2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列中，则的值为 .2.设复数满足，则的值为 .3.设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为 .4.在中，若，且三条边成等比数列，则的值为 .5.在正四面体中，分别在棱上，满足，且与平面平行，则的面积为 .6.在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线的焦距为4，则的值为 .8.若正整数满足，则数组的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.设不等式对所有成立，求实数的取值范围.10.设数列是等差数列，数列满足，.（1）证明：数列也是等差数列；（2）设数列、的公差均是，并且存在正整数，使得是整数，求的最小值.11.在平面直角坐标系中，曲线，曲线，经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，求的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、（本题满分40分）设实数满足，令，证明：二、（本题满分40分）给定正整数，证明：存在正整数，使得可将正整数集分拆为个互不相交的子集，每个子集中均不存在4个数（可以相同），满足.三、（本题满分50分）如图，点是锐角的外接圆上弧的中点，直线与圆过点的切线分别相交于点，与的交点为，与的交点为，与的交点为，求证：平分线段.四、（本题满分50分）设，集合，求的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：解：数列的公比为，故.2.答案：解：设，由条件得，比较两边实虚部可得，解得：，故，进而.3.答案：解：由条件知，两式相加消去，可知：，即.4.答案：解：由正弦定理知，又，于是，从而由余弦定理得：.5.答案：解：由条件知，平行于，因为正四面体的各个面是全等的正三角形，故，.由余弦定理得，同理有.作等腰底边上的高，则，故，于是.6.答案：解：注意中共有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有种情况，（3）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于的有4个，直角顶点位于，的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为，进而所求概率为.7.答案：解：二次曲线方程可写成，显然必须，故二次曲线为双曲线，其标准方程为，则，注意到焦距，可知，又，所以.8.答案：574解：由条件知，当时，有，对于每个这样的正整数，由知，相应的的个数为，从而这样的正整数组的个数为，当时，由，知，进而，故，此时共有2组.综上所述，满足条件的正整数组的个数为.9.解：设，则，于是对所有成立，由于，对给定实数，设，则是关于的一次函数或常值函数，注意，因此等价于，解得所以实数的取值范围是.10.解：（1）设等差数列的公差为，则所以数列也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：，因为，故，这样若正整数满足，则.记，则，且是一个非零的整数，故，从而.又当时，有，综上所述，的最小值为.11.解：设，则直线的方程为，代入曲线的方程得，化简可得：，由于与交于两个不同的点，故关于的方程的判别式为正，计算得，因此有，设的横坐标分别为，由知，因此，结合的倾斜角为可知，由可知，故，从而由得：注1：利用的圆心到的距离小于的半径，列出不等式，同样可以求得中的范围.注2：更简便的计算的方式是利用圆幂定理，事实上，的圆心为，半径为，故.加试试卷答案一、证明：当时，不等式显然成立以下设，不妨设不异号，即，那么有因此二、证明：取，令，设，则，故，而，所以在中不存在4个数，满足三、证明：首先证明，即证连接，因为，所以， 由题设，是圆的切线，所以，又（注意是弧的中点），于是由知 因为，所以，于是 而 由，得 ，即又，故设边的中点为，因为，所以由塞瓦定理知，三线共点，交点即为，故由可得平分线段四、解：考虑一组满足条件的正整数对，设中取值为的数有个，根据的定义，当时，因此至少有个不在