数学高考专题复习：多参数问题的解法.doc

多参数问题的解法常用方法有：一、分离变量法。若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等价于或，解得a8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解（先确定主元）：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在1，1内单调递减。只需f(1)0,即a2.(下同)例2已知函数f(x)在定义域（，1上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinxk2sin2x1对于任意xR恒成立，这又等价于对于任意xR恒成立。不等式（1）对任意xR恒成立的充要条件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）对任意xR恒成立的充要条件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。二、选择恰当的参数作为主元（其余视为常量）例3、已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1，若a,b-1,1,a+b0有0.（1）判断函数f(x)在-1,1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式f(x+)f(（3）若f(x)m-2am+1，对所有x-1,1,a-1,1恒成立，求实数m的取值范围.解答：（1）任取x-1,1,且xx，则-x-1,1,又f(x)是奇函数，于是有：f (x)-f (x)=f (x)+f (-x)=(x-x),由已知0,x-x0,所以f (x)-f (x)0，即f (x)f (x).所以函数f(x)在-1,1上是增函数.(2)因为函数f(x)在-1,1上是增函数，所以不等式f(x+f(等价于不等式组：由得-由得x0，或x2;由得x-1,或1x所以原不等式的解集为x|-1.(3)因为函数f(x)在-1,1上都是增函数，且f(1)1,故对所有的x-1,1,有f(x)1.由已知，对所有的x-1,1，a-1,1,f(x)m，有m1成立，即m0.记g(a)=-2am+m-1,1，g(a) 0成立，只需g(a)在-1,1上的最小值大于等于0.即解得：m-2,或m=0，或m2.故m的取值范围为m-2,或m=0，或m2.注：第（1）中的a,b可分别视为，第（3）涉及到3个变量x,m,a，对于右边的两个参数m,a要善于选择恰当的参数作为主元，运用一次函数的单调性。例4、分析：2、分析：选择A。三、根据函数的单调性、值域特征或不等式的解集特征对多参数分步讨论例5、已知函数，（1）若在1，）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数在m，n上的值域是，求实数a的取值范围。解答：（1）在（1，）上恒成立，即恒成立，设则在（1，）上恒成立在1，）上单调递增故即的取值范围为（，3），（2）由题意知时，由（1）知在（0，）上单调递增，有两个不相等的正根即有两个不相等的正根m，n例6、已知不等式x23x+t0的解集为x|1xm, mR(1)求t, m的值；(2)若f(x)= x2+ax+4在(,1)上递增，求不等式log a (mx2+3x+2t)0的解集。解答：(1) 由条件得：，所以 (2)因为f(x)= (x)2+4+在(,1)上递增， 所以1，a2 log a (mx2+3x+2t)= log a (2x2+3x)0=log a 1所以，所以 所以0x或1x 例7、已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和 （1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然数c和k，使得成立 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由Sn=4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因为所以，(kN*)故只要Sk2cSk，（kN*）因为Sk+1Sk，(kN*) 所以Sk2S12=1 又Sk4，故要使成立，c只能取2或3 当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，cSk不成立，从而不成立 当k2时，因为，由SkSk+1(kN*)得Sk2Sk+12故当k2时，Sk2c，从而不成立 当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，cSk不成立，从而不成立因为，又Sk2Sk+12所以当k3时，Sk2c，从而成立 综上所述，不存在自然数c,k,使成立 四、根据相关参数的联系引入新参数以减少参数的个数例8设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解1：当直线垂直于x轴时，可求得；当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则 令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以，解得.结合得. 综上，.例9、（2005年湖南高考题） 已知函数f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0. （）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0时，则ax2+2x10有x0的解.当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0总有x0的解； 则=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此时，1a0. 综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+）. （II） 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0x1x2. 则点M、N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即，则 =所以 设则令则因为时，所以在）上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.注： 练习：1、分析：2、设函数，其中，将的最小值记为（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值解：（I） 由于，故当时，达到其最小值，即 （II）我们有列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为3、4、设函数的图象关于直线y=x对称.（1）求m的值；（2）若直线y=a(aR)与f(x)的图象无公共点，且，求实数t的取值范围.解答：（1）由由已知得，（2）由（1）知，由已知得:a=1于是5、（2004年高考辽宁卷（22）已知函数.（）求函数的反函数的导数（）假设对任意成立，求实数m的取值范围.（I）解：由y=f(x)=ln(exa)得x=ln(eya)，所以y=f1(x)=ln(exa)（xlna）(II