勾股定理的逆定理直角三角形的判定

勾股定理的逆定理 直角三角形的判定 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗 古埃及人曾用下面的方法得到直角 用13个等距的结 把一根绳子分成等长的12段 然后以3个结 4个结 5个结的长度为边长 用木桩钉成一个三角形 其中一个角便是直角 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a b c 1 3 4 5 2 4 6 8 3 6 8 10 动手画一画 勾股定理的逆定理 勾股定理 如果三角形的三边长a b c满足那么这个三角形是直角三角形 且边c所对的角为直角 互逆定理 a2 b2 c2 勾股定理的逆命题的证明 如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和 那么这个三角形是直角三角形 已知 在 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 求证 ABC是直角三角形 证明 画一个 A B C 使 C 900 B C a C A b a b A B C 已知 在 ABC中 AB c BC a CA b 满足 A B b c a b 证明 作 在 ABC和 ABC C C a 求证 C 90 使 则有 中 90 90 三角形的三边长a b c满足 a2 b2 c2那么这个三角形是直角三角形 且边c所对的角为直角 勾股定理的逆定理 1 勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系 它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据 2 勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形 通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形 它可作为直角三角形的判定依据 例1判断由a b c组成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 分析 由勾股定理的逆定理 判断三角形是不是直角三角形 只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方 解 152 82 225 64 289 172 289 152 82 172 这个三角形是直角三角形 下面以a b c为边长的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一个角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 12 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b 2c 像 3 4 5 6 8 10 25 20 15 5 12 13 等满足a2 b2 c2的一组正整数 通常称为勾股数 利用勾股数可以构造直角三角形 n2 1 2n n2 1 n为大于1的正整数 是勾股数吗 3k 4k 5k k 2为正整数 也是一组勾股数吗 例3 在 ABC中 a 15 b 17 c 8 求此三角形的面积 为直角三角形 且 B 90 ABC的面积为 8 15 17 A B C 已知 如图 四边形ABCD中 B 900 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形ABCD的面积 S四边形ABCD 36 B A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等边三角形 1 3 如果 ABC的三边分别为a b c且满足a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 判定 ABC的形状 二 解答题 练习 这个三角形是直角三角形 3 ABC三边a b c为边向外作正方形 以三边为直径作半圆 若S1 S2 S3成立 则 ABC 是直角三角形吗 A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3 分析 先来判断a b c三边哪条最长 可以代m n为满足条件的特殊值来试 m 5 n 4 则a 9 b 40 c 41 c最大 ABC是直角三角形 1 勾股定理的逆定理2 怎样判断一个三角形是否为直角三角形 3 熟悉常用的勾股数 请谈谈你的收获 七 师生互动 小结 二 P R Q S N E 例2 远航 号 海天 号轮船同时离开港口 各自沿一固定方向航行 远航 号每小时航行16海里 海天 号每小时航行12海里 它们离开港口一个半小时后相距30海里 如果知道 远航 号沿东北方向航行 能知道 海天 号沿哪个方向航行吗 拓广与应用 谢谢大家 判断 若a b c是 ABC的三边 则a2 b2 c2 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何语言表述 a2 b2 c2 C 90 例2已知某校有一块四边形空地ABCD 如图 现计划在该空地上种草皮 经测量 A 90 AB 3m BC 12m CD 13m DA 4m 若每平方米草皮需100元 问需投入多少元 3 2勾股定理的逆定理 设 ABC的3条边长分别是a b c 且a n2 1 b 2n c n2 1 问 ABC是直角三角形吗 拓展延伸 3 2勾股定理的逆定理 若 ABC的三边a b c满足条件a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC的形状 思考 3 2勾股定理的逆定理 思考 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是不是直角三角形 定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 这个结论是勾股定理的逆定理 书写格式 a2 b2 c2 ABC为Rt 满足a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 猜想 三角形的三边长a b c满足 a2 b2 c2那么这个三角形是直角三角形 已知 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 求证 ABC是直角三角形 7如图 一块四边形地 测得四边长如图所示 且 ABC 90 求这个四边形地的面积 单位 米 3 4 13 12 8已知3 4 5是一组勾股数 那么3k 4k 5k k 2为正整数 也是一组勾股数吗 二 解答题 1 已知 a m2 n2 b 2mn c m2 n2 m n为正整数 m n 试判定由a b c组成的三角形是不是直角三角形 不是 练习 思考1 ABC三边a b c为边向外作正方形 若S1 S2 S3成立 则 ABC是什么三角形 为什么 思考2 已知 ABC是直角三角形 以a b c为边向外作正方形 有S1 S2 S3 为什么 思考交流 a2 b2 c2 直角三角形 直角三角形 a2 b2 c2 7 如图 AD CD AC BC AB 13 CD 3 AD 4 求 1 求AC长 2 求BC长8 如图 AD CD AB 13 BC 12 CD 3 AD 4 求 1 求AC长 2 ACB的度数 变式训练 勾股定理与逆定理的综合运用 9 如图 AC BC AB 13 BC 12 CD 3 AD 4 求 1 求AC长 2 求的面积 勾股定理的逆命题 勾股定理 互逆命题 逆定理 定理 1 一个零件的形状如下图所示 按规定这个零件中 A和 DBC都应为直角 工人师傅量出了这个零件各边尺寸 那么这个零件符合要求吗 此时四边形ABCD的面积是多少 2 已知a b c为 ABC的三边 且满足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC的形状 C 900 A B 2 a2 b2 a2 b2 c2 A B 2 c2 A B c 边长取正值 ABC A B C SSS C C 全等三角形对应角相等 C 900 已知 在 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 求证 ABC是直角三角形 或 C 900 证明 画一