连续分布种类.docx

贝塔分布一种通用的统计分布这是有关吗伽马分布。分布有两个自由参数,根据两种标记符号约定。通常称这些定义和和其他用途和(拜尔1987,p . 1987)。作贝塔分布先验分布二项比例的贝叶斯分析(埃文斯et al . 2000年,p . 34)。上面的情节是为不同的值与和从0.25到3.00不等。域是和概率函数和分布函数是由(1)(2)(3)在哪里是函数,是正规化函数,。贝塔分布的实现Wolfram语言作为BetaDistribution(,)。分布是标准化(4)的特征函数是(5)(6)在哪里是一个第一类合流超几何函数.的生的时刻是由(7)(8)(Papoulis 1984,p . 147)中央的时刻通过(9)在哪里是一个超几何函数.的的意思是,方差,偏态,峰度因此,由(10)(11)(12)(13)的模式的变量分配是(14)参见:主要分布一个分布的概率函数在哪里是一个函数。的模式的变量分配是如果是一个变量,然后是一个变量。如果是一个变量,然后和是和变量。如果和是和变量,然后是一个变量。如果和是变量,然后是一个变量。完全平方的转换二次多项式的形式的形式,定义和,简化了二元正态分布二元正态分布的统计分布概率密度函数(1)在哪里(2)和(3)是相关的和(肯尼,1951,pp。92年和202 - 205年,惠塔克和罗宾逊1967,p . 329)协方差。的概率密度函数二元正态分布实现的MultinormalDistributionmu1,mu2,sigma11,sigma12,sigma12,sigma22)在Wolfram语言包MultivariateStatistics”。的边际概率然后(4)(5)和(6)(7)(肯尼和保持1951,p . 202)。让和正常是两个独立的变量意味着和为2。那么变量和下面是定义正常二元单位方差和相关系数:(8)(9)推导出二元正态概率函数,让和通常是和独立分布的变量的意思是0和方差1,那么定义(10)(11)(肯尼和保持1951,p . 92)。的变量和然后自己正态分布意味着和,方差(12)(13)和协方差(14)的协方差矩阵被定义为(15)在哪里(16)现在,联合概率密度函数和是(17)但从()和()(18)只要(19)这可以倒给(20)(21)因此,(22)和扩大分子(22)给(23)所以(24)现在,分母()(25)所以(26)(27)(28)可以编写简单吗(29)和(30)解和和定义(31)给了(32)(33)但是,雅可比矩阵是(34)(35)(36)所以(37)和(38)在哪里(39)Q.E.D.的特征函数二元正态分布的(40)(41)在哪里(42)和(43)现在我们(44)(45)然后(46)在哪里(47)(48)完整的广场内积分的(49)重新安排将指数根据外内积分,让(50)和写作(51)给了(52)扩大在括号(53)但是奇怪的,所以正弦项的积分就消失了,剩下的(54)现在评估高斯积分(55)(56)获得的显式形式特征函数,(57)在奇异的情况下(58)(肯尼和保持1951,p . 94),它遵循(59)(60)(61)(62)(63)所以(64)(65)在哪里(66)(67)标准化的二元正态分布和。象限概率在这种特殊情况下然后给出分析(68)(69)(70)(玫瑰和史密斯1996;斯图尔特和奥德1998;玫瑰和史密斯2002,p . 231)。同样的,(71)(72)(73)参见:Borel-Tanner分布(莱尔坦纳)让组排列1、2、,让连续时间随机漫步结果当随机选择互换率1执行。让是身份的距离在时间,即,返回所需的最小数量的互换。当,在那里(Berestycki Berestycki和Durrett 2004;2004)被称为Borel-Tanner分布(Trott 2006,p . 2006)。Borel-Tanner分布复杂上面绘制在复平面(Trott 2006,p . 2006)。有趣的是,这个函数的值为Trott(Berestycki 2004;2004年,p . 284)。“bose - einstein”分布一个分布出现在整数自旋粒子物理学的研究,(1)它是由积分(2)(3)为,在那里是我们卓越的和是一个polylogarithm.Box-Muller转换从二维连续转换的转换均匀分布一个二维二元正态分布(或复杂的正态分布)。如果和统一和独立分布在0和1之间,然后呢和定义有以下正态分布与的意思是和方差.(1)(2)这可以通过求解验证和,(3)(4)以雅可比矩阵收益率(5)(6)参见:柯西分布柯西分布,也称为洛伦兹分布或洛伦兹分布,是一个连续分布描述共振行为。它还描述了在哪个水平距离的分布线段在一个随机的倾斜角降低了轴.让代表了角一条线,定点旋转,使垂直轴,如上所示。然后(1)(2)(3)(4)这样的分布角是由(5)这是标准化的角度,因为(6)和(7)(8)(9)一般的柯西分布及其累积分布可以写成(10)(11)在哪里宽度最大和一半一半是统计值。在插图,.柯西分布的实现Wolfram语言作为CauchyDistribution(m,/ 2)。的特征函数是(12)(13)的时刻自积分的分布是未定义的(14)有分歧的.如果和变量有正态分布,然后有一个柯西分布统计值和全宽(15)的总和变量本身每个从柯西分布有一个柯西分布,可以看出(16)(17)在哪里是特征函数和是逆傅里叶变换用参数.气分布气分布与自由度是紧随其后的是分布随机变量卡方的平方根。为,分布是一个half-normal分布与。为,这是一个瑞利分布与。气分布的实现Wolfram语言作为ChiDistributionn。的概率密度函数和分布函数这个分布是(1)(2)在哪里是一个正规化伽马函数.的th生的时刻是(3)(Johnson et al . 1994年,p . 421;埃文斯et al . 2000,p。57;错误修正),给的前几(4)(5)(6)(7)的的意思是,方差,偏态,峰度是由(8)(9)(10)(11)参见:Half-Normal分布half-normal分布是一个正态分布与的意思是0和参数有限域。给出的概率分布函数(1)(2)它的实现Wolfram语言作为HalfNormalDistribution()。的th生的时刻是由(3)在哪里是函数,前几生的时刻(4)(5)(6)(7)最初的几中央的时刻是(8)(9)(10)给的意思是,方差,偏态,峰度多余的,(11)(12)(13)(14)参见:瑞利分布的分布概率密度函数和分布函数(1)(2)为和参数.它的实现Wolfram语言作为RayleighDistributions。的生的时刻是由(3)在哪里是函数,前几(4)(5)(6)(7)(8)的中央的时刻因此(9)(10)(11)的的意思是,方差,偏态,峰度是(12)(13)(14)(15)的特征函数是(16)参卡方分布如果有正常的独立的分布与的意思是0和方差1,那么(1)是分布式与自由度。这使得一个分配一个伽马分布与和,在那里的数量是自由度.更一般的,如果根据一个独立分布分布与, .,自由度,然后(2)根据分布与自由度.的概率密度函数分布与自由度是由(3)为,在那里是一个函数。累积分布函数(4)(5)(6)(7)在哪里是一个不完整的函数和是一个正规化伽马函数.卡方分布的实现Wolfram语言作为ChiSquareDistributionn。为,是单调递减,但对吗,它有一个最大值(8)在哪里(9)的th生的时刻为一个分布自由度是(10)(11)给第一个只有(12)(13)(14)(15)的th中央的时刻是由(16)在哪里是一个合流超几何函数的第二种,前几(17)(18)(19)(20)的累积量可以通过找到特征函数(21)(22)以自然对数双方的给予(23)但这只是一个墨卡托系列(24)与,所以从累积量的定义,它遵循(25)给结果(26)因此,前几(27)(28)(29)(30)的矩量母函数的分布是(31)(32)(33)(34)(35)所以(36)(37)(38)(39)(40)(41)如果是说不等于零,称为一个更一般的分布非中心卡方分布结果。特别是,如果是独立的变量与一个吗正态分布有意味着和方差为, .,然后(42)遵循一个伽马分布与,也就是说,(43)在哪里.非中心卡方分布非中心卡方分布与非中心参数是由(1)(2)(3)在哪里是一个修改后的第一类贝塞尔函数和是一个正规化合超几何限制函数。它的实现Wolfram语言作为NoncentralChiSquareDistribution(r,)。的的意思是,方差,偏态,峰度是(4)(5)(6)(7)的生的时刻可以计算分析(8)因此,前几(9)(10)(11)最初的几中央的时刻是(12)(13)(14)参见:合超几何限制函数(1)它有一个系列的扩张(2)和满足(3)它的实现Wolfram语言作为Hypergeometric0F1b,z。一个第一类贝塞尔函数可以用这个函数来表示(4)(Petkovek et al . 1996年)。参见:连续性校正一个离散的校正二项分布近似一个连续分布。在哪里是一个连续变量与一个吗正态分布和是一个变量的二项分布.连系动词一个函数,加入单变量分布函数形成多元分布函数。一个二维介体是一个函数这样(1)和(2)对所有,(3)对所有这样和.Sklar定理让是一个二维分布函数与边缘分布函数和。那么存在一个连系动词这样相反的,对于任何一个单变量分布函数和和任何连系动词,函数是一个二维分布函数与不着边际和。此外,如果和是连续的,那么是独一无二的。不同的成功如果和观察到的比例从标准吗正态分布样品与成功的比例,然后的概率(1)将观察到的是一样大吗(2)在哪里(3)(4)(5)在这里,是无偏估计量。的偏态和峰度该分布的(6)(7)无偏估计量一个没有表现出数量估计量的偏见。一个估计量是一个无偏估计量的如果参见:有偏估计量,估计量,估计量的偏见,k-Statistic引用这个:估计量的偏见的偏见估计量被定义为(1)因此,真正的(2)(3)一个估计量的据说是无偏估计量.估计量一个估计量是一个规则,告诉如何计算一个估计基于样本中包含的测量。例如,样本均值是一个估计量的总体均值.一个估计量的均方误差被定义为(1)让是估计量的偏见,然后(2)(3)(4)在哪里是估计量方差.参无偏估计量一个没有表现出数量估计量的偏见。一个估计量是一个无偏估计量的如果参见:杜布定理一个定理证明了杜布(1942)即任何随机过程正常的和马尔可夫为它的相关函数具有以下形式吗,谱密度,和概率密度和:(1)(2)(3)(4)在哪里是的意思是,的标准偏差,弛豫时间。马尔可夫过程未来的随机过程概率是由最近的值。一个随机过程如果对于每一个被称为马尔可夫和,我们有这相当于(Papoulis 1984,p . 1984)。参见:标准偏差标准偏差的定义为一个概率分布平方根的方差,(1)(2)在哪里是的意思是,是第二个生的时刻,表示期望价值的。的方差因此,等于第二个中央的时刻(即。,时刻的意思是),(3)的平方根样本方差一组价值观是样本标准差(4)样例标准偏差分布有点复杂,虽然被充分研究过的和容易理解的,函数。然而,与普遍的不一致和模棱两可的术语一致,bias-corrected方差的平方根有时也被称为标准偏差,(5)标准偏差被实现为列表的数据StandardDeviation(列表)。物理科学家经常使用这个词均方根作为一个标准差的同义词时参考平方根的均方偏差量从一个给定的基线。标准差自然出现在数理统计通过其定义的第二个中央的时刻。然而,一个更自然,但更经常遇到测量的平均偏差的意思是这是用于描述统计学是所谓的平均偏差.标准差可以被定义为任何分布与有限的前两个时刻,但这是最常见的假设底层分布是正常的。在这种假设下,产生一个变量值置信区间词通常表示,(6)下表列出了置信区间对应于前几倍的标准偏差(同样假设数据是正态分布)。范围CI0.68268950.95449970.99730020.99993660.9999994找到对应于给定的标准偏差范围置信区间解决(5),给(7)CI范围0.8000.9000.9500.9900.9950.999参见:Erlang分布给定一个泊松分布率的变化,分布函数等待时间到th泊松事件(1)(2)为,在那里是一个完整的函数,一个不完整的函数。与明确一个整数,这个分布称为Erlang分布概率函数(3)它是密切相关的伽马分布通过让(不一定是整数)和定义。当,它简化了指数分布.埃文斯et al。(2000年,p . 2000)写使用变量的分布和.正态分布一个正态分布变量与的意思是和方差是一个统计分布概率密度函数(1)在域。虽然统计学家和数学家统一使用术语“正态分布”这个分布,物理学家们有时称它为高斯分布,由于其弯曲的形状,社会学家称它为“钟形曲线。”樵夫(1968)使用的象征为在上面的方程,然后切换到在伐木机(1971)。de Moivre开发作为一个近似正态分布二项分布,随后用拉普拉斯1783年1809年由高斯研究测量误差和天文数据的分析(Havil 2003,p . 2003)。正态分布的实现Wolfram语言作为NormalDistribution(、)。所谓的“标准正态分布“通过和一般正态分布。任意一个可以转换为正态分布标准正态分布通过改变变量,所以收益率,(2)的Fisher-Behrens问题的决心是一个平等的测试吗意味着两个正态分布不同方差.的正态分布函数给一个标准正态变量的概率假设的价值区间,(3)(4)在哪里小块土地是有时被称为误差函数的函数。既不也不小块土地可以表示的有限的补充,减法,乘法,然后呢拔根,所以必须是数值计算或近似。正态分布是一个离散的极限情况二项分布随着样本大小变大,在这种情况下是正常的,的意思是和方差(5)(6)与.分布是适当的归一化自(7)累计分布函数,这使变量假设值的概率是正态分布的积分,(8)(9)(10)在哪里小块土地就是所谓的误差函数。正态分布有许多方便的属性,所以与未知随机变量分布通常被认为是正常的,尤其是在物理学和天文学。虽然这可能是一个危险的假设,但它通常是一个好的近似一个令人惊讶的结果称为中心极限定理。这个定理的州的意思是任何的变量分布的有限的意思是和方差趋向于正态分布。很多常见的属性,如考试成绩、身高等,大致遵循正态分布,很少有成员在高端、低端和许多在中间。因为他们如此频繁的发生,有一个不幸的倾向来调用正态分布情况下他们可能不适用。正如李普曼所说,“每个人都相信错误的指数定律:实验者,因为他们认为它可以通过数学证明,数学家,因为他们相信它已经建立了通过观察”(维特克和罗宾逊1967,p . 1967)。在正态分布的,神奇的属性正常和分布和正常的分布差异分别通过加减变量和与任意两个独立正态分布均值和方差也正常!的正常比例分布获得有一个柯西分布.使用k-statistic形式主义,无偏估计量为方差给出了正态分布的(11)在哪里(12)所以(13)的特征函数正态分布(14)和矩量母函数是(15)(16)(17)所以(18)(19)和(20)(21)这些也可以计算使用(22)(23)(24)收益率,和之前一样,(25)(26)原始的时刻也可以直接通过计算计算生的时刻,(27)(Papoulis 1984,页147 - 148)。现在我们(28)(29)(30)给原始的时刻高斯积分,(31)评估这些积分给(32)(33)(34)(35)(36)现在发现中央的时刻,(37)(38)(39)(40)的方差,偏态,峰度过剩是由(41)(42)(43)的cumulant-generating函数正态分布(44)(45)所以(46)(47)(48)对正常的变量,为,所以的方差k-statistic是(49)(50)同时,(51)(52)(53)在哪里(54)(55)的方差的样本方差对于一般的分布是由(56)在正态分布的情况下简化了(57)(肯尼和保持1951,p . 164)。如果是正态分布,那么(58)所以变量变量可以生成一个正态分布有一个均匀分布在(0,1)通过(59)然而,一个简单的方法获取数据,并使用正态分布Box-Muller转换.微分方程有一个正态分布作为其解决方案(60)自(61)(62)(63)这个方程广义产生更复杂的分布,使用所谓的命名皮尔森系统.正态分布的一个特例卡方分布,因为做替换(64)给了(65)(66)现在,真正的线映射到半无限区间吗这一转变,所以2必须添加到一个额外的因素,将成(67)(68)(肯尼和保持1951,p . 98),使用了身份的地方。正如所承诺的,(68年)是一个卡方分布在与(还有一个伽马分布与和).误差函数分布一个正态分布与的意思是0,(1)的特征函数是(2)的的意思是,方差,偏态,峰度是(3)(4)(5)(6)的累积量是(7)(8)(9)为.参累积量让是特征函数,定义为傅里叶变换的概率密度函数使用傅里叶变换参数,(1)(2)的累积量然后,定义为(3)(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 928)。以麦克劳林级数给了(4)在哪里是生的时刻,所以(5)(6)(7)(8)(9)这些转换可以由CumulantToRawnMathematica应用程序包mathStatica.的中央的时刻,(10)(11)(12)(13)(14)在哪里是的意思是和是方差。这些转换可以由CumulantToCentraln。多元累积量可以表示原始的时刻,例如,(15)(16)和中央的时刻,例如,(17)(18)(19)(20)(21)使用CumulantToRawm,n,和CumulantToCentralm,n,),分别。的k-statistics是无偏估计量的累积量。参见:指数分布给定一个泊松分布率的变化之间的等待时间分布(连续变化)是(1)(2)(3)和概率分布函数(4)它的实现Wolfram语言作为ExponentialDistribution()。指数分布是唯一连续无记忆随机分布。这是一个连续的模拟几何分布.这个分布合理规范化(5)的生的时刻是由(6)因此1的前几,.类似地,中央的时刻是(7)(8)在哪里是一个不完整的函数和是一个子阶乘给第一个只有1 0,(OEISA000166).的的意思是,方差,偏态,峰度过剩因此(9)(10)(11)(12)的特征函数是(13)(14)在哪里是亥维赛阶跃函数和是傅里叶变换与参数.如果一个广义指数概率函数被定义为(15)为,那么特征函数是(16)的中央的时刻是(17)和生的时刻是(18)(19)和的意思是,方差,偏态,峰度过剩是(20)(21)(22)(23)参见:无记忆一个变量无记忆的对吗如果对所有与,(1)同样,(2)(3)的指数分布满足(4)(5)因此(6)(7)(8)是唯一的无记忆的随机分布。如果和是整数,然后呢几何分布是无记忆性的。然而,由于有两种类型的几何分布(一个从0开始,另1),两种类型的定义需要无记忆的整数的情况。如果上面的定义是,(9)然后几何分布这种从1开始是无记忆性的。如果定义变得(10)然后几何分布这种从0开始是无记忆性的。请注意,这两种情况在连续情况下是等价的。一个有用的无记忆属性的结果(11)在哪里显示一个期望价值.参期望价值一个函数的期望值在一个变量来标示或。一个离散变量,它被定义为(1)在哪里是概率密度函数.被定义为一个连续变量,(2)预期值满足(3)(4)(5)为多个离散变量(6)为多个连续变量(7)(多个)满足期望价值(8)(9)(10)在哪里是的意思是为变量.极端值分布主要有三种类型的Fisher-Tippett极值分布。最常见的是I型分布,有时也被称为甘力克还是耿贝尔分布类型。这是一个极端的分布顺序统计量的分布元素.Fisher-Tippett分布(即对应于最大极值分布。,最大的分布),有时被称为log-Weibull分布位置参数和尺度参数实现的Wolfram语言作为ExtremeValueDistribution(,)。它有概率密度函数和分布函数(1)(2)可以通过定义直接计算的时刻(3)(4)(5)然后生的时刻是(6)(7)(8)(9)(10)(11)在哪里是Euler-Mascheroni积分。插入的Euler-Mascheroni积分给了(12)(13)(14)(15)(16)在哪里是Euler-Mascheroni常数和是摹仿的常数.相应的中央的时刻因此(17)(18)(19)给的意思是,方差,偏态,峰度多余的(20)(21)(22)(23)的特征函数是(24)在哪里是函数(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 930)。一个模拟中心极限定理州渐近分布归一化满足三个发行版之一(25)(26)(27)也称为Gumbel-type Frechet-type,分别和Weibull-type分布。的分布也极端值分布。的Gumbel-type分布实现在GumbelDistribution(,)。的Weibull-type分布威布尔分布。实现为两个参数威布尔分布WeibullDistribution(,)。参见:顺序统计量给定的样本变量, .,以便重新排序它们。然后被称为th顺序统计量(霍格和克雷格1970,p . 146),有时也表示。特殊情况包括最低(1)和最大(2)次序统计量包括的重要功能统计范围(3)中档(4)和统计值(5)(霍格和克雷格1970,p . 152)。如果有概率密度函数和分布函数,那么概率的函数是由(6)为, .,(玫瑰和史密斯2002年,页。311年和454年)。一个稳健估计技术的基础上线性组合次序统计量的被称为一个L-estimate.参见:Euler-Mascheroni积分定义(1)然后(2)在哪里是th的导数函数.特定值包括(3)(4)(5)(6)(7)在哪里是Euler-Mascheroni常数和是摹仿的常数.参见中心极限定理让是一组独立的随机变量和每个任意概率分布与的意思是和一个有限的方差。然后正常形式变量(1)有一个限制累积分布函数的方法吗正态分布.在附加条件下的分布加数概率密度本身也是正常的(1971年伐木机)的意思是和方差。如果范式转换是不执行,那么变量(2)是正态分布与和.Kallenberg(1997)提供了一个中心极限定理的证明。对于一个小学,但稍微繁琐的中心极限定理的证明,考虑傅里叶反变换的.(3)(4)(5)(6)现在写(7)所以我们有(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)现在扩大(17)所以(18)(19)(20)自(21)(22)以傅里叶变换,(23)(24)这是的形式(25)在哪里和。但这是一个高斯函数的傅里叶变换,所以(26)(如。阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p。302年,方程7.4.6)。因此,(27)(28)(29)但和,所以(30)“模糊”中心极限定理说,数据由许多小的影响和随机效应大约无关正态分布.参f分布连续出现的统计分布测试两个观察样品是否有相同的方差。让和是独立的变量分布卡方与和自由度.定义一个数据两个分布的分散体的比值(1)这个数据有一个分布在域用概率函数和累积分布函数给出的(2)(3)(4)(5)在哪里是函数,是函数,是正规化函数,是一个超几何函数.的分布的实现Wolfram语言作为FRatioDistribution(n,m)。的的意思是,方差,偏态和峰度是(6)(7)(8)(9)的概率会一样大是如果第一个分布的方差小于第二个是表示.参见:自由度自由度的数量问题,分布,等等,是独立参数的数量可能是不同的。参见:似然比Snedecor的f分布如果一个随机变量有一个卡方分布与自由度()和一个随机变量有一个卡方分布与自由度(),和是独立的,那么(1)分布式Snedecor的吗分布与和自由度(2)为。的生的时刻是(3)(4)(5)(6)因此,前几中央的时刻是由(7)(8)(9)和的意思是,方差,偏态,峰度是(10)(11)(12)(13)的特征函数可以计算,但它是相当混乱,涉及到吗广义超几何函数.让(14)给出了一个贝塔分布(拜尔1987,p . 1987)。无心的f分布双偏心的分布描述了分布两个独立非中心卡方分布变量和(1959年菸害,Bulgren 1959)。如果,这是通常的(中央)f分布,如果,它变成了单偏心的分布。这个案子给的一个特例双偏心的分布。的概率密度函数双偏心的分布是(1)和分布函数通过(2)在哪里是一个函数和是一个超几何函数。的th生的时刻给出分析,(3)单独的非中心分布是由(4)(5)在哪里是函数,是函数,是一个广义的拉盖尔多项式。它的实现Wolfram语言作为NoncentralFRatioDistribution(n1、n2)。的th生的时刻单独的非中心给出了分布分析(6)最初的几生的时刻然后(7)(8)(9)(10)和前几中央的时刻是(11)(12)的的意思是和方差因此,由(13)(14)参见:(5)在哪里是一个二项式系数.的空燃比的比两个独立的估计方差的正态分布.费米狄拉克分布一个分布出现在半整数自旋粒子物理学的研究,(1)它是由积分(2)(3)在哪里是我们卓越的和是一个polylogarithm.,耿贝尔分布主要有三种类型的Fisher-Tippett极值分布。最常见的是I型分布,有时也被称为甘力克还是耿贝尔分布类型。这是一个极端的分布顺序统计量的分布元素。在这项工作中,术语“耿贝尔分布”是指对应的分布(即最小极值分布。,最低的分布).耿贝尔分布和位置参数和尺度参数实现的Wolfram语言作为GumbelDistribution(,)。它有概率密度函数和分布函数(1)(2)的意思是,方差,偏态,峰度是(3)(4)(5)(6)在哪里是Euler-Mascheroni常数和是摹仿的常数.的分布从一个连续均匀分布在单位时间间隔的概率函数(7)和分布函数(8)的th生的时刻是由(9)最初的几中央的时刻是(10)(11)(12)的意思是,方差,偏态,峰度因此由过剩(13)(14)(15)(16)如果相反,来自标准正态分布,那么相应的累积分布(17)(18)在哪里是正态分布函数。的概率分布然后(19)(20)的意思是和方差在封闭形式表达的小吗,(21)(22)(23)(24)(25)和(26)(27)(28)(29)(30)没有确切的表达而闻名或,但是有一个方程连接它们(31)参见:费雪的z分布费歇尔分布是定义的总体分布(1)(肯尼和保持1951)包括卡方分布和学生的t分布作为特殊情况。让和是独立的无偏估计量的方差的正态分布变量。定义(2)然后让(3)这是一个比卡方变量(4)这使得它的比例伽马分布变量,这本身就是一个主要分布变量,(5)给(6)的的意思是是(7)和模式是(8)Cumulant-Generating函数让是矩量母函数,然后的累积量生成函数(1)(2)在哪里,是累积量.如果(3)是一个函数的独立变量,那么cumulant-generating函数是由(4)参伽马分布伽马分布是一个一般类型的统计分布这是相关的贝塔分布和自然出现在流程之间的等待时间泊松分布事件相关。伽马分布有两个自由参数,标签和,几如上图。考虑到分布函数的等待时间到泊松事件了泊松分布率的变化,(1)(2)(3)(4)(5)为,在那里是一个完整的函数,一个不完整的函数。与一个整数,这个分布是众所周知的一个特例Erlang分布.相应的概率函数的等待时间到然后通过区分th泊松事件,(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)现在我们(不一定是整数)和定义时间之间的变化。然后上面的方程可以写(13)为。这是伽马分布的概率函数,和相应的分布函数(14)在哪里是一个正规化伽马函数.它的实现Wolfram语言的函数GammaDistribution(、)。的特征函数描述这个分布(15)(16)在哪里是傅里叶变换与参数,矩量母函数是(17)(18)给约0的时刻(19)(Papoulis 1984,p . 1984)。为了明确地找到时刻的分配使用矩量母函数,让(20)(21)所以(22)(23)(24)给出了对数矩量母函数作为(25)(26)(27)的的意思是,方差,偏态,峰度然后(28)(29)(30)(31)伽马分布到其他统计分布密切相关。如果, .,是独立的随机变量与伽马分布参数, .,然后分布与参数(32)(33)同样,如果和是独立的随机变量与伽马分布参数和,然后是一个贝塔分布变量和参数。可以得到如下。(34)让(35)(36)然后雅可比矩阵是(37)所以(38)(39)(40)之和因此,分布(41)马分布,比例有分布(42)(43)(44)在哪里是函数,这是一个贝塔分布.如果和变量与参数吗和,是一个变量主要分布与参数和。让(45)然后雅可比矩阵是(46)所以(47)(48)(49)这一比率因此,分布(50)这是一个主要分布与参数.伽马分布的“标准形式”,让,所以和(51)(52)(53)因此,时刻关于0(54)(55)(56)在哪里是Pochhammer象征。的时刻关于然后(57)(58)(59)(60)的矩量母函数是(61)和cumulant-generating函数是(62)因此,累积量是(63)如果是一个正常的变量与的意思是和标准偏差,然后(64)是一个标准的和参数变量吗.正常的分布差异令人惊讶的是,不同的分布正态分布变量和用均值和方差和分别给出了(1)(2)在哪里是一个函数,这是另一个正态分布在的意思(3)和方差(4)参函数可以被视为导数的亥维赛阶跃函数,正常和分布令人惊讶的是,一两笔的分布正态分布独立的变量和用均值和方差和分别是另一个正态分布(1)这也意味着(2)和方差(3)用归纳法,类似结果的总和正态分布变量。通过注意的另一种推导所得(4)(5)在哪里是特征函数和是逆傅里叶变换用参数.更一般的,如果是