从函数视角解决数列问题戴海林

从函数视角解决数列问题 瑞安中学 戴海林数列是一类定义在正整数集或它的有限子集上的特殊函数，可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。另外，数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题。（在下面所选讲的问题中，都是从函数的角度展开，事实上，每个问题都还有其它解法，请大家能充分综合数列有关知识，从多角度、多方位完成，本课题大约3至4课时）一、以函数概念为载体，合理消化数列问题。设计意图：通过对数列中的通项公式，前n项和公式等这些特殊函数关系的概念的理解与分析，引导学生充分认识与，与之间的对应关系，从而合理地找到解决问题的办法。例、（1997年上海市高考试题）设 (n)= (nN)，则(n+1)(n)等于（ ）A、 B、 C、 D、点拨：此题从形式上看是考查学生对数列的通项的意义的理解，但事实上更侧重于对函数符号及对应关系的考查，解决它的关键在于如何引导学生对函数 = 的概念的本质的理解，即如何正确表示，从而得出答案。例、（1999年全国高考试题）已知函数y=的图象是自原点出发的一条折线,当nyn+1(n=0,1,2)时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b1），设数列,由f()=n (n=1,2)定义，求，和的表达式。点拨：本题是集函数概念、直线斜率、数列等知识于一体的综合问题，具有高度的抽象性，要求学生掌握归纳、推理、综合等基本能力，同时能合理运用数形结合思想直观简化问题，解决它的关键是如何通过斜率把函数的两个变量有机结合起来，再根据两者的对应关系反映到数列的递推关系中。即=b(n=1,2)，其中x=0，则 =，且=，可求得 =1+，由递推关系通过累加得=。二、以函数图象为工具，直观简化数列问题。设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题（以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。例、在等差数列中，s是其前n项和，公差为.（1）若=m，=n(mn)，求（2）若s=s(mn)，求s 点拨：（1）由=+(n1)d=dn+(d)可知：是关于n的一次式，则三点(m, )、(n，)、(m+n, )共线，根据任意两点斜率相等得=0。（2）由s=n+=可知：是关于n的二次式，且无常数项，令f()= ，由 s=s 得f(m)=f(n)，则=为此二次函数图象的对称轴， 因此 f(m+n)= f(0)=0，即 s=0 。另解：由s=得可知：是关于n的一次式，则三点（m,共线，易求s=0 。当然此题可以有其它很多方法来解决，但是我们从中不难发现利用函数图象直观简便。例、（2000年成都市诊断性试题）已知等差数列，公差为d，等比数列，公比为q(q) ， 若a=b=2，a=b。(1) 比较a与b，a与b的大小； (2) 猜想并证明a与b(n 5)的大小关系。点拨：由题意知a=2+(n2)d=dn+22d， b=2q根据函数y=2q与y=dx+22d的图象可知，在x=2与x=4处有两个公共点，则ab，并可判断当n 5时有a0,a1)，令b=alga若中每一项总小于它后面的项，求a的范围。点拨：由已知得a=a，则b=nalga，又b b，则nlga1时，a显然成立。（2）当a1时a，令=，则在(0,+)上是增函数，则 ()=，(nN)，因此0a1或0a。此题意在寻找递增数列的条件，通过转化归结为恒成立类型的问题，再利用函数的单调性求出最小值，从而得到结果。例、已知数列满足a=aa，a=1，a=2，求点拨：令f(n)= a，则f(n+2)=f(n+1)f(n)若函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)f(x)，则 f(x+3)=f(x+2)f(x+1)相加得f(x+3)=f(x)，则f(x+6)=f(x+3)，因此 f(x)f(x+6)即函数y=f(x)的周期为 ，则易求f(x)+f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)+f(x+4)+f(x+5)=0所以本题是通过变量间规律的探求，发现存在周期性，这样在大大简化了解题过程的同时，很好地培养了学生的思维能力。四、以构造函数为途径，巧妙转化数列问题。设计意图：构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数学思想方法与解题能力。例、（年全国高考试题）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。（1）证明；（2）是否存在常数使得成立？并证明。点拨：（1）设，下证其图象与x轴有两个不同的交点，显然，故其开口向上，令它的公比为q，当q1时，；当时，；当时，。因此其图象与x轴必有两个不同的交点，则对应方程的判别式即，两边取常用对数即可。对于（2）可考察来完成。通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其它的解法，应注意引导与发散。配套练习：1、（1996年全国高考试题）设等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A 、130 B 、1 C 、210 D 、260 2、（2002年上海市春季招生试题）设等差数列的前n项和为，已知则在下列结论中错误的是( )、 B、 C、 D、中的最大值3、（2004年重庆市高考试题）设等差数列的前n项和为，若则使成立的最大自然数n为（）、4005 B、4006 C、4007 D、40084、（2000年全国高考试题）等差数列的前n项和为，若 的前n项和，则=_。5、（2004年甘肃等省高考试题）已知是等比数列，。（1）求数列的通项公式；（2）设是数列其前n项和，证明。6、（2004年北京市高考试题）是定义在0，1上的增函数，满足，在每个区间上，的图象都是斜