高中数学 3.3.1 几何概型课件2 新人教A版必修3.pptVIP

3 3 1几何概型 1 理解几何概型的定义及其特点 2 会用几何概型的概率公式求几何概型的概率 3 应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过程 1 本节课的重点是利用几何概型的概率公式求概率 2 本节课的难点是理解几何概型的定义及其特点 几何概型 1 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 2 特点 无限性 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有 个 等可能性 每个基本事件出现的可能性 成比例 无限 相等 3 概率公式 p a 1 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗 提示 几何概型的概率只与构成事件的区域的长度 面积或体积 有关 而与构成事件的区域形状无关 2 概率为0的事件是否一定是不可能事件 提示 不一定 设 x y x2 y2 4 a x y x2 y2 4 为圆域 而a为圆周 向区域 内投点 则点落在a上的概率而点落在圆周上的情况是可能发生的 故概率为0的事件不一定是不可能事件 3 概率为1的事件是不是一定会发生 提示 不一定 如题2解析中的例子 设点落在圆的内部为事件b 则而点落在圆的内部不一定发生 点也可能落在圆周上 4 为了测算如图阴影部分的面积 作一个边长为6的正方形将其包含在内 并向正方形内随机投掷800个点 已知恰有200个点落在阴影部分内 据此 可估计阴影部分的面积是 解析 本题中向正方形内随机投掷800个点 相当于800个点均匀分布在正方形内 而有200个点落在阴影部分 可知阴影部分的面积答案 9 古典概型与几何概型的区别与联系 与长度有关的几何概型问题 技法点拨 1 与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率的计算公式为 2 与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤 1 找到几何区域d 这时区域d可能是一条线段或几条线段或曲线段 并计算区域d的长度 2 找到事件a发生时对应的区域d 确定d的边界点是问题的关键 3 利用几何概型概率公式求概率 典例训练 1 在区间 1 2 上随机取一个数x 则 x 1的概率为 a b c d 2 已知直线y x b的横截距在 2 3 内 则直线在y轴上的截距b大于1的概率是 a b c d 解析 1 选d 由 x 1得 1 x 1 所以 x 1的概率为故选d 2 选a 所有的基本事件构成的区间长度为3 2 5 直线在y轴上的截距b大于1 直线横截距小于 1 直线在y轴上的截距b大于1 包含的基本事件构成的区间长度为 1 2 1 由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为故选a 归纳 解答本题1 2需注意的问题 解答本题1注意准确求解不等式 x 1 解答本题2注意理解截距的意义 变式训练 2012 内蒙古高一检测 已知函数f x x2 x 2 x 5 5 那么满足f x0 0 x0 5 5 的x0取值的概率为 a b c d 解析 选a 由f x0 0 即x02 x0 2 0 解得 1 x0 2 x0取值的概率为 与面积有关的几何概型问题 技法点拨 1 与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示 则其概率的计算公式为 2 解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 1 根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题 2 找出或构造出随机事件对应的几何图形 利用图形的几何特征计算相关面积 3 套用公式 从而求得随机事件的概率 典例训练 1 2011 福建高考 如图 矩形abcd中 点e为边cd的中点 若在矩形abcd内部随机取一个点q 则点q取自 abe内部的概率等于 a b c d 2 有四个游戏盘 将它们水平放稳后 在上面扔一颗小玻璃球 若小球落在阴影部分 则可中奖 小明要想增加中奖机会 应选择的游戏盘是 解析 1 选c 这是一几何概型 所求概率为故选c 2 选a 各选项中奖的概率依次为故选a 互动探究 题2中 条件不变 若小明有一次去掉一个最小中奖机会的游戏盘的机会 则应选择哪一个 解析 选b 由图象可得各选项中奖概率中b最小为故选b 总结 试总结求不规则图形面积的步骤 首先将不规则图形放入一个规则图形中 再向规则图形中投点 并求出落入不规则图形的点的个数 再用落入不规则图形的点的个数除以所投点的总数 即点落入不规则图形的概率 最后用概率值乘以规则图形的面积即为不规则图形的面积 变式训练 如图 边长为2a的正方形及其内切圆 随机向正方形内丢一粒豆子 则豆子落在阴影部分的概率为 解题指南 求解本题需计算阴影部分的面积及总面积 而阴影部分的面积可由正方形与圆的面积的差来求 解析 易知豆子落在阴影部分的概率可用面积的比来度量 即答案 与体积有关的几何概型问题 技法点拨 1 解与体积有关的几何概型的概率公式如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量 我们要结合问题的背景 选择好观察角度 准确找出基本事件所占的体积及事件a所占的体积 其概率的计算公式为 2 解决与体积有关的几何概型的关键点解决此类问题的关键是注意几何概型的条件 分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关 不要将二者混淆 关键词 分清类型 典例训练 1 在一球内有一棱长为1的内接正方体 一点在球内运动 则此点落在正方体内部的概率为 a b c d 2 已知正方体内有一个内切球o 则在正方体内任取点m 点m在球o内的概率是 解析 1 选d 解题流程 2 设正方体的棱长为2 正方体的内切球o的半径是其棱长的一半 其体积为则点m在球o内的概率是答案 思考 解答题1的难点和题2的关键点是什么 提示 解答题1的难点是找出正方体的棱长与球的半径之间的关系 解答题2的关键点是求出正方体内切球的体积 变式训练 有一杯2升的水 其中含有1个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 3升的水 则小杯水中含有这个细菌的概率 解析 代入计算公式即答案 0 15 规范解答 几何概型与其他知识的综合应用 典例 12分 2011 湖南高考改编 已知圆c x2 y2 12 直线l 4x 3y 25 1 求圆c的圆心到直线l的距离 2 求圆c上任意一点a到直线l的距离小于2的概率 解题指导 规范解答 1 由点到直线l的距离公式可得 4分 2 由 1 可知圆心到直线l的距离为5 要使圆上点到直线的距离小于2 设与圆相交且与直线l平行的直线为l1 其方程为4x 3y 15 则符合题意的点应在l1 4x 3y 15与圆相交所得劣弧上 6分由半径为圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为 10分故所求概率为 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示及解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 如图 在等腰直角三角形abc中 过直角顶点c在 acb内部作一条射线cm 与线段ab交于点m 求am ac的概率 解题设问 1 本题属于哪种概率模型 2 本题所求概率与什么因素有关 几何概型 与 acm的大小有关 规范答题 这是几何概型问题且射线cm在 acb内部 2分在ab上取ac ac 则设a 在 acb内部作一条射线cm 与线段ab交于点m am ac 则所有可能结果的区域角度为90 事件a的区域角度为67 5 10分 12分 1 如图所示 在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积为 a b c d 解析 选b 正方形的面积为4 由知阴影区域的面积为故选b 2 如图 在平面直角坐标系中 射线ot为60 角的终边 在任意角集合中任取一个角 则该角终边落在 xot内的概率是 a b c d 解析 选a 如图 在任意角集合中任取一个角 则该角终边落在 xot内对应的角度为60度 而整个角集合对应的角度为圆周角 该角终边落在 xot内的概率故选a 3 方程x2 x n 0 n 0 1 有实根的概率为 a b c d 解析 选c 由于方程x2 x n 0 n 0 1 有实根 0 即1 4n 0 又n 0 1 有实根的概率为故选c 4 若a是从区间 0 10 中任取的一个实数 则方程x2 ax 1 0无实解的概率是 解析 若方程x2 ax 1 0无实解 则 a2 4 0 即 a 2 a 2 0 2 a 2 又a 0 0 a 2 其构成的区域长度为2 从区