应用数学学习的最终归宿.doc

应用数学学习的最终归宿初中数学中考应用性问题复习策略长兴县和平中学 陈亲红一、 近几年来中考数学试题的特点（一）基础知识、基本技能型试题历史悠久（二）规律探索型试题占有一席（三）开放探究型试题日臻完善（四）应用性试题如日中天（五）实验与操作型试题越来越火（六）方案设计型试题初露锋芒（七）阅读理解型试题生机勃勃（八）图表信息型试题引人注目（九）动态型试题继续走红（十）跨学科型试题不容忽视二、近几年中考数学应用性问题的主要特色学习数学的目的之一是 “用数学”，实质就是用数学知识、方法和思想去解决实际问题，培养学生用数学眼光看世界的习惯。数学实际应用题在全国各地中考试卷中成为必考内容，体现了素质教育的要求和新课程标准的理念。1、 以贴近实际生活、生产、经济、科技和社会中的各类问题为背景，涉及的领域十分广泛，小至每天都可能在身边发生的日常生活问题，大至生产、资源节约、环境保护和工程改造等问题，要求学生有较丰富的生活常识。2、 考查的知识点涉及数与式、方程、不等式、函数、统计等多方面的知识的应用，考查学生收集和处理信息的能力以及探究分析问题和解决问题的创新实践能力，要求学生有较高的数学建模能力。3、 题型丰富，包括填空题、选择题和解答题。4、 相对其它题型，题目文字冗长，常令学生抓不住要领，要求学生有较强的阅读理解能力。三、中考数学应用性问题的常见题型题型（一） 方程（组）型应用题题型（二） 不等式（组）型应用题题型（三）函数型应用问题题型（四）统计型应用问题题型（五）几何型应用问题四、中考数学应用性问题的常见题型举例（一）方程（组）型应用题方程是描述丰富多彩的现实世界数量关系的最重要的语言，也是中考命题所要考察的重点热点之一学生必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识，并学会用数学中方程的思想去分析和解决一些实际问题例1(2007年浙江湖州)从有关方面获悉，在我市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度。享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用。下表是医疗费用报销的标准：医疗费用范围门诊住院05000元500120000元20000元以上每年报销比例标准30304050(说明：住院医疗费用的报销分段计算。如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30报销、15000元按40报销、余下的10000元按50报销；题中涉及到的医疗费均指允许报销的医疗费)(1)某农民在2006年门诊看病自己共支付医疗费180元，则他在这一年中门诊医疗费用共 元；(2)设某农民一年中住院的实际医疗费用为x元(5001x20000)，按标准报销的金额为y元，试求出y与x的函数关系式；(3)若某农民一年内本人自负住院医疗费17000元(自负医疗费实际医疗费按标准报销的金额)，则该农民当年实际医疗费用共多少元？评析：现代社会以人为本，越来越注重人文关怀，它渗透到社会的各个领域，本题以学生身边所熟悉的热点社会问题农民合作医疗为背景,考察了学生运算的能力、列代数式以及列方程解应用题的能力，其中第（3）小题先判断出实际医疗费用大于20000元是关键，学生容易失分。例2（2008年浙江湖州）为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了，结果提前2天完成了生产任务求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？评析：本题以“5.12”四川大地震为背景，在考查学生列分式方程解应用题的能力的同时很好地渗透了情感教育，值得注意的是要检验，一方面要检验是否适合方程，另一方面还要检验是否符合实际。解此类问题的一般步骤是：（1）审题， 明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出等量方程；（4）解方程，必要时验根（二）不等式（组）型应用题现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围（趋势），从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识，它们涉及我们日常生活中的方方面面列不等式时要从题意出发，设好未知量之后，用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系例3（2008年江苏连云港）光明农场现有某种植物10 000kg，打算全部用于生产高科技药品和保健食品若生产高科技药品，1kg该植物可提炼出0.01kg的高科技药品，将产生污染物0.1kg；若生产保健食品，1kg该植物可制成0.2kg的保健食品，同时产生污染物0.04kg已知每生产1kg高科技药品可获利润5 000元，每生产1kg保健食品可获利润100元要使总利润不低于410 000元，所产生的污染物总量不超过880kg，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围评析：这是一道贴近生活的应用题，考查一元一次不等式组的解法及其应用，其特点是数据繁杂，要求学生要具有一定的阅读能力和分析能力，在充分理解题意的基础上把问题转化成解不等式组，所以列不等式组和求其整数解是基础，把实际问题转化成数学模型是关键。例4（2008年湖南湘潭）我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：湘 莲 品 种ABC每辆汽车运载量（吨）12108每吨湘莲获利（万元）342（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.评析：本题考察了学生的探究能力，同时考察了处理一元一次不等式组的实际问题及选择方案问题的能力，此类题目首先要读懂题意，然后利用不等式组解的不唯一性设计方案，进而通过比较选择最优方案。这类问题是近年中考的最热点题型。它能展示学生思维的灵活性、发散性、创新性，从而培养学生的自信心、科学精神和创新意识，这也恰是新课程理念的召唤。解此类问题的方法是：抓住题中的关键词，如超过、不超过、不大于、小于等建立不等式（组）模型，利用建立不等式（组）进行数字比较，以确定最佳方案，获取最大效益或者确定最好的工作途径。（三）函数型应用问题函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要例5 (2007年吉林) 今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位在：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的函数图象请根据图中信息，解答下列问题：(1)点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_h，点B的纵坐标300的意义是_；(2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s(单位：km)与时间t(单位：h)的函数图象；(3)若普通快车的速度为100km/h，求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围；求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇；A(第27题图)BCMNO1230.5100200300s/kmt/h直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间评析：一次函数在几何解答中的应用很广泛，此时关注图象的交点是解决问题的突破口。例6（2008年浙江杭州）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所所示，据图中提供的信息，解答下列问题：（1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取之范围；y （毫克）OPt （小时）13第22题图（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？评析：本题是一次函数和反比例函数的综合，由点的坐标求反比例函数的解析式以及不等式与反比例函数的相互转化是解决实际问题的重要方法。例7(2008年湖北武汉)某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件求与的函数关系式及自变量的取值范围；如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？评析：本题为销售决策问题，在市场经济竞争十分激烈的今天，运用所学数学知识进行分析比较，从而做出正确的决策十分重要，因此让学生解答这类问题，无疑是让他们当一回公司经理，做一名决策人！例8（2008年浙江绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，GPS显示村庄在北偏西方向（1）求处到村庄的距离；（2）求村庄到该公路的距离（结果精确到0.1km）（参考数据：，ANBC（第19题图）评析：从近几年全国各省市的中考试题来看，直角三角形的解法及其应用，成为中考的热点，它着重考查学生的应用能力与创新能力。解此题的关键是根据实际情况建立数学模型，通过添加辅助线，构造直角三角形进行解决。若避开本题的实际背景，则它就是一道简单的解直角三角形的问题。解这类题的方法：对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围（四）统计型应用问题统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强中考试题的热点之一，就是考查统计思想方法，同时考查学生应用数学的意识和处理数据解决实际问题的能力例9 (2008年福建龙岩)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的条形统计图如下图.比赛项目票价（元/张）男 篮1000足 球800乒乓球x依据上列图、表，回答下列问题：（1）其中观看男篮比赛的门票有 张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的 %；（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀），问员工小亮抽到足球门票的概率是 ；（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的，试求每张乒乓球门票的价格.评析：2008年是奥运年，本题以人们熟悉和向往的“奥运”为背景，设计考题，在“购买奥运门票”的具体情景中，列方程解决实际问题，使方程思想得到了充分体现。例10 (2008年河北)某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广通过实验得知，C型号种子的发芽率为，根据实验数据绘制了图10-1和图10-2两幅尚不完整的统计图（1）D型号种子的粒数是 ；（2）请你将图10-2的统计图补充完整；（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；（4）若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到B型号发芽种子的概率A 35%B 20%C 20%D 各型号种子数的百分比图10-1图10-2ABCD型号8006004002000630370470发芽数/粒评析：随着社会的发展，统计图在社会生活中的应用越来越广泛，从近几年全国各省市的中考试题来看，对统计初步的知识的考查有加强的趋势，因为它综合考查学生的观察能力、图形与数据处理能力、动手操作绘图能力和综合问题分析能力，主要分布在客观性题型中，而且着重考查运用统计知识解决实际问题能力，热点是常常以新情景下的统计知识应用题。例11(2008年山东青岛)某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成折线统计图和扇形统计图如下：ABCDA：4.9以下B：4.95.1C：5.15.2D：5.2以上（每组数据只含最低值不含最高值）被抽取学生2008年的视力分布情况统计图人数时间（年）8005003000200620072008被抽取学生视力在4.9以下的人数变化情况统计图解答下列问题：（1）该市共抽取了多少名九年级学生？（2）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有多少人？（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想（不超过30字）评析：本题以学生熟悉的生活问题“调查视力”为背景，难度不大，其中第（3）小题还考查了学生的文字表达能力。本题在考查学生运用统计知识解决实际问题能力的同时也渗透了浓厚的生活气息“保护视力，热爱生活”。解这类题的方法：首先细致观察图象、图表、图形，捕捉有效的信息，然后对所获信息进行整理与加工，分清图象所体现的变量之间的关系，最后选择适当的数学工具通过建模解决问题。（五）几何型应用问题几何应用题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想像、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法例12(2008年江苏泰州)如图，某堤坝的横截面是梯形，背水坡的坡度i（即）为11.2，坝高为5米现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶加宽1米，形成新的背水坡，其坡度为11.4已知堤坝总长度为4000米（1）求完成该工程需要多少土方？（4分）（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？（4分）CDEAFB第24题图评析：本题是工程问题，但题目一改了以往的“旧”、“繁”、“偏”的特点，加强了问题背景的创设，充满了生活气息，注重于对运用所学知识分析解决问题能力的考查。例14（2007年陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图）王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图）由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点 （1）求FC的长； （2）利用图求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长评析：分类思想在本题中得到了很好的体现，其中第（2）小题要分点P在AE上、点P在EF上、点P在FC上三种情况进行讨论。解此类问题的方法是：从实际问题中抽象出几何图形，将实际问题转化为几何问题，利用学过的几何知识解答几何问题，从而达到问题的求解。五、中考数学应用性问题的解题思路与方法在仔细阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去。 六、中考数学应用性问题的复习策略1、教会学生思考要让学生养成独立思考的好习惯，不要过多地依赖同学和老师。千万不能一遇到不会做的题就请教同学和老师，应给足自己足够的时间进行独立思考，老师讲的题、与同学讨论的题易忘，自己做的题、特别是做错后改正过来的题便不易忘记。 2、关注思想方法发展思维能力中考数学应用性试题的形式和知识背景千变万化，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的。我们要切实关注学习的体验过程，重视知识的发生过程，不可死记硬背，在学习中只有亲自动手操作实验、在探究中发现规律才会真正理解，达到做一题、会一片，懂一法、长一智。3、精选精练反思提高学数学要做一定量的习题，而且要追求做题的质量。要精选精做，讲效果。对于老师精心组合的题、自己平时害怕的题、容易出错的题要精做，尽可能做到一题多解、触类旁通。要让学生静下心来，通过学习回忆，从中悟出规律来。有所思，有所悟，便会有所发现、有所提高、有所创新，便能悟出道理、悟出规律、悟出灵感。 4、建立备忘录让学生给自己准备一个记录本，对一些典型题解、疑难、易错和易忘问题以及一时解决不了的问题等，随时记录，以备在日常学习中加以解决。经常性地反思自己的错误，使自己的弱项变为强项，劣势变为优势。同时，老师也要建立备忘录，在每次单元测试和月考