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第5章 数值微分和数值积分一、考核知识点：内插求积公式， 代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项。一阶数值微分公式的差商形式（向前差商、向后差商、中心差商），利用多项式插值求节点上某点的微分公式。二、考核要求：1知道内插求积公式及其性质，会计算内插求积公式。2了解代数精度概念，掌握内插求积公式代数精度的判别方法。3熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余项，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。4了解数值微分公式的几种形式。三、典型例题分析1在区间上，求以为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得所以求积公式为2求积公式的代数精确度为（ ）。 解 由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。 令，代入内插求积公式得 左边=，右边， 所以 左边=右边 再令，代入内插求积公式得 左边=，右边= 所以 左边右边所以此公式具有3次代数精度。3用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。解 （1） 梯形公式 因为 ，代入梯形公式得 则 （2） 复化梯形公式 因为 和复化梯形公式得 因为 ， ， 所以 注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 ，使误差小于解 （1） 辛卜生公式 因为，代入辛卜生公式得 4（2） 复化辛卜生公式 因为解不等式 得 ，用，复化辛卜生公式计算得 例5 设为内插求积公式系数 证明 证明：设 ，因为 所以 。5利用中点公式求在x=2处的一阶导数时有两种误差它们分别为 和 。为了避免 误差，我们改写中点公式为 。6数值微分的插值多项式构造的数值微分公式，当n=2时，节点xk=x0+kh(k=0,1,2)的一阶导数的三点公式 ，其余项为 。二阶导数的三点公式 ，其余项为 。7运用梯形公式、辛普森公式、柯茨公式分别计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点至少保留5位）。证明：运用梯形公式，其误差为 实际误差为1）运用辛普森公式其误差为 运用柯茨公式其误差为85个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。（ 6 、）9在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能
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