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第二次作业参考答案2-1设,试求,并验证。解: ,2-2计算下列乘积：（1） （2） （3） （7）（n为正整数）解：(1) (2) (3) （7）令当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；当n=5时，猜想下面用数学归纳法证明当n=1时显然成立假设当n=k时猜想成立即则当n=k+1时成立故2-4设A ,B都是n阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？（1） （2）（1）为使则即原等式成立的条件是（2）为使则即原等式成立的条件是2-6设,求所有与A可交换的矩阵解：若矩阵B与矩阵A可交换且A为22矩阵，按矩阵乘法的定义知B也必为22矩阵，不妨设则，由已知得即由此知所有与A可交换的矩阵为其中a,b为任意常数2-7已知A是对角元互不相同的n阶对角矩阵，即，当时，。证明：与A可交换的矩阵必是对角矩阵。证明：设与A可交换的矩阵B为，则有，即，比较相应元素得，由于，所以，即与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵。2-8（1）证明：若A,B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。（2）设A是一实对称矩阵，且,证明：证明：（1）A,B均为n阶对称矩阵, 先证充分性：由于A与B可交换，则 即AB是对称矩阵再证必要性：由于AB是对称矩阵，则 即综上所述，若A,B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。（2）设，由于且, 所以2-9求下列方程的逆矩阵（1） （3）（5）（其中）注：其实一般不通过求伴随矩阵来求逆矩阵，因为比较麻烦，通过初等矩阵的推论来求会比较方便。但作为基础，还是要学会通过求伴随矩阵求逆矩阵。解：（1）令且知A可逆，(3)令且知A可逆， (5)令且易得，当时2-10设, 是A的伴随矩阵，求解：2-11解下列矩阵方程：（1）（3）解（1）：设，则。即，解得。解（3）：，2-12，设，求.解：，2-13,利用逆矩阵解下列线性方程组：（1） （2）解（1），故（2）, 故2-15，设方阵满足方程，证明可逆，并求其逆。解：，可逆且。2-17，分别写出下列矩阵的行阶梯形，行最简形和等价标准形。（1）（2）。（3）。2-18，设同为矩阵，证明：等价于当且仅当存在m阶可逆阵和n阶可逆阵，使。证明：必要性：先对进行有限次的初等行变换，相当于在的左边进行有限个m阶初等矩阵，即有限个m阶初等矩阵的乘积，可设为m阶可逆阵。再对进行有限次的初等列变换，相当于在的右边乘以有限次的初等矩阵的乘积，设为n阶可逆阵。可转换为，。充分性：，为m阶可逆阵，为n阶可逆阵，同为矩阵，相当于对进行有限次初等行变换和初等列变换得到，与等价。2-34.B一个一个
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