江苏省徐州市2014届高三第三次质量检测数学试题含答案.doc

1 徐州市徐州市 2014 届高三第三次质量检测届高三第三次质量检测 数学数学 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 题 每小题题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答题纸相应位置上 分 请把答案填写在答题纸相应位置上 1 已知集合 若 则 3 2aM Na b 4MN MN 2 已知复数 是虚数单位 则的虚部是 3i 1i z iz 3 一个正方体玩具的 6 个面分别标有数字 1 2 2 3 3 3 若连续抛掷该玩具两次 则向上一面数字之和 为 5 的概率为 4 从高三年级随机抽取 100 名学生 将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图 由图中数据可知成绩 在 130 140 内的学生人数为 5 执行如图所示算法的伪代码 则输出的值为 S 6 已知圆柱的底面半径为 1 母线长与底面的直径相等 则该圆柱的表面积为 7 已知点到双曲线的一条渐近线的距离为 则双曲线的离心率为 1 0 P 22 22 1 0 0 xy Cab ab 1 2 C 8 在等比数列中 已知 设为该数列的前项和 为数列的前项和 若 n a 1 1a 4 8a 3n S3n n T 3 n an 则实数 的值为 3nn StT t 9 已知实数 满足条件 则的最大值为 xy 0 0 1 xy xy x 1 2 x y 10 在平面直角坐标系中 直线与函数的图象所有交点的横坐标之和为 xOy1y 3sin 010 2 yxx 11 已知 是以原点为圆心的单位圆上的两点 为钝角 若 111 P x y 222 P xyO 12 POP 则的值为 3 sin 45 1212 x xy y 12 已知函数是定义在上的奇函数 且当时 则不等式的解集 f xR0 x 2 3f xxx 1 4f xx 是 13 如图 在 中 已知 ABC 3 BAC 2AB 3AC 则 2DCBD 3AEED BE 14 已知函数 若存在实数 1 ex a f xa x Rmn S 0 For I From 1 To 7 Step 2 S S I End For Print S 第 5 题图 0 035 0 020 0 010 0 005 a 频率 组距 成绩 110120 130 140160150 第 4 题图 第 13 题图 A C D E B 2 使得的解集恰为 则的取值范围是 0f x m na 二 二 解解答答题题 本本大大题题共共6 小小题题 共共计计90 分分 请请在在答答题题纸纸指指定定区区域域内内作作答答 解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明 证证明明过过程程或或 演演算算步步骤骤 15 本小题满分 14 分 在 中 已知 向量 且 ABC 6 C sin 1 A m 1 cos B n mn 1 求的值 A 2 若点在边上 且 求 的面积 DBC3BDBC 13AD ABC 16 本小题满分 14 分 如图 在五面体中 已知平面 ABCDEFDE ABCD ADBC o 60BAD 2AB 1DEEF 1 求证 BCEF 2 求三棱锥的体积 BDEF 17 本小题满分 14 分 根据统计资料 某工艺品厂的日产量最多不超过 20 件 每日产品废品率与日产量 件 之间近似地满足px 第 16 题图 F A C D E B 3 关系式 日产品废品率 100 已知每生产一件正品可赢利 2 2 19 15 60 1020 540 xx x p x xx N N 日废品量 日产量 2 千元 而生产一件废品则亏损 1 千元 该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额 y 1 将该车间日利润 千元 表示为日产量 件 的函数 yx 2 当该车间的日产量为多少件时 日利润最大 最大日利润是几千元 18 本小题满分 16 分 如图 已知 分别是椭圆的四个顶点 是一个边长为 2 1 A 2 A 1 B 2 B 22 22 1 0 xy Cab ab 112 AB B 的等边三角形 其外接圆为圆 M 1 求椭圆及圆的方程 CM 2 若点是圆劣弧上一动点 点异于端点 直线分别交线段 椭圆于DM A 12 ABD 1 A 2 B 1 B D 12 ABC 点 直线与交于点 EG 2 B G 11 ABF i 求的最大值 1 1 GB EB ii 试问 两点的横坐标之和是否为定值 若是 求出该定值 若不是 说明理由 EF 19 本小题满分 16 分 已知数列 满足 n a n b 1 3a 2 nn a b 1 2 1 nnn n ba b a n N y E 第 18 题图 F M B1 A1A2 B2 D O x G 4 1 求证 数列是等差数列 并求数列的通项公式 1 n b n b 2 设数列满足 对于任意给定的正整数 是否存在正整数 使得 n c25 nn ca pqrpqr 成等差数列 若存在 试用表示 若不存在 说明理由 1 p c 1 q c 1 r c pqr 20 本小题满分 16 分 已知函数 2 12 ln f xaxa xx a R 1 当时 求函数的单调增区间 0a f x 2 当时 求函数在区间上的最小值 0a f x 1 1 2 3 记函数图象为曲线 设点 是曲线上不同的两点 点为线段 yf x C 11 A x y 22 B xyCM 的中点 过点作轴的垂线交曲线于点 试问 曲线在点处的切线是否平行于直线ABMxCNCN 并说明理由 AB 徐州市徐州市 2014 届高三第三次质量检测届高三第三次质量检测 数学数学 附加题 附加题 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在答题卡指定区域内作答 若多做 则按作答 5 的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P E 为 O 上一点 AE AC DE 交 AB 于点 F 求证 PDF POC B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 为实数 若矩阵属于特征值 2 3 的一个特征向量分别为 求 12 cd AcdA 2 1 1 1 矩阵的逆矩阵 A 1 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在极坐标系中 已知圆的圆心为 半径为 点为圆上异于极点的动点 求弦中点的A 4 0 4MAOOM 轨迹的极坐标方程 D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知 且 求证 xyz R2380 xyz 222 1 2 3 14xyz 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 在直三棱柱中 已知 111 ABCABC 1CACB 1 2AA o 90BCA 1 求异面直线与夹角的余弦值 1 BA 1 CB 第 21 A 题 A B P F O E D C 第 22 题图 A B C A1 B1 C1 6 2 求二面角平面角的余弦值 1 BABC 23 本小题满分 10 分 在数列中 已知 n a 1 20a 2 30a 11 3 nnn aaa n N2n 1 当 时 分别求的值 判断是否为定值 2n 3 2 11nnn aaa 2 11 2 nnn aaan 并给出证明 2 求出所有的正整数 使得为完全平方数 n 1 51 nn aa 徐州市徐州市 2014 届高三第三次质量检测届高三第三次质量检测 数学数学 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 7 二 二 解解答答题题 15 1 由题意知 2 分sincos0AB m n 又 所以 4 分 6 C ABC 5 sincos 0 6 AA 即 即 6 分 31 sincossin0 22 AAA sin 0 6 A 又 所以 所以 即 7 分 5 0 6 A 2 663 A 0 6 A 6 A 2 设 由 得 BDx 3BDBC 3BCx 由 1 知 所以 6 AC 3BAx 2 3 B 在 中 由余弦定理 得 10 分ABD 222 2 13 3 2 3cos 3 xxxx 解得 所以 12 分1x 3ABBC 所以 14 分 112 9 3 sin3 3 sin 2234 ABC SBA BCB 16 1 因为 平面 平面 ADBCAD ADEFBC ADEF 所以平面 3 分 BCADEF 又平面 平面平面 BC BCEFBCEF ADEFEF 所以 6 分 BCEF 2 在平面内作于点 ABCDBHAD H 因为平面 平面 所以 DE ABCDBH ABCDDEBH 又 平面 ADDE ADEFADDED 所以平面 BH ADEF 所以是三棱锥的高 9 分BHBDEF 在直角三角形中 所以 ABH o 60BAD 2AB 3BH 因为平面 平面 所以 DE ABCDAD ABCDDEAD 又由 1 知 且 所以 所以 12 分 BCEF ADBC ADEFDEEF 所以三棱锥的体积 14 分BDEF 1113 1 13 3326 DEF VSBH 17 1 由题意可知 4 分 2 3 242 19 15 2 1 5 1020 3180 xx xx x yxppx x xxx N N 2 考虑函数 2 3 242 19 15 5 1020 3180 xx x x f x x xx 当时 函数在上单调减 153 59x 0fx f x 153 5 9 所以当时 取得极大值 也是最大值 153 5x f x 又是整数 所以当时 有最大值 10 分x 64 8 7 f 9 9f 8x f x 64 7 当时 所以函数在上单调减 1020 x 22 5100 0 36060 xx fx f x 10 20 H 第 16 题图 F A C D E B 8 所以当时 取得极大值 也是最大值 10 x f x 100 9 由于 所以当该车间的日产量为 10 件时 日利润最大 10064 97 答 当该车间的日产量为 10 件时 日利润最大 最大日利润是千元 14 分 100 9 18 1 由题意知 2 0 1 B 1 3 0 A 所以 所以椭圆的方程为 2 分1b 3a C 2 2 1 3 x y 易得圆心 所以圆的方程为 4 分 3 0 3 M 1 2 3 3 AM M 22 34 33 xy 2 证明 设直线的方程为 1 B D 3 1 3 ykxk 与直线的方程联立 解得点 6 分 12 AB 3 1 3 yx 2 331 3131 k E kk 联立 消去并整理得 解得点 2 2 1 1 3 ykx x y y 22 1 3 60kxkx 2 22 631 31 31 kk G kk 9 分 i 22 1 22 1 6 3331131 11 2 3131 2 3 31 2 31 31 G E k xGBkkk k EBxkk k k k 当且仅当时 取 121 1 22 22 63 3 k 所以的最大值为 12 分 1 1 GB EB 21 2 ii 直线的方程为 2 B G 2 2 2 31 1 1 31 11 6 3 31 k k yxx k k k 与直线的方程联立 解得点 14 分 11 AB 3 1 3 yx 631 3131 kk F kk 所以 两点的横坐标之和为 EF 2 36 2 3 3131 k kk 故 两点的横坐标之和为定值 该定值为 16 分EF2 3 19 1 因为 所以 2 nn a b 2 n n a b 则 2 分 1 4 224 22 2 122 1 nnn nnn nnn n abb ba b abb b 所以 1 111 2 nn bb 又 所以 故是首项为 公差为的等差数列 4 分 1 3a 1 2 3 b 1 n b 3 2 1 2 9 即 所以 6 分 1312 1 222 n n n b 2 2 n b n 2 由 1 知 所以 2 n an 2521 nn can 当时 1p 1 1 p cc 21 q cq 21 r cr 若 成等差数列 则 1 p c 1 q c 1 r c 21 1 2121qr 因为 所以 pqr 2q 3r 2 1 21q 1 11 21r 所以 不成立 9 分 当时 若 成等差数列 2p 1 p c 1 q c 1 r c 则 所以 211 212121qpr 121421 212121 21 21 pq rqppq 即 所以 12 分 21 21 21 421 pq r pq 22 421 pqpq r pq 欲满足题设条件 只需 此时 14 分21qp 2 452rpp 因为 所以 2p 21qpp 22 4734 1 10rqpppp 即 15 分rq 综上所述 当时 不存在 满足题设条件 1p qr 当时 存在 满足题设条件 16 分2p 21qp 2 452rpp 20 1 2 分 2 12 12 1 2 12 axa x fxaxa xx 21 1 axx x 因为 所以 解 得 0a 0 x 210ax 0fx 1x 所以的单调增区间为 4 分 f x 1 2 当时 由 得 0a 0fx 1 1 2 x a 2 1x 当 1 即时 在上是减函数 1 2a 1 0 2 a f x 0 1 所以在上的最小值为 6 分 f x 1 1 2 1 1fa 当 即时 11 1 22a 1 1 2 a 在上是减函数 在上是增函数 f x 11 22a 1 1 2a 所以的最小值为 8 分 f x 11 1ln 2 24 fa aa 当 即时 在上是增函数 11 22a 1a f x 1 1 2 所以的最小值为 f x 113 ln2 224 fa 综上 函数在区间上的最小值 f x 1 1 2 min f x 13 ln2 1 24 11 1ln 2 1 42 1 1 0 2 aa aa a aa 10 分 10 3 设 则点 N 的横坐标为 00 M xy 12 0 2 xx x 直线 AB 的斜率 22 12 1121221 1212 1 12 lnln yy ka xxa xxxx xxxx 21 12 12 lnln 12 xx a xxa xx 曲线 C 在点 N 处的切线斜率 20 kfx 0 0 1 2 12 axa x 12 12 2 12 a xxa xx 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB 则 12 kk 即 13 分 21 1212 lnln2 xx xxxx 所以 不妨设 则 2 2211 2 112 1 2 1 2 ln 1 x xxxx x xxx x 12 xx 2 1 1 x t x 2 1 ln 1 t t t 令 2 1 ln 1 1 t g ttt t 2 22 14 1 0 1 t 1 t g t ttt 所以在上是增函数 又 所以 即不成立 g t 1 1 0g 0g t 2 1 ln 1 t t t 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB 16 分 徐州市徐州市 2014 届高三第三次质量检测届高三第三次质量检测 数学数学 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 B 选修 4 2 矩阵与变换 由题意知 12242 2 121cdcd 12131 3 11cdcd 所以 解得 5 分 22 3 cd cd 1 4 c d 所以 所以 10 分 12 14 A 1 21 33 11 66 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 由题意知 圆的极坐标方程为 4 分A8cos 设弦中点为 则 OM N 2 M 因为点在圆上 所以 即 9 分MA28cos 4cos 又点异于极点 所以 MO0 所以弦中点的轨迹的极坐标方程为 10 分OM4cos 0 D 选修 4 5 不等式选讲 因为 2222222 1 2 3 123 1 2 2 3 3 xyzxyz 11 8 分 22 236 14xyz 当且仅当 即时 取等 123 123 xyz 0 4xzy 所以 10 分 222 1 2 3 14xyz 22 如图 以为正交基底 建立空间直角坐标系 1 CA CB CC Cxyz 则 所以 1 0 0 A 0 1 0 B 1 1 0 2 A 1 0 1 2 B 1 0 1 2 CB 1 1 0 AB 1 1 1 2 AB 1 1 1 2 BA 1 因为 11 11 11 330 cos 1065 CBBA CB BA CB BA 所以异面直线与夹角的余弦值为 1 BA 1 CB 30 10 4 分 2 设平面的法向量为 1 CAB x y z m 则 即 1 1 0 0 AB CB m m 20 20 xyz yz 取平面的一个法向量为 1 CAB 0 2 1 m 所以二面角平面角的余弦值为 10 分 1 BABC 10 5 22 1 记 演出成功 为事件 A 则事件由三个互斥事件构成 A6X 7X 8X 因为 1113 2323 3 7 C C CC13 6 C35 P X 2121 3222 3 7 C CC C8 7 C35 P X 21 23 3 7 C C3 8 C35 P X 所以 24 6 7 8 35 P AP XP XP X 所以演出成功的概率为 4 分 24 35 2 的可能取值为 4 5 6 7 8 X 因为 21 23 3 7 C C3 4 C35 P X 2121 3222 3 7