二次函数(一)

二次函数 一 二 知识回顾 1 二次函数的图像是一条抛物线 它的对称轴是直线 顶点坐标是 当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点是抛物线上的最低点 当 a 0 时 抛物线开口向 下 顶点是抛物线上的最高点 2 一般二次函数的三种表达式为 一般式 a 0 且 a b c 为常数 顶点式 a 0 a h k 为常数且顶点为 h k 交点式 a 0 a 为常数且为抛物线与 x 轴相交时两交点 的坐标 3 二次函数的表达式是描绘 分析和研究抛物线图像相关性质的基础 而确定二次函数解析式的方法是 待定系数法 一般地 当已知抛物线上三个点的坐标时 可设所求的二次函数为一般式 当已知抛物线 的顶点坐标 h k 时 可设为顶点式 当已知抛物线与 x 轴的两个交点 0 0 时 可设其解析式为交点式 4 抛物线平移的实质是抛物线顶点的平移 典型例题典型例题 例 1 已知函数是关于 x 的二次函数 求该二次函数图像的 开口方向 对称轴方程 顶点坐标 画出函数的大致图像 解析 解析 已知函数为关于 x 的二次函数 实数 m 的值应满足的条件是 解之 得 m 0 函数为 函数中 图像的开口向下 a 3 b 6 由知 图像对称于直线 x 1 显然由 知 抛物线顶点的横坐标为 x 1 顶点坐标为 1 4 当然 当 x 1 时 代入中 也可求得 y 4 顶点为 1 4 在直角坐标系中 根据抛物线的顶点 1 4 对称于直线 x 1 开口向下 且过 y 轴上的点 0 1 大致可画出该函数的图像 见下图 例 2 已知抛物线过原点 且开口向上 写出函数图像的顶点坐标及对称 轴 并画出大致的图像 解析 解析 应先确定函数的解析式 图像开口向上且过原点 实数 m 的值应满足 解之 得 m 2 抛物线为 又 需求的是抛物线的顶点与对称轴方程 不妨将此抛物线的解析式配方成顶点式 其顶点为 1 1 对称轴为直线 x 1 在直角坐标系中可知图像与 x 轴相交于两点 2 0 与 0 0 开口向上 大致图像如下图 例 3 已知二次函数的图像经过点 A 1 0 B 2 0 C 3 4 在直角坐标系中大致地作出该 函数的图像 解 解 1 A B C 在二次函数的图像上 可设其图像的表达式为 当 x 1 时 y 0 当 x 2 时 y 0 当 x 3 时 y 4 解这个方程组 得 所求的二次函数解析式为 将配方 得 抛物线的顶点为 对称轴为直线 图像开口向上 注意到 A B 恰为抛物线与 x 轴相交的两个交点 且抛物线与 y 轴相交于点 0 4 在直角坐标 系中可大致作出图像如下图 解 解 2 抛物线过点 A B 且抛物线关于对称轴对称 不妨设解析式为 又抛物线经过点 C 3 4 当 x 3 时 y 4 a 2 y 2 x 1 x 2 余下同解 1 解 解 3 AB 的中点为点 0 抛物线对称于直线 设解析式为 又抛物线过点 A C 可求得 a 2 余下同解 1 例 4 已知抛物线 1 先将抛物线向左平移 2 个单位 再向上平移 1 个单位 求平移后的解析式 2 若一条抛物线与抛物线关于 x 轴对称 求此抛物线的解析式 3 若一条抛物线与抛物线关于 y 轴对称 求此抛物线的解析式 解 解 1 抛物线的平移其形状 开口大小与开口方向均不变 a 的值不变 但其顶点位置发生了改变 即顶点被平移了 只需求出新的顶点坐标即可 其顶点为 1 6 平移后的新顶点为 1 7 平移后抛物线为 即 2 关于 x 轴对称 其形状 开口大小不变 但开口方向相反 且顶点关于 x 轴对称 新抛物线的顶点为 1 6 其解析式为 即 或 只是开口反向 对于原抛物线上的任一点 x y 均变成了 x y 由可知 新抛物线为 即 3 关于 y 轴对称的两条抛物线具有形状 大小以及开口方向均相同的特征 a 的值不变 但两抛物线的顶点关于 y 轴对称 新抛物线的顶点为 1 6 其解析式为 即 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 1 已知是二次函数 且图像的开口向下 则 m 2 若抛物线过点 A 2 6 和 B 2 6 则抛物线的对称轴是 3 已知抛物线对称于直线 x 2 且过点 5 0 和 2 14 则它与 x 轴相交的两交点之间相距 个长度单位 4 设抛物线过点 3 2 和 2 7 且当 x 0 x 2 时的函数值相等 画出抛物线 5 已知二次函数 将它化成的形式 指出图像的顶点坐标和对称轴 你能否利用图像来求解不等式 6 已知抛物线 现以它的顶点为中心旋转 180 求得到的新的抛物线的解析式 若 继续上 下平移 使它与直线交于 y 轴上一点时 求此时抛物线的解析式 7 已知二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标分别为 2 和 6 图像与 y 轴的交点 到原点的距离是 3 求这个函数的解析式并画出其图像 8 已知抛物线经过直线与 x y 轴的两交点 1 求这条抛物线的对称轴方程以及顶点坐标 2 你能利用函数的图像 找出 x 取哪些值时 y 0 吗 9 已知以 1 0 为圆心 1 为半径的圆 M 和抛物线 现有两个命题 1 抛物线与圆 M 没有交点 2 将抛物线向下平移 3 个单位后 此抛物线与圆 M 相交 请判断 以上两个命题是否为真命题 说说你的理由 10 如图 在同一坐标系中 直线与坐标轴交于 B C 两点 抛物线与坐标轴交于 A B C 三点 且对称轴平行于 y 轴 1 分别求出的解析式 2 利用图像 你能指出当 x 为何值时 吗 3 请利用图像指出 当 x 为何值时 试题答案试题答案 1 2 轴 3 6 4 图像略