用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)

用待定系数法求二次函数的解析式 回顾 用待定系数法求解析式 已知一次函数经过点 1 3 和 2 12 求这个一次函数的解析式 解 设这个一次函数的解析式为y kx b 因为一次函数经过点 1 3 和 2 12 所以 k b 3 2k b 12 解得k 3 b 6 一次函数的解析式为y 3x 6 解 设所求的二次函数为y ax2 bx c 由已知得 a b c 10a b c 44a 2b c 7 解方程得 因此 所求二次函数是 a 2 b 3 c 5 y 2x2 3x 5 例1已知一个二次函数的图象过点 1 10 1 4 2 7 三点 求这个函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数y ax2 bx c的解析式 关键是求出待定系数a b c的值 由已知条件 如二次函数图像上三个点的坐标 列出关于a b c的方程组 并求出a b c 就可以写出二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 解 因为抛物线的顶点为 1 3 所以 设所求的二次函数的解析式为y a x 1 2 3 例2已知抛物线的顶点为 1 3 与y轴的交点为 0 5 求抛物线的解析式 因为点 0 5 在这个抛物线上 所以a 3 5 解得a 2 故所求的抛物线解析式为y 2 x 1 2 3 即 y 2x2 4x 5 用待定系数法求二次函数的解析式 顶点式y a x h 2 k a h k为常数 a 0 若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时 通过设函数的解析式为顶点式y a x h 2 k 特别地 当抛物线的顶点为原点时 h 0 k 0 可设函数的解析式为y ax2 当抛物线的对称轴为y轴时 h 0 可设函数的解析式为y ax2 k 当抛物线的顶点在x轴上时 k 0 可设函数的解析式为y a x h 2 所以设所求的二次函数为y a x 1 x 1 例3已知抛物线与X轴交于A 1 0 B 1 0 并经过点M 0 1 求抛物线的解析式 又 点M 0 1 在抛物线上 a 0 1 0 1 1 解得 a 1 故所求的抛物线解析式为y x 1 x 1 即 y x2 1 用待定系数法求二次函数的解析式 解 因为抛物线与x轴的交点为A 1 0 B 1 0 交点式y a x x1 x x2 a x1 x2为常数a 0 当抛物线与x轴有两个交点为 x1 0 x2 0 时 二次函数y ax2 bx c可以转化为交点式y a x x1 x x2 因此当抛物线与x轴有两个交点为 x1 0 x2 0 时 可设函数的解析式为y a x x1 x x2 再把另一个点的坐标代入其中 即可解得a 求出抛物线的解析式 交点式y a x x1 x x2 x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标 这两个交点关于抛物线的对称轴对称 则直线就是抛物线的对称轴 应用 例4有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 解 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 根据题意可知抛物线经过 0 0 20 16 和 40 0 三点 可得方程组 通过利用给定的条件列出a b c的三元一次方程组 求出a b c的值 从而确定函数的解析式 过程较繁杂 评价 设抛物线为y a x 20 2 16 解 根据题意可知 点 0 0 在抛物线上 通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解 方法比较灵活 评价 所求抛物线解析式为 例4有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 应用 设抛物线为y ax x 40 解 根据题意可知 点 20 16 在抛物线上 选用两根式求解 方法灵活巧妙 过程也较简捷 评价 例4有一个抛物线形的立交桥拱 这个桥拱的最大高度为16m 跨度为40m 现把它的图形放在坐标系里 如图所示 求抛物线的解析式 应用 课堂练习 课堂小结 求二次函数解析式的一般方法 已知图象上三点或三对的对应值 通常选择一般式 已知图象的顶点坐标 对称轴 最值和另一个点的坐标通常选择顶点