与三角形有关的角讲义.doc

一、知识重点1三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180.如图所示，过C作CMAB，将求ABACB转化为求12ACB，或过A点作DEBC，把求BACBC转化为求BACDABEAC.(3)理解与延伸：因为三角形内角和为180，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：一个三角形中最多只有一个钝角或直角；一个三角形中最少有一个角不小于60；直角三角形两锐角互余；等边三角形每个角都是60等(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数【例1】 填空：(1)在ABC中，若A80，C20，则B_；(2)若A80，BC，则C_；(3)已知ABC的三个内角的度数之比ABC235，则B_，C_.2直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余如图所示，在RtABC中，如果C90，那么AB90.【例21】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果43，则的度数是 ()A43 B47 C30 D60 (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，在ABC中，如果A+B=90，那么C=90，即ABC是直角三角形【例22】 如图所示，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，求证：EPF是直角三角形3三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角如图，ACD就是ABC其中的一个外角(2)特点：三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示【例3】 在ABC中，A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于B的两倍，那么A_，B_，C_.4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和如图所示：1BC(或B1C，C1B)注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等【例4】 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12_.5三角形外角和(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如1，2，3，它们的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360.【例5】 如图所示用两种方法说明123360.综合应用【例61】 在ABC中，A80，B60，则C_.【例62】 已知在ABC中，A40，BC40，则B_，C_.【例63】 在ABC中，ABC532，那么ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形【例64】 锐角三角形的三个内角是A，B，C.如果AB，BC，CA，那么，这三个角中()A没有锐角 B有1个锐角C有2个锐角 D有3个锐角【例7】 填空：(1)如图(1)，P为ABC中BC边的延长线上一点，A50，B70，则ACP_.(2)如图(2)所示，已知ABE142，C72，则A_，ABC_.(3)如图(3)，3120，则12_.【例81】 如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，12等于()A120 B240 C300 D360【例82】 如图，ab，则下列式子中值为180的是()A BC D2.运用三角形内角和定理判断三角形形状【例91】 一个三角形三个内角的度数之比为237，这个三角形一定是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形【例92】 在ABC中，若A2B3C，试判断这个三角形的形状10角平分线的夹角与三角形内角关系的探究 (1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系1.如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的平分线交于点O，求BOC与A之间的关系 (2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系2.如图，在ABC中，BP，CP分别是ABC的外角DBC和ECB的平分线，试探究BPC与A的关系 (3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系3.如图，在ABC中，CE平分ACB，BE是ABC的外角ABD的平分线，试探究BEC与A的关系【例101】 如图，已知ABC，ABC的平分线与ACB的平分线交于点O，求BOC与A之间的关系【例102】 如图，BO，CO分别是ABC，ACB的两条平分线，A100，则BOC的度数是()A80B90C120D140【例103】 如图所示，ABC的平分线和ABC的外角ACE的平分线交于点D，D30，A的度数是_；当D_时，A的度数是90.11.与三角形有关的角的问题的一题多解例如：如图(1)是由平面上五个点A，B，C，D，E连接而成，求ABCDE的度数是多少？【例11】 如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求BDC140才合格，小明通过测量得A90，B19，C40后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？2、 综合练习一、选择题1三角形的三个外角之比为，则与之相应的三个内角之比为（）2如图4，工人师傅砌门时，常用木条固定矩形门框，使其不变形，这种做法的根据是（）两点之间直线段最短矩形的稳定性矩形四个角都是直角三角形的稳定性3如图5，恒满足的关系式是（）4如图6，等于（）5如图7，在中，是上的一点，是上一点，相交于，则的度数为（）6如图2，以为公共边的三角形的个数是（）7若三条线段中，为奇数，那么由为边组成的三角形共有（）个个无数多个无法确定8如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）9不一定能构成三角形的一组线段的长度为（），10已知有长为，的线段若干条，任取其中样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（）二、填空题11如图1，的平分线交的平分线于，若，则_12一个三角形中最多有_个内角是钝角，最多可有_个角是锐角13三角形两个外角的和等于第三个内角的倍，则第三个内角等于_14如图2，_15如图3，_16两根木棒的长分别为和要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长（）的范围是_17如图1，_18中，则周长的取值范围是_19是中，的对边，若，则的取值范围是_20若为的三边，则_（填“，”）三、解答题21 已知，如图8，点是中边上的一点，点是