导数的概念(老师版).doc

导数的概念1.导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) _.函数f(x)的导函数：称函数f(x) 为f(x)的导函数答案：2基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x(Q*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)exf(x)_f(x)ax(a0，a1)f(x)_续表基本初等函数导函数f(x)ln xf(x)_f(x)logax(a0，a1)f(x)_答案：0x1cos xsin xexaxln a3导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)(g(x)0)答案：(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积答案：yuuxy对uu对x5.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为_答案：P(x0，y0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)考点一 导数的计算1、分别求出下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()AeB1C1De答案B解析f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，f(1)1.故选B.32017长春二模若函数f(x)，则f(2)_.答案解析由f(x)，得f(2).点石成金导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导考点二 导数的几何意义角度一求切线方程1、曲线y2x33x5在点(2,15)处的切线的斜率为_答案：21解析：因为y6x23，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k622321.2、(1)2017河北唐山模拟曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10答案C解析由于ye，所以yx1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.(2)2017四川雅安模拟设曲线yexax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则实数a()A3B1C2D0答案C解析与直线x2y10垂直的直线斜率为2，f(0)e0a2，解得a2.(3)过点A(2,1)作曲线f(x)x33x的切线最多有()A3条B2条C1条D0条答案A解析由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0)，那么切线的斜率为k3x3，利用点斜式方程可知切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x6x70.令y2x6x7，则y6x12x0.由y0得x00或x02.当x00时，y70；当x02时，y10.结合函数y2x6x7的单调性可得方程2x6x70有3个解故过点A(2,1)作曲线f(x)x33x的切线最多有3条，故选A.角度二求切点坐标3、若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_答案(e，e)解析由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度三求参数的值4、(1)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1B0 C1D2答案C解析两曲线的交点为(0，m)，即a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则f(0)0，f(0)1.又g(x)2xb，g(0)b，b0，ab1.(2)若函数f(x)x2axln x上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0有解，ax2(x0)点石成金1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解2已知斜率k，求切点A(x0，f(x0)，即解方程f(x0)k.3(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解(2)当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.巩固练习：1、 曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为_答案：3xy10解析：依题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率k(01)e023，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即3xy10.2、若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.答案：解析：易知点(1，a)在曲线yax2ln x上，y2ax，y|x12a10，a.32014大纲全国卷曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1答案：C解析：yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12.42014新课标全国卷设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3答案：D解析：ya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.52016新课标全国卷已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_答案：y2x1解析：由题意可得，当x0时，f(x)ln x3x，则f(x)3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.62016新课标全国卷若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.答案：1ln 2解析：设ykxb与yln x2和yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)，则切线分别为yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxln x11，yxln(x21)，依题意，得解得x1，从而bln x111ln 2.72015陕西卷设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案：(1,1)解析：yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1) 课外拓展阅读 构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；第三步，得出结论1（2017咸阳二模）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，则下列结论正确的是（）A2f（ln2）3f（ln3）B2f（ln2）3f（ln3）C2f（ln2）3f（ln3）D2f（ln2）3f（ln3）【分析】由题意设g（x）=exf（x），求出g（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由单调性和指数的运算即可得到答案【解答】解：由题意设g（x）=exf（x），则g（x）=exf（x）+exf（x）=exf（x）+f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，ex0，对任意xR满足g（x）0，则函数g（x）在R上是减函数，ln2ln3，g（ln2）g（ln3），即2f（ln2）3f（ln3），故选：A【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，属于基础题2（2017广西一模）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）xf（x），则（）A2f（1）f（2）B2f（1）f（2）C2f（1）=f（2）Df（1）=f（2）【分析】根据条件f（x）xf（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求【解答】解：设g（x）=，则g（x）=，f（x）xf（x），g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递增，即2f（1）f（2）故选：A【点评】本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题巩固练习；1（2017腾冲县校级一模）已知f（x）为R上的可导函数，且对xR，均有f（x）f（x），则有（）Ae2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）Be2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）Ce2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）De2016f（2016）f（0），f（2016）e2016f（0）【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对xR，均有f（x）f（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，因为f（x）f（x），所以g（x）0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（2016）g（0）g（2016）即，所以f（0）=e2016f（2016），e2016f（0）f（2016），故选：D【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题2（2017咸阳二模）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，则下列结论正确的是（）Ae2f（2）e3f（3）Be2f（2）e3f（3）Ce2f（2）e3f（3）De2f（2）e3f（3）【分析】令g（x）=exf（x），利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案【解答】解：令g（x）=exf（x），则g（x）=ex（f（x）+f（x）0，g（x）递减，g（2）g（3），e2f（2）e3f（3），故选：A【点评】该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在3（2017抚顺一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），若对任意实数x都有x2f（x）2xf（x），则不等式x2f（x）（3x1）2f（13x）的解集是（）A（，+）B（0，）C（，）D（，）（，+）【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（x）=f（x）对任意正实数x满足xf（x）2f（x），可得：xf（x）+2f（x）0，设g（x）=x2f（x），可得g（x）0可得函数g（x）在（0，+）上单调递增即可得出【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（x）对任意正实数x满足xf（x）2f（x），xf（x）+2f（x）0，设g（x）=x2f（x），g（x）=2xf（x）+x2f（x）0函数g（x）在（0，+）上单调递增又g（0）=0，g（x）=x2f（x）=g（x），函数g（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的增函数不等式x2f（x）（3x1）2f（13x）g（x）g（13x），x13x，解得x不等式x2f（x）（3x1）2f（13x）的解集为：（，）故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（2017南平一模）定义在R上的函数f（x），f（x）是其导函数，且满足f（x）+f（x）2，f（1）=2+，则不等式exf（x）4+2ex的解集为（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）【分析】可构造函数令g（x）=exf（x）2ex4，然后求导，根据条件即可得出g（x）0，进而得出函数g（x）在R上单调递增，并求出g（1）=0，这样便可求出原不等式的解集【解答】解：令g（x）=exf（x）2ex4，g（x）=exf（x）+exf（x）2ex=exf（x）+f（x）2；f（x）+f（x）2；g（x）0；g（x）在R上单调递增；x1时，g（x）0；原不等式的解集为（1，+）故选B【点评】考查导函数的概念，构造函数解决问题的方法，积的函数的求导公式，函数导数符号和函数单调性的关系方法技巧1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数易错防范1.曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点2利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点4曲线未必在其切线的同侧，如曲线yx3在其过点(0,0)的切线y0的两侧练习；1曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1解析：选C.yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为yx12.2等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26B29C212D215解析：选C.依题意，记g(x)(xa1)(xa2)(xa8)，则f(x)xg(x)，f(x)g(x)xg(x)，f(0)g(0)a1a2a8(a1a8)4212，故选C.3直线ykxb与曲线yax22ln x相切于点P(1,4)，则b的值为()A3B1C1D3解析：选C.由点P(1,4)在曲线上可得a122ln 14，解得a2，故y2x22ln x，所以y4x，所以曲线在点P处切线的斜率ky|x14