第三章 多元统计分析(4).doc

研究生地理数学方法（1） 第三章 多元统计分析（Part 4）第三章 多元统计分析4 附录：基本概念与基础知识这里先介绍几个非常有用的统计学概念，这些概念在地理数量分析中广泛应用，它们是许多计量方法的基础。介绍概念之后，将说明几个常见的数据标准化方法，最后比较一下相关系数和相似系数，并证明其几何意义。有些概念在上一章已经讲过，现在不妨从另一个角度进行理解。1 基本概念最常用的统计概念包括均值、方差、协方差、标准误差、自由度等，逐一说明如下。均值（mean, average）均值作为一组数据的代表，反映的是这组数据的平均水平。算术平均数的计算公式为, (3-4-1)均值具有如下性质：性质1. (3-4-2)性质2. (3-4-3)注意到，必然有. (3-4-4)这意味着：如果用一个数去代表一组数据的平均水平，只有的代表性最好。性质3如果，a为常数，则有 . (3-4-5)从而. (3-4-6)性质4如果， b为常数，则有 . (3-4-7)从而. (3-4-8)性质5若，则有 . (3-4-9)于是. (3-4-10)计算均值的Excel命令：average。方差（variance, var）方差用以衡量数据的集中或分散程度。公式为. (3-4-11)可以证明. (3-4-12)我们称 (3-4-13)为标准差（standard deviation, stdev），它是观测值与均值之间的平均距离。总体方差与抽样方差：前面讲的为总体方差，至于抽样方差（或称样本方差），计算公式为. (3-4-14)相应地，抽样标准差为. (3-4-15)对于y，当然有. (3-4-16)Excel命令：总体方差varp，样本方差var，总体标准差 stdevp，样本标准差stdev。这里文字及逻辑值均忽略不计。 协方差（covariance, cov或covar）用以衡量的协变趋势即共同离散程度，计算公式为. (3-4-17)Excel命令: covar。 变异系数用以衡量数据的波动性。计算公式为. (3-4-18)Excel命令：stdev/abs(average(x)。标准误差（standard error，ste）用以衡量实测数据对预测数据的偏离程度，或者说实测数据相对于回归线的离散程度。计算公式. (3-4-19)检验系数. (3-4-20)Excel命令：标准误差steyx，检验系数steyx/abs(average(y)。 极差用以反映数据之间的最大差距，计算公式为. (3-4-21)Excel命令：max(x)-min(x)。 自由度（degree of freedom, df）为了得出所有观测值所需要的最小观测值的数目。包括回归自由度：变量数目，即k剩余自由度：样本数目减去变量数目再减1，即n-k-1总自由度：样本数目减1，即n-1三者的关系：总自由度回归自由度剩余自由度2 数据标准化假定有n个样本，m个变量，则可以建立一个原始数据矩阵（matrix）X如下. (3-4-22)矩阵的特例称为向量（vector），只有一行的矩阵（记为p=1）称为行向量（row vector），只有一列的矩阵（记为q=1）称为列向量（column vector）。对矩阵X的按列进行标准化，公式为 () (3-4-23)式中或 (3-4-24)为第j个变量的平均值，而或 (3-4-25)为相应变量的标准差。Excel命令及语法：standardize(x, ，)。注意：必须同时按下“Ctrl+Shift+Enter”键。标准化数据的性质：性质1均值为0，即有. (3-4-26)性质2方差为1，即有. (3-4-27)性质3数据标准化以后变量的相关系数等于原始数据的相关系数，即有. (3-4-28)性质4相关系数等于协方差，即有. (3-4-29)标准化的优点： 消除量纲差异的影响； 相关系数等于协方差及（变量在样本空间中的）夹角余弦，便于几何分析和进一步的因子分析。此外，数据标准化还有极差标准化和极差正规化。极差标准化公式为. (3-4-30)显然，与前述标准化的不同之处在于用极差代替了标准差。 极差正规化的公式为. (3-4-31)显然极差正规化的结果是最大值为1，最小值为0，即有. (3-4-32)3 相关系数与相似系数假定有n个样本，m个变量，则可以建立一个原始数据矩阵X如下. (3-4-33)相关系数（correlation coefficient，correl）是对于变量而言，第j和第k个变量的相关系数，计算公式为, (3-4-34)或者. (3-4-35)相似系数（similar coefficient）是针对样本而言，第i和第r个样本的相似系数，计算公式为, (3-4-36)或者. (3-4-37)相关系数的几何意义：复习一下在中学时学到的余弦定理和两点距离公式： 余弦定理（图3-4-1）： ; (3-4-38) 两点间的距离公式（图3-4-2）：. (3-4-39)图3-4-1 三角形与夹角余弦对于标准化数据，原点为O()，计算X与Y的夹角，应有, (3-4-40) , (3-4-41) . (3-4-42)显然. (3-4-43)图3-4-2 夹角余弦示意图类似地，可以将相似系数表示为夹角余弦。相关系数是在样本空间中变量之间的夹角余弦，相似系数则是变量空间中样本之间的夹角余弦。【例】北京、天津及上海的非农业人口和建成区面积。表3-4-1 北京、天津及上海的非农业人口和建成区面积建成区面积非农业人口平 均方 差协方差相似系数北 京488699.7593.8511204.2235762.4741天 津378486.88432.442963.71419751.0811上 海