量ito定理中 等交叉项在均方意义下都等于0 且 若在一个固定的间隔内 有 则在均方意义下 有 首页 由此可得 这些等式代入上式即得双变量ito公式 首页 例1 金融衍生品 在评价利率期权衍生品的价值时 收益曲线起到很大作用 利率期权的模型之一是假设收益曲线依赖于两个状态变量 分别是短期利率和长期利率 则利率衍生品的价格就可表示为 假定利率服从随机微分方程 其中 长短期利率误差项具有相关性 在固定间隔h内 相关系数为 首页 市场参与者可通过参数的选择 由该等式得到长短期利率的相关性和方差特性 在评估利率期权时 需要知道期权价格对收益曲线的变化和会怎样变化 也就是要知道随机微分 即有ito公式的多变量形式可得 首页 例2财富 假设市场有n种资产 都是受同一随机变动影响的连续时间的随机过程 投资总价格可由财富函数表示 则由ito定理可得随着时间的变化而财富的增量 首页 二 ito公式和跳跃 假设观测一个过程 它服从随机微分方程 其中 且假定在一个固定间隔h内该跳跃有零均值 原因 任何可预测的跳跃成分可被包含在漂移项中 对跳跃过程 作如下假定 1 首页 2 跳跃类型是随机和独立的 首页 在这些条件下 漂移参数可被看作为两个分散的漂移的总和 其中是连续运动的维纳过程部分 第二项为中纯跳跃部分 跳跃过程两个随机性 跳跃的发生为随机事件 发生大小也是随机的 假定这两个随机性是相互独立的 则ito公式为 首页 其中 首页 首先要计算由可能发生的随机跳跃的期望变化 也就是上式右边的第二项 要计算此项 需要用到在时间内跳跃发生的概率和由跳跃所引起的函数跳跃的大小期望值 在实际中如何计算呢 其次如果在特定的时间内发生跳跃 还应包含式上式的第一项 首页 在随机计算中 ito定理是核心微分工具 第一 在给定标的资产运动方程情况下 由ito定理可得到金融衍生品的随机微分方程 本章说明 第二 ito定理完全独立ito积分的 返回 首页 第九章基础资产价格的变动 随机微分方程 第一节引言 第二节随机微分方程的求解 第三节随机微分方程的主要形式 第四节股票价格对数正态分布的特性 第一节引言 随机微分方程 即将随机价格的变动分解为可预测和不可预测两部分 且分解过程用到在时刻t的信息集 对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信息集 那么随机微分方程的含义不同 如 假如一个市场参与者拥有 內幕信息 可事先获知影响价格变动的所有随机事件 则在这种 非现实 情况下上式中的扩展项等于零 首页 随机微分方程的具体形式以及误差项的定义都要依赖于信息集 即维纳过程与信息集相对应 原因 参与者知道将如何变化 他就能完全预测这一变量 即对任一时刻而言都有 因此这类参与者的随机微分方程可写作 而其他参与者的随机微分方程则是不变 表明 首页 随机微分方程可用于对衍生金融资产定价的原因 对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动 此方程不但给出一个规范的模型 而且其推导过程与金融市场中的交易者行为是一致的 实际上 在一个给定的交易日中 随着时间的推移 交易者总是不断地预测资产的价格并随时记录新事件的发生 这些事件中总会包含一些不可预测的部分 但过后这些不可预测部分也会被观测 此时这些事件均已成为已知事件 并变为交易者拥有的新信息集的一部分 首页 随机微分方程模型一般条件 即随着时间地推移 主参数和扩展参数不会发生太大幅度地变动 返回 首页 第二节随机微分方程的求解 随机微分方程所含未知数是一个随机过程 因而求其解就是要找寻一个随机过程 使其运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的轨迹相关联 一 解的含义 首页 观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差 若此方程的解是一个随机过程 则意味着 1 如何找到一系列用 来标识的随机变量 以满足上式中的增量 2 能否知道满足方程的随机过程的时态函数和分布函数 3 对任一给定的和 能否找到一系列的随机数对于所有的 而言都满足上面的等式 首先 首页 再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解 其次 如果连续的时间过程 满足下列方程 则定义是随机微分方程的解 首页 则随机过程 二 解的类型 1 强解 已知主参数 扩展参数以及随机变动项 称为随机微分方程的强解 强解与一般微分方程的解是相似的 注 首页 2 弱解 其中是一维纳过程 求得过程 已知主参数 扩展参数 使其满足下面随机微分方程 则称是随机微分方程的弱解 首页 与的区别 相同点 都是均值为0 方差等于的维纳过程 密度函数的表达式相同 从这个意义上来讲 这两个随机误差项之间不存在什么区别 不同点 限定二者的一系列信息集不同 虽然基本的密度函数是相同的 但如果被不同的信息集来衡量 那实际上这两个随机过程代表了现实生活中根本不同的两种现象 说明1 首页 其中的扩展项包含外生变量 它表示影响价格进行完全不可预测变动的极其微小的事件 这一系列小事件形成的 历史 就是 时刻的信息集 计算强解是在给定时 求满足方程的值 也就是说为得到强解 需要知道集合 强解与是相互对应的 计算弱解时不需要考虑生成信息集的过程 但需考虑与过程的相关联 又过程可生成另外的信息集 且它是的鞅 说明2 因此 弱解需要满足 首页 强解和弱解具有相同的主项和扩展项 因此和具有相似的统计特性 给定均值和方差 两解虽然有所不同 但我们并不能把二者区别开来 若误差项已知 则金融分析家会选择强解 三 解的选择 但是在运用解随机微分方程的办法来对衍生金融产品进行定价时 并不能准确获悉过程的实际情况 我们能够运用的只有其波动率和波动趋势 因而 在这种情况下给衍生产品定价 应运用弱解 首页 四 随机微分方程解的证明 看一个特殊的随机微分方程 即在对看涨期权定价之中运用的布莱克 休斯模型 变形 首先计算 由于 普通积分 首页 而 虽含有一个随机项 但的系数是一个不随时间而改变的常数 因 故 即随机微分方程的任何解都必须满足这一积分方程 下面用伊藤定理来解决这一方程 考察备选项 首页 用伊藤定理来计算随机微分 即 若 则这正是给定的随机微分方程 因此 求得随机微分方程的强解为 首页 要求随机微分方程的强解 应考虑备选解法 即找出依赖于参数的函数 如然后运用伊藤定理来检验这一备选项是否满足随机微分方程或相应的积分方程 注 五 资产现值的应用 假设是某资产的价格 其价值的增加带有不确定性 即 则此随机微分方程强解的备选答案是 首页 且最有效的预测值是条件期望 则资产的现价为 即现值等于时刻 的预期价值用折现率 来进行折现 首页 要证明结论成立 需先计算 由于 故 求的方法 两种 1 其中 表示维纳过程的条件密度函数 利用维纳过程的密度函数直接求 很难 首页 2 利用伊藤定理间接来求 简单 首先 令 其次 用伊藤定理 再次 考虑相应的积分方程 最后 两边求均值 而 首页 故 若记 则有 所以 且 故得 即 从而 首页 即 所以 首页 特别 即当时间t 0时 资产价格等于预期将来的价格用折现率r来进行折现 返回 首页 第三节随机微分方程的主要形式 本节介绍几种特殊的随机微分方程 并说明它们是代表何种资产的价格以及是如何运用的 一 常系数线性随机微分方程 形式为 其中是变量t的标准维纳过程 随机微分方程中 主系数及扩展系数不随时间的变动而变化 即与信息集是不相关的 首页 方差 适用条件 在短暂的时间间隔h中 价格变动的均值 1 资产价格比较稳定 2 价格变化趋势是线性的 3 波动项不是无限大 4 资产价格不存在一种规律的 跳跃性 常系数的随机微分方程描述的是资产价格围绕线性趋势进行的一种波动 首页 二 几何随机微分方程 布莱克和休斯模型 形式为 即主参数和扩展参数都依赖于时刻t所掌握的信息 且趋势变动和标准变动与是成正比的 变形 即说明主项与扩展项对于的相对变动仍是一个不变的常数 几何模型描述的是资产价格价格在一种指数趋势上的随机波动 对大多数资产价格来说 这种指数趋势似乎更符合实际 首页 三 平方根过程 形式为 遵循指数变动趋势 但标准差则是的平方根的函数 方差 即方差与成正比的 在实际情况中 这会增大了相对于的变动 误差项的方差与是成比例的 因此 若随的增大 资产价格的变动率不是迅速增加 运用此模型更为合适 方差 首页 四 均值调整过程 形式为 若比均值小 则 这就使得倾向于为正数 故最终回复到均值 说明 均值调整过程有一变动主趋势 但此趋势的偏差不是完全随机的 过程可与长期趋势发生较小的偏离 但最终会回复到正常趋势 这种偏离的平均度是由参数来控制的 但参数变小时 偏离的时间会变长 这时资产的价格会显示出一些可预见的周期性 使得模型与市场的有效性假设相违背 首页 五 奥伦斯坦 乌伦贝克过程 形式为 其中主项与负相关 系数为 扩展项属于常参数类型 属于均值调整随机微分方程的一个特例 说明 这个模型表示资产价格在0附近波动 并且其偏离最终会回到长期的0均值状态 参数控制这种偏离的时间 越大 回复均值的速度越快 首页 六 随机波动率 随机微分方程的主参数和扩展参数可通过随机性获得 这对于衍生金融产品而言 更具有应用价值 因为波动率不仅随时间的变动而变动