安徽省宣城市八校联考高三数学上学期期末考试试题 (1)

安徽省宣城市八校联考2019届高三数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2.答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔捕清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由图可知阴影部分，表示的集合为，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，因为集合，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.设是虚数单位，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由复数的除法运算，化简复数，进而可得其共轭复数.【详解】因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算以及共轭复数，熟记运算法则以及共轭复数的概念即可，属于基础题型.3.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题中解析式有意义，列出不等式组，即可求出结果.【详解】由已知得，解得.故选B【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，即是求使解析式有意义的的范围，由题意列式计算即可，属于基础题型.4.设是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ）A. B. 1C. 或1D. 或1【答案】D【解析】【分析】先设数列的公比为，由题中条件可得，进而可求出结果.【详解】设数列的公比为，因为，则，所以，解得或1.故选D【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的计算，熟记公式即可，属于基础题型.5.已知是定义在上的奇函数，且当时，若，则（ ）A. -2B. C. D. 2【答案】D【解析】【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，又，而，所以不小于0，所以当时，由，可得，解得.故选D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性概念即可，属于基础题型.6.若曲线的切线倾斜角的取值范围是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，再由切线倾斜角的取值范围是得出斜率范围，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因为倾斜角的取值范围是，所以斜率，因此，所以.故选B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型.7.设是等差数列的前项和，且，则（ ）A. 36B. 45C. 54D. 63【答案】C【解析】【分析】根据，求出，再由，即可得出结果.【详解】因为是等差数列的前项和，且，所以，因此，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的性质以及前项和公式即可，属于基础题型.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由函数平移得到平移后的解析式，再由图像关于轴对称，得到，进而可求出结果.【详解】将函数的图像向左平移个单位，可得，由所得图像关于轴对称，可知，得，故的最小正值是.故选C【点睛】本题主要考查三角函数的平移问题，熟记平移原则，以及三角函数的性质即可，属于基础题型.9.若，满足约束条件，且的最小值为-1，则（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，表示在轴的截距，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件画出可行域如图，因为目标函数可化为，表示在轴的截距，由图像可知：显然在直线与的交点处取得最小值，由解得交点坐标为，则，解得.故选B【点睛】本题主要考查线性规划，由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.10.在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【解析】由题意，所以，当时，即，即时，有最小值。所以，得，即，故选D。点睛：本题考查等差数列、基本不等式的应用。根据等差数列的性质，得，利用基本不等式中的条件型问题，得，则时，即，即时，有最小值，解得，。二、填空题：本大题共5小题.把答案填在题中横线上.11.已知向量，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出向量的坐标表示，再由，列方程计算即可得出结果.【详解】因为向量，所以，又，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.12._【答案】10【解析】【分析】由指数幂运算法则以及对数运算法则即可得出结果.【详解】原式.故答案为10【点睛】本题主要考查对数运算以及指数幂运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.13.如图，在中，过点作延长线的垂线交延长线于点，过点作延长线的垂线交延长线于点，如此继续下去，设的面积为，的面积为，的面积为，以此类推，则_【答案】【解析】【分析】先由题意，分别计算出，进而归纳出，即可得出结果.【详解】因为在中，过点作延长线的垂线交延长线于点，所以的面积为；又过点作延长线的垂线交延长线于点，所以的面积为；如此继续下去，可得的面积为，故数列是一个以为首项，以4为公比的等比数列，所以因此.故答案为【点睛】本题主要考查归纳推理的问题，依题意列举出前几项，根据规律得出一般性结论即可，属于常考题型.14.已知数列的各项都是正数，其前项和满足，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】先由递推公式求出，再由时，整理，求出，进而可求出结果.【详解】因为数列的各项都是正数，其前项和满足，所以当时，；当时，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，因此,又也满足，所以，.故答案为【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题型.15.设非直角的内角、所对边的长分别为、，则下列结论正确的是_（写出所有正确结论的编号）.“”是“”的充分必要条件“”是“”的充分必要条件“”是“”的充分必要条件“”是“”的充分必要条件“”是“”的充分必要条件【答案】【解析】【分析】结合充分条件与必要条件的概念，由正弦定理可判断；由余弦函数的单调性可判断；举出反例可判断，；由二倍角公式和正弦定理可判断.【详解】由，利用正弦定理得，故，等价于，反之也成立，所以正确；由，利用函数在上单调递减得，等价于，反之也成立，所以正确；由，不能推出，如为锐角，为钝角，虽然有，但由大角对大边得，所以错误；由，不能推出，如，时，虽然有，但由大角对大边得，错误；由，利用二倍角公式得，故等价于，正确.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念以及三角函数的相关性质即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.设函数，.（）求的最大值及最小正周期；（）讨论在区间上的单调性.【答案】（） 最大值为，最小正周期为 ；（）在区间上单调递增，在区间上单调递减.【解析】【分析】（）先对函数化简整理，再由正弦函数的值域与周期，即可得出结果；（）先由得到，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】（）因为，所以的最大值为，最小正周期为.（）因为，所以.所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.综上可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.17.已知命题：对任意，不等式恒成立；命题：关于的方程有两个不相等的实数根.若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据不等式恒成立，先求出命题为真命题时，的范围；根据关于的方程有两个不相等的实数根，可求出命题为真命题时，的范围；再由“”为真命题，“”为假命题判断出，的真假，进而可求出结果.【详解】令，则，是增函数，有最小值2，若命题为真命题，则，.若命题为真命题，则，或.为真命题，为假命题，与一真一假.若真，则真，此时；若假，则假，此时，即.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查已知复合命题的真假求参数的问题，只需由复合命题的真假判断出单个命题的真假，即可求解，属于基础题型.18.设的内角、所对边的长分别为、，且.（）证明：、成等差数列；（）若，求的面积.【答案】（）见详解；（） 【解析】【分析】（）由余弦定理和，化简整理即可得出结果；（）由（）的结论先求出，再由余弦定理的推理求出，得到，进而可得出结果.【详解】（）由余弦定理知，又所以，即，所以，因此、成等差数列.（）因为，由（）可得，所以，因此，所以的面积.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.19.已知数列满足，.（）证明：数列为等比数列；（）设，求数列的前项和.【答案】（）见详解；（） 【解析】【分析】（）对，两边取以2为底的对数，即可证明结论成立；（）由（）先求出，再由错位相减法即可求出结果.【详解】（）由，两边取以2为底的对数，得，则，所以为等比数列，首项为2，公比为2.且.（）由（）得因为为数列的前项和，所以，则.两式相减得 ，所以.【点睛】本题主要考查等比数列的概念，以及错位相减法求数列的前项和的问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型.20.设函数，为自然对数的底数.（）若函数存在两个零点，求的取值范围；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求导数，讨论导函数符号变化情况：当时，在上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；当时，先增后减，在处取得最大值，所以，解得的取值范围；（2）先变量分离.再研究函数最小值：在处取得最小值，则，试题解析：（）.当时，在上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；当时，由解得，当时，当时，.故在处取得最大值，存在两个零点，即的取值范围是.（）由（）知，故只需，.令，当时，；当时，.故在处取得最小值，则，即的取值范围是.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.21.设递增数列满足，、成等比数列，且对任意，函数满足.（）求数列的通项公式；（）若数列的前项和为，数列的前项和为，证