含有绝对值的不等式.doc

学科：数学教学内容：含有绝对值的不等式【学习目标】1重点理解正确理解含绝对值的不等式，理解绝对值不等式ababab及等号成立的条件2重点掌握含绝对值不等式的性质及绝对值不等式的证明方法；绝对值不等式的解法3能力培养培养对数学的理解能力、应用能力及论证能力【学习障碍】1理解障碍(1)绝对值的性质和绝对值的运算法则当a0时，xaaxa；xaxa或xaabab， (b0)绝对值xa的几何意义是指数轴上数x对应的点到a所对应的点的距离(2)掌握绝对值不等式abababababab(3)在abab中等号成立的条件是ab0；在abab中等号成立的条件是ab0且ab；在abab中等号成立的条件是ab0；在abab中等号成立的条件是 ab0且ab，(4)abab，可以推广到n个数的形式，即a1a2ana1a2an2解题障碍(1)定理ababab的几何意义是：三角形的任意两边之差小于第三边，三角形的任意两边之和大于第三边(2)定理在向量中也适用，即有：ababab(3)定理在今后学习的复数中也适用，即z1z2z1z2z1z2(4)定理也可写成以下形式：ababab(5)要重视绝对值的性质在解题中的应用，要重视等号成立的条件【学习策略】1解绝对值不等式的方法(1)定义法：xaaxa (a0)xaxa或xa (a0)(2)平方法：f(x)g(x)f(x)2g(x)2(3)利用绝对值的几何意义(4)分区间讨论法：含有多个绝对值符号的不等式，可以先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值在数轴上标注出来，它们将数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内代数式在每个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式，再求此不等式的解集2含绝对值不等式的证明方法有：综合法、分析法、放缩法、三角代换法要注意分析法的灵活运用【例题分析】例1求使不等式x4x3a有解的a的取值范围策略：分区间讨论法或用绝对值的几何意义解法一：将数轴分为(，3)，3，4，(4，)三个区间(1)当x3时得 (4x)(3x)a，x不等式有解的条件为3，即a1；(2)当3x4时，得(4x)(x3)a，即a1；(3)当x4时，得(x4)(x3)a，即x不等式有解的条件是4，a1综上所述，a1图651解法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B(图651)所示由绝对值的几何意义，原不等式即要求PAPBa成立AB1，数轴上任一点到A、B的距离之和大于或等于1，即x4x31，故当a1时，x4x3a有解评注：对于形如xaxbc(c0)型的不等式，可以利用实数绝对值的几何意义来解释，即此不等式的几何意义是：实数x对应的点是实数轴上到a、b两实数对应的点距离之和或差小于c的点的集合例2解下列不等式(1)1(2)x7x23策略：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构，选用恰当的方法如(1)题中既可利用f(x)g(x) g(x)f(x)g(x)，也可用f(x)g(x)f2(x)g2(x)，而(2)题中有两个绝对值符号，故可用分区间讨论法或图象法求解(1)解法一：111原不等式的解集为(，41，14，)解法二：1 ()219x2(x24)2且x24x417x2160且x2x21或x216且x21x1或x4或x4不等式的解集为(，41，14，)(2)解法一：令x70，x20得x7，x2当x7时，不等式变为x7x2393成立 x77x2时，不等式变为x7x23即2x2，x1 7x1当x2时，不等式变为x7x23即93不成立，x原不等式的解集为(，1解法二：x7x2可以看成数轴上的动点(坐标为x)到7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x1，如图652所示图652从图上易知不等式x7x23的解为x1即x(，1评注：本例第(1)小题中显然第二种解法较简便，如果从函数的观点看f(x)1为偶函数，所以可先在区间0，)上解不等式，再利用对称性确定不等式在(，0)上的解例3已知ac，bc，求证：策略：分析法证明：要证明，只须证明()2成立，即，即证(a22abb2)c2c42c2aba2b2成立即a2c2b2c2c4a2b20即(a2c2)(c2b2)0ac，bca2c2，b2c2即a2c20，c2b20(a2c2)(c2b2)0成立原不等式成立评注：本题也可采用综合法去证明例4求证：策略：放缩法证明：(1)若ab0时，不等式显然成立(2)若ab0，则abab，综上所述，原命题得证评注：本题也可构造函数f(x)，通过f(x)在(0，)上是增函数来论证本题读者也可尝试另外的证题方法例5已知函数f(x)，设a，bR，且ab，求证：f(a)f(b)ab策略：分析法或放缩法证法一：(分析法)f(a)f(b)abab(ab)22a2b22a2b22ab1ab当ab1时，式显然成立当ab1时，式(1ab)2(1a2)(1b2)2aba2b2ab，式成立原不等式成立证法二：(放缩法)ab原不等式成立评注：本题证法很多读者可尝试用三角代换法、数形结合法或向量法去证明例6设关于x的不等式x和x23(a1)x2(3a1)0(aR)的解集依次为A、B，求使AB的实数a的取值范围策略：解不等式，分别先求出集合A和B，再利用AB建立关于参数a的不等式，便可求出a的取值范围解：x，Ax2axa21又x23(a1)x2(3a1)0(x2)x(3a1)0(1)当a时，Bx2x3a1由AB可得，解得1a3(2)当a时，由AB得，解得a1综上所述，a的取值范围是1，3评注：在上述解法中，我们发现引起讨论的主要原因是一元二次不等式中含有参数a，且两根2与3a1的大小由a的取值情况来确定如果从方程的观点来考虑AB等价于方程x23(a1)x2(3a1)0在区间(，2a和a21，)上各有一个实根，有了这种思想，就不需要讨论，可立即建立一个关于a的不等式设f(x)x23(a1)x2(3a1)，则由AB得解这个不等式组，便可求出a的取值范围例7已知关于实数x的二次方程x2axb0有两个实数根、，求证：(1)若2，2，则2a4b且b4；(2)若2a4b且b4，那么2，2策略：本题解题的关键是建立根与系数的关系，再由实数绝对值的性质即可完成证明证法一：由韦达定理知a，b(1)2，2，b4又22，22(b4)2ab42ab42ab4 结论成立(2)b4，2ab44b4，(b4)2ab4故(2)(2)4a40(2)(2)2()4b2a4020且20 即2，2又(2)(2)4a40(2)(2)2()4b2a4020且20 即2且2故22，22 2且2证法二：(1)2，22ab4且4b42ab4且b4(2)由2ab4，b4不妨设，则2222同理2，22，故2且2证法三：(1)由2且2得、(2，2)令f(x)x2axb，则2ab4且b4由得：a422由得(b4)2ab4 令f(x)x2axb则f(2)42ab0 f(2)42ab0 由知、(2，2)2且2评注：证法一利用了韦达定理，证法二利用了方程的根，但很繁琐，证法三利用二次函数这三种方法都很好地利用了根与系数之间的关系，值得借鉴【同步达纲练习】1设实数a，b满足ab0，则AababBababCababDabab2设xR，则(1x)(1x)0成立的充分必要条件是Ax1Bx1Cx1Dx1且x13不等式x的解集为A Bxx0Cx0x1Dxx0或x14不等式31的解集是Ax5x16Bx7x20Cx6x18Dx8x225若abc，则在以下各项中，一定成立的有(1)abc (2)abc (3)acb (4)acb (5)abcA1个B2个C3个D4个6若不等式logax1对于x(，3)恒成立，则实数a的取值范围是Aa3B0aC0a或a3D0a或a37若xah，yah，则下列不等式一定成立的是AxyhBxy2hCxyhDxy2h8不等式xx2的解集是_9不等式x10的解集是_10若实数xy满足xy4，则xy的最大值是_11不等式3的解集是_12若函数ylogax在x2，)上恒有y1，则实数a的取值范围_13不等式x25x60的解集是_14解不等式x32x1115解不等式x23x4x116设f(x)ax2bxc，当x1时总有f(x)1，求证：f(2)8参考答案【同步达纲练习】1解析：采用特值代入法ab0等价于解得x1且x1答案：D3解析：|x|0，原不等式等价于x，解得0x1答案：C4解析：不等式等价于131即24，4x216，6x18答案：C5解析：|ab|c，cabc(c0)，故()()(4)成立答案：C6解析：|logax|1，1logax1，即logalogaa，当0a1时，不等式的解为ax1时，不等式的的解为xa又由于不等式对x(，3)恒成立，可解得0a或a3答案：C7解析：|xy|xaay|xa|ya|hh2h答案：B8解析：两边平方法不等式等价于x21答案：x|x19解析：两边平方法当x10时，不等式等价于(x10)2x10，解得x11答案：(11，)10解析：|xy|4，x22xyy216162xyx2y22xy，xy4答案：411解析：不等式3等价于0，即1|x|2，解得2x1或1x2答案：2，1)(1，212解析：用数形结合的方法求解答案： a2且a113解析：不等式x25|x|60，即|x|25|x|60，即(|x|3)(|x|2)02|x|3，解得3x2或2x3答案：(3，2)(2，3)14解：(1)当x3时，不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3(2)当3x时，不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x(3)x时，不等式(x3)(2x1