例析函数奇偶对称性和周期性

函数的奇偶性、周期性和对称性函数的奇偶性、周期性和对称性的关系055350 河北隆尧一中 焦景会函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。（2005年广东卷I）设函数，且在闭区间0，7上只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间2005，2005上根的个数并证明你的结论。分析：由可得：函数图象既关于x2对称，又关于x7对称，进而可得到函数周期，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。命题1 函数的图像关于直线xa对称的充要条件是或。证明：设是上任一点，则。由P关于直线xa的对称点为。（必要性）若关于直线xa对称，则Q也在上，故，。（充分性略）。推论 函数的图像关于y轴对称的充要条件是。命题2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。证明（略）推论 函数的图像关于原点O对称的充要条件是。偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。命题3 （1）若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。证明：函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则，所以，所以是它的一个周期。（2）、 若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。证：因为函数的对称轴为x=m，x=n (mn)， 则 (1) ， (2) ， 分别将x=m-x，x=n-x代入(1) (2)， 则有 ， ，则 ， 所以是周期函数，周期为2(m-n)。（3）若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线xb成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。证明：因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称，所以代得：又因为函数的图像关于直线成轴对称，所以代入（*）得： （*），用代 得代入（*）得：，故是周期函数，且是其一个周期。例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）A. 是偶函数，也是周期函数；B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数；D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。例2 设是定义在R上的偶函数，且，当时，则_解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为，所以也是的对称轴，故是以2为周期的周期函数，所以。例3 函数的图像的一条对称轴的方程是（ ） 解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。例4 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以 例5 已知定义在R上的单调函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2。(1)求证：f(x)为奇函数；(2)当t2时，不等式f(klog2t)+f(log2t-logt-2)0恒成立，求实数k的取值范围.解 (1)令x=y=0f(0)=2f(0)f(0)=0，又令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)故f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数.(2)f(0)=0，f(1)=2，知f(x)在R上单调增，故由f(klog2t)-f(log2t-logt-2)得：klog2t0=(k+1)2-80-1-2k-1+2.点评 对某些含有两个变量的抽象函数问题，常考虑“特殊值”的函数值，即从其特殊值x=y=0入手解之。链接练习1 、f(x)是奇函数，当xR+时，f(x)(m1).9、已知函数f(x2-3)=loga(a0，a1).(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)解不等式：f(x)loga(2x). 10、 若f(x)=3x-3-xlog3a为奇函数，求实数a的值.参考答案1、D 若x=0不在定义域内为-m，+，若x=0在定义域内为(-，m)0.2、D 由x0f(-x)=log2(1-2x)=-f(x)f(x)=-log2(1-2x).3、A f(x)在-b，-a上单调减，x-b，-a时，f(-b)f(x)f(-a)，f(-a)=2004，又f(x)为奇函数，故f(x)在a，b上单调减，由xa，b知f(b)f(x)f(a)，f(a)=-2004.4、C 由f(x)=-f(-x)x3+bx2+cx=-(-x3+bx2-cx)b=0.5、D f1(-x)=g(-x)-1为偶函数，f2(-x)=g(-x-1)=g(x+1)f(x)故非奇非偶.6、，T=6，f(2008)=f(4)=-f(1)=-2008.7、 (1) xR，-xR，f(x)+f(-x)=0，f(x)是R上的奇函数，但不是周期函数.(2) 定义域为(0，1)且f(x)=，故为奇函数，但不是周期函数.8、(1)令f(x)+f(-x)=0m=1.(2)由f(-x)=-f(x)loga(a1)= -logak2x2=x2k2=1验证知k=-1.9、(1) 令x2-3=tf(t