小孩拉玩具问题数学模型.doc

小孩和玩具的问题图 1ABC图 2解：假设小孩拉的玩具如图1所示，由于整个推拉过程中（图2），玩具走的轨迹，只与C在地面上的投影点B的轨迹有关。所以我们把模型简化为图3。Aa图 3 假设1：小孩B点所走曲线为沿着小棒a的方向（直线AB），则玩具A走的轨迹为直线（沿AB方向的）。此时，小孩行走的速度与玩具的速度相同。假设2：小孩B点所走曲线为一个A点为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B行走的速度为v，而玩具A的速度却为零，这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度与玩具A的速度不同。由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度与玩具A的速度是不同的。假设3：如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c（图4 ），不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具A走的轨迹为曲线c。图4 则t时刻小孩的坐标为，玩具的坐标为。（1）t时刻，由于的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程中，假设棒与地面的角度不变，因此有，即 （1）（2）设玩具在A点的速度，则的方向应为玩具所走曲线c的切线方向，而玩具始终是沿着小棒AB的方向，所以，且；又小孩的速度的方向为其运动轨迹的切线方向，且投影在方向上的分速度为玩具的速度。又 ，由向量知识有，故有，化简得 。玩具(x,y) (X,y) x方向Y方向（x,Y）(X,Y)图 5 当玩具坐标为，小孩坐标为时，其位置关系如图5所示，玩具运动速度在x方向上的分量为 (2)其中同理，玩具运动速度在y方向上的分量为 (3)其中；当小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为：，则t时刻小孩的速度为 (4)设初始时刻，玩具的位置为(i,j)，即 (5)联立(2)(3)(4)(5)式,建立如下微分模型：整理得：利用MATLAB软件求解上述微分模型，程序如下：函数文件：function dy=sudufl(t,y) %速度用x轴和y轴上的分量表示R=5;dy(1)=(-R*sin(t)*(R*cos(t)-y(1)+R*cos(t)*(R*sin(t)-y(2)*(R*cos(t)-y(1)./(R*cos(t)-y(1)2+(R*sin(t)-y(2)2);dy(2)=(-R*sin(t)*(R*cos(t)-y(1)+R*cos(t)*(R*sin(t)-y(2)*(R*sin(t)-y(2)./(R*cos(t)-y(1)2+(R*sin(t)-y(2)2);dy=dy(1),dy(2)主函数：clear,clcR=5;i=10,12,8;j=0;t0=0;tn=200;t,y=ode45(sudufl,t0,tn,i(1),j);X=R*cos(t);Y=R*sin(t);subplot(1,3,1),plot(X,Y,r.,y(:,1),y(:,2),*),title(玩具初始位置为（10，0）点时玩具的轨迹)t,y=ode45(sudufl,t0,tn,i(2),j);subplot(1,3,2),plot(X,Y,r.,y(:,1),y(:,2),+),title(玩具初始位置为（12，0）点时玩具的轨迹)t,y=ode45(sudufl,t0,tn,i(3),j);