导数在函数中的应用——题型总结.doc

1 导数在函数中的应用 一 基础知识 1 函数的导数与单调性 在某个区间内 若 fx 0 则函数 xfy 在这个区间内单调递增 若 fx 0 右侧 fx 0 且 fx 0 那么 0 f x 是极大 值 2 极小值 如果在 0 x 附近的左侧 fx 0 且 fx 0 那么 0 f x 是极小 值 3 函数的导数与最值 1 函数 xfy 在区间 a b 上有最值的条件 一般地 如果在区间 a b 上 函数 xfy 的 图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数 xfy 在区间 a b 上最大值与最小值的步骤 求函数 xfy 在区间 a b 内的极值 将函数 xfy 的各个极值与端点处的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 4 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间 的函数关系式 y f x 2 求函数的导数 f x 解方程 f x 0 3 比较函数在区间端点和 f x 0 的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题作答 注意事项 1 直线与曲线有且只有一个公共点 直线不一定是曲线的切线 反之直线是曲线的切线 但 直线不一定与曲线有且只有一个公共点 2 1 f x 0 在 a b 上成立是 f x 在 a b 上单调递增的充分条件 2 对于可导函数 f x f x0 0 是函数 f x 在 x x0 处有极值的必要不充分条件 3 求函数单调区间的步骤 1 确定函数 f x 的定义域 2 求导数 f x 3 由 f x 0 f x 0 解出相应的 x 的范围 当 f x 0 时 f x 在相应的区间上是增函数 当 f x 0 时 f x 在相应的区间上是减函数 还可以列表 写出函数的单调区间 4 1 注意实际问题中函数定义域的确定 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定最大值 还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 2 二 题型训练 题型一 求曲线切线的方程 例 1 已知函数 f x x3 4x2 5x 4 1 求曲线 f x 在 x 2 处的切线方程 2 求经过点 A 2 2 的曲线 f x 的切线方程 变式1 曲线 y xex 1 在点 0 1 处的切线方程是 A x y 1 0 B 2x y 1 0 C x y 1 0 D x 2y 2 0 2 直线 y kx 1 与曲线 y x3 ax b 相切于点 A 1 3 则 a b 的值为 A 4 B 1 C 3 D 2 题型二 求函数的单调区间 例 2 已知函数 f x ex ax b x2 4x 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y 4x 4 1 求 a b 的值 2 讨论 f x 的单调性 并求 f x 的极大值 练习 1 设函数 f x x ex 1 x2 则函数 f x 的单调增区间为 1 2 2 已知函数 f x x3 ax2 bx a b R 1 3 1 当 a 1 时 求函数 f x 的单调区间 2 若 f 1 且函数 f x 在上不存在极值点 求 a 的取值范 1 3 0 1 2 围 3 题型三 分类讨论求函数的单调区间 例 3 已知函数 f x x2 ax bln x x 0 实数 a b 为常数 1 若 a 1 b 1 求函数 f x 的极值 2 若 a b 2 讨论函数 f x 的单调性 练习 1 已知函数 f x x2 a 2 x aln x 2a 2 其中 a 2 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 在 0 2 上有且只有一个零点 求实数 a 的取值范围 2 已知 a R 函数 3 42f xxaxa 1 求的单调区间 2 证明 当 0 1 时 0 f xx f x2a 4 3 设函数 求的单调区间 x f x eax2 f x 若 a 1 k 为整数 且当 x 0 时 求 k 的最大值 xk f xx10 小结 利用导数研究函数的单调性关注四点 1 利用导数研究函数的单调性 大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论 2 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时 依据根的大小进行分类讨论 3 在不能通过因式分解求出根时 根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 4 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的 千万不要忽视了定义域的限制 题型四 单调性的逆用 例 4 已知函数 f x x3 ax2 3x 1 若 f x 在 1 上是增函数 求实数 a 的取值范围 2 若 x 3 是 f x 的极值点 求 f x 的单调区间 练习 1 已知函数 f x x a 2 7bln x 1 其中 a b 是常数且 a 0 1 若 b 1 时 f x 在区间 1 上单调递增 求 a 的取值范围 2 当 b a2时 讨论 f x 的单调性 4 7 5 2 若函数 f x x2 ax 在上是增函数 则 a 的取值范围是 1 x 1 2 A 1 0 B 1 C 0 3 D 3 3 函数 f x x3 x2 ax 5 在区间 1 2 上不单调 则实数 a 的范围是 1 3 4 已知函数 f x 32 1 3 xxaxb 的图像在点 P 0 f 0 处的切线方程为 y 3x 2 求实数 a b 的值 设 g x f x 1 m x 是 2 上的增函数 求实数 m 的最大 5 已知函数 0 ln 1 ax ax x xf 1 若函数 xf在 1 上为增函数 求实数a的取值范围 2 当1 a时 求 xf在 2 2 1 上的最大值和最小值 6 题型五 求函数的极值 最值 例 5 已知函数在处取得极值为 3 f xaxbxc 2x 16c 1 求 的值 2 若有极大值 28 求在上的最大值 ab f x f x 3 3 练习 1 关于x的方程x3 3x2 a 0 有三个不同的实数解 则实数a的取值范围是 2 已知是实数 1 和是函数的两个极值点 ab 1 32 f xxaxbx 1 求和的值 ab 2 设函数的导函数 求的极值点 g x 2g xf x g x 3 设 其中 求函数的零点个数 h xf f xc 22 c yh x 7 3 已知函数 f x x 1 a R e 为自然对数的底数 a ex 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于 x 轴 求 a 的值 2 求函数 f x 的极值 3 当 a 1 时 若直线 l y kx 1 与曲线 y f x 没有公共点 求 k 的最大值 4 已知函数 f x ax 3ln x 其中 a 为常数 2 x 1 当函数 f x 的图象在点 f 处的切线的斜率为 1 时 求函数 f x 在 3 上的最小值 2 3 2 3 3 2 2 若函数 f x 在区间 0 上既有极大值又有极小值 求 a 的取值范围 8 题型六 导数与方程 例 6 设 a 为实数 函数 32 f xxxxa 1 求极值 2 求与 x 轴只有一个交点时 a 的取值范围 f x f x 变式 若与 x 轴有 2 个交点时 a 的取值范围 练习 1 设函数 Rxxxxf 56 3 求 xf 的单调区间和极值 若关于x的方程 axf 有 3 个不同实根 求实数 a 的取值范 围 已知当 1 1 xkxfx时 恒成立 求实数 k 的取值范围 9 2 已知函数 2 3 1 2 1 3 1 23 在区间且xfkxxgx k xxf上为增函数 1 求k的取值范围 2 若函数 xgxf与的图象有三个不同的交点 求实数k的取值范围 3 已知函数 f x xlnx 求 f x 的最小值 讨论关于 x 的方程 f x m 0 m R 的解的个数 4 已知 a b 为常数 且 a 0 函数 f x ax b axln x f e 2 e 2 718 28 是自然对 数的底数 1 求实数 b 的值 2 求函数 f x 的单调区间 3 当 a 1 时 是否同时存在实数 m 和 M m M 使得对每一个 t m M 直线 y t 与曲线 y f x 都有公共点 若存在 求出最小的实数 m 和最大的实数 x 1 e e M 若不存在 说明理由 10 题型七 利用导数证明不等式 例 7 设 a 为实数 函数 f x ex 2x 2a x R 1 求 f x 的单调区间与极值 2 求证 当 a ln 2 1 且 x 0 时 ex x2 2ax 1 练习 1 已知 m R 函数 f x x2 mx m ex 1 若函数没有零点 求实数 m 的取值范围 2 当 m 0 时 求证 f x x2 x3 2 已知函数 证明 x 1 x x e f xe 0 x 1f 11 3 已知 1ln axxxf 1 若存在 使得 0 成立 求的范围 0 x f xa 2 求证 当 1 时 在 1 的条件下 成立x 2 1 ln 2 1 2 xxaaxx 题型八 恒成立问题 例 8 已知函数 f x xln x 1 求 f x 的最小值 2 若对所有 x 1 都有 f x ax 1 求实数 a 的取值范围 12 练习 1 已知函数 f x aln x a 0 1 x 1 求函数 f x 的单调区间和极值 2 已知对任意的 x 0 ax 2 ln x 1 恒成立 求实数 a 的取值范围 3 是否存在实数 a 使得函数 f x 在 1 e 上的最小值为 0 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理 由 2 已知 f x xln x g x x2 ax 3 1 求函数 f x 在 t t 2 t 0 上的最小值 2 对一切的 x 0 2f x g x 恒成立 求实数 a 的取值范围 3 证明 对一切 x 0 都有 ln x 1 ex 2 ex 13 3 已知函数 f x axln x 图像上点 e f e 处的切线与直线 y 2x 平行 其中 e 为自然对数的底数 g x x2 tx 2 1 求函数 f x 的解析式 2 求函数 f x 在 n n 2 n 0 上的最小值 3 若对一切 x 0 e 3f x g x 恒成立 求实数 t 的取值范围 题型九 存在性任意性问题 例 9 已知函数 f x a g x aln x x a 0 ax x2 1 1 求函数 f x 的单调区间 2 求证 当 a 0 时 对于任意 x1 x2 总有 g x1 f x2 成立 0 e 14 练习 1 1 ln10 a f xxaxa x 1 设 试讨论单调性 01a f x 2 设 当时 若 存在 使 求 2 24g xxbx 1 4 a 1 0 2x 2 1 2x 12 f xg x 实数的取值范围 b 15 2 设 ln a