2018-2019学年度高等教育理科《复变函数与积分变换》大学试题含填空选择答案.doc

复变函数与积分变换复习题1一、单项选择题（每小题2分，共24分）.1. 复数位于复平面第( ) 象限.A一 B二 C三 D四解：，故选择C2. 下列等式成立的是( ).A； B；C； D。解：A ，故A不对; B，B不对 C ，故C不对; D，是个实数，故选择D3. 满足( ).A.在复平面上连续 B.在原点处连续C.在负实轴连续 D.在除原点及负实轴上连续解：在除原点及负实轴上连续，故也是这样。选D4. 方程表示的图形是（ ）.A.圆 B. 直线段 C.椭圆 D.双曲线解：该方程表示的是复平面上的动点z到两个定点和的距离的和，而和的距离就是5，所以该动点在和所连线的直线段上。选B5. 是( ).A. 0 B. 一个纯虚数 C. 一个实数 D. 无法计算解:由欧拉公式可以推导出，故是纯虚数 或者用也可以判别选B6. 若()，则 ( ).A B. 0 C. D. 选D,求导公式，本题是平凡的7. 计算积分，其中，方向正向，（ ）. A B C D0解：由于奇点0在L内部，故可以使用高阶求导公式 （n为正整数）奇点,为L所围成的封闭区域。可知=0，故选D8. =（ ）.A0 B不存在 C D解：带公式可知选择D9. 下列选项正确的是（ ）A函数在一点z处解析，则在z处连续 B函数在一点z处连续，则在z处解析C函数在一点z处可导，则在z处解析 D函数在一点z处不解析，则在z处不连续选择A，可求导数则连续，解析是指处处可求导数，所以选A10. （ ）.A.0 B.1 C. D. 解：因为，积分变换第十页故选C11.复变函数在复平面上( )（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析 （D）处处解析选D12.是函数的( )(A)奇点 （B）解析点 （C)连续点 （D）可导点选A二、 填空题1. _.解：2. 当_，函数为复平面上的一个解析函数. 解：令 则 由解析函数满足柯西黎曼方程可知 ，故3. 复数的指数形式为_. 解：4. 函数的Fourier变换为_ 解：积分变换课本27页，看不懂的话当公式背结论5. _. 解：由于对应的Laplace变换为 积分变换课本94页，正弦的也要背 也就是于是令s=4，k=2就可以求出来了 二、填空题（每小题2分，共10分）1.2. 73.4.5. 3、 计算题(共66分)1. 已知，求。（6分） 2. 计算积分的值，其中为正向圆周：。（6分） 3. 计算积分，其中C为从原点到的直线段。（6分） 4. （1）求。（6分） 4.（2）求。 (6分) 5.已知函数，求。（8分） 6. 已知，求。（8分）7.已知，试确定解析函数.（8分） 8.已知指数函数的Laplace变换， 若，求的L逆变换。（8分） 9.解微分方程。（10分） 三、计算题(共66分)1.已知，求。（6分）解： （3分） （4分） （5分） （6分）2. 计算积分的值，其中为正向圆周：。（6分）解：令,其中为待定常数，去分母得 ， 若令z=0求出;而如若令z=3，则可求出 (2分)令 , (4分)则由复合闭路定理可知： (6分) 注释：上面四项中有两项无奇点，积分值是0，另外两个提出分子的话每一个都是3.计算积分，其中C为从原点到的直线段。（6分）解：，故 设C:，从0到1 (2分)则在C上 (4分) = (6分) 4.（1）求。（6分）解： = (4分) (6分) 4.（2）求。 (6分) 解： = (2分) = (4分) (6分) 5.已知函数，求。（8分）解：由 可知 积分变换课本：傅里叶变换的位移性质38页 (4分) 41页象函数求导公式 (6分) (8分）6. 已知，求。（8分）解： 106页积分性质 （3分） （4分） (8分) 7. 已知均是以为自变量的实二元函数，且， 试确定解析函数，且.（8分） 解：且解析 则 （4分） 求出 (6分) 由于，故 则 （8分） 8.已知指数函数的Laplace变换 若，求的L逆变换。（8分）解: 先求指数函数的Laplace变换，其中k为实数 故 （1） （2） (2分)故（1）-（2）得 （3） (3分)方程（3）同时在上积分得 即 (4分) 故 (5分)此题也可以参考积分变换课本129页例5的方法。 9.解微分方程 （10分）解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得 （3分） （5分） （6分）令去分母得令s=2,则;若令s=，则对比左右的二次项的系数可知,求出由于的拉普拉斯变换为即，该方程两边同时对s求导得到：，即故的拉普拉斯变换为(注释：后面的大题第二套第三套样卷中更高次的也可以按此方法继续求导计算）综上所述：对应的拉普拉斯逆变换为 （10分） 复变函数与积分变换复习题2一、单项选择题.1.函数在点（ ），则称在点解析.（A）连续 （B）可导 （C）可微 （D）某一邻域内可导解：按定义求选D2.设函数在区域内解析，则在区域内（ ）. （A）必为的共轭调和函数 （B）与互为共轭调和函数 （C）必为的共轭调和函数 （D）A、B、C皆不对解：按定义选C3.当解析函数的零点满足（ ），则称为的级零点. （A） （B） （C） （D）解：见复变函数书148页4. 设,则（ ）.（A）1 （B） （C） （D）解：按定义选A5.函数在点处是( ). （A）解析 （B）可导 （C）不可导 （D）既不解析也不可导解：设，则，从而则若任取0的某去心领域内的一个点则故当时不存在。故选B6.设，则下列命题中,不正确的是( ). （A）在复平面上处处解析 （B）以为周期（C） （D）是无界的解：，故选择C7.当时，的值等于（ ）. （A） （B） （C） （D）解：，带入得B8.一个向量顺时针旋转，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数是（ ）. （A） （B）（C）（D）解：数学里的向量平移后是相等的，故可以不考虑平移过程。只考虑旋转即可，复数绕原点逆时针旋转得到A9.函数将Z平面上直线映射成W平面上（ ）. （A）直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线解：设，则，由于，故故，则，则，即即，即即，所以选B10.设，则 F =( ). （A） （B） （C） （D） 解：积分变换课本26页。11. 若在点满足条件.则在点( ). （A）可微 （B）不可微 （C）不一定可微 （D）解析解：在点满足条件只能说在点可求导， 但是偏导数存在与否与二元函数可微与否无必然联系。选C12.积分= ( ).（A）0 （B）1 （C） （D）解：，选B一、单项选择题题号123456789101112答案DCCABCBABACB二、填空题1.复变函数的周期为 . 解：，故2. 若可导，则 . 解：复变函数课本42页第七行。3. 计算乘幂 .解：4. 曲线积分 . 解：由于，带入即可5. 已知，若，则复变函数关于变量的表达式为 . 解：2、 填空题、.1、 2. 3. 4. 5.三、计算题：1若复数满足，试求的取值范围（8分）解：解：由已知，去括号得 （2分） 设，有 （4分） 所以 （6分） 圆心（-1，-2）到（-2，0）的距离为，而圆半径为 所以 （8分）2（A）设，在复数集中解方程.（6分）解：设，则依题意得：故（1）当，即即：，即：继续讨论：（I）当时，无解。 (II)当时，此时。 (III)当时， 此时 此时 (2)当， ，即 即，故 此时，2（B）对于映射，求出圆周的像. （6分）解：设，由于，故，且（*） 则，于是带入（*）中 则即：，即表示平面上的椭圆3设，求.（8分）解：方程的两边同时对z求导得： 即 , 上式两边同时对z求导得4已知，试确定解析函数.（8分）解:这个自己求咯解析函数为：.为任意实常数.5、计算积分 （1） ,其中且;解：令去分母得到： 赋值：令z=1，则 令z=，则 令z=，则当时，=； 当时，=； 当时，.（6分）（2）求解：令那么就有 考虑到均在所围成的封闭区域内部由柯西积分公式有：=0（6分）四.解下列方程.（3小题共26分）1. 求微分方程满足的解。（8分）解：对给定的微分方程两边取拉氏变换，有 （3分）解之得： （6分） 取拉氏变换，并利用卷积定理，得所求微分方程的解： 这是因为故（8分）2. 求方程满足的特解。（8分）解：令，方程两端取Laplace变换，得 （3分）故故解得 拆分后得： （6分）由于,由位移性质和延迟性质：可知，则于是所求的特解为 （8分）3求积分方程组满足初始条件的解。（10分） 解：对方程组的每个方程两端取Laplace变换，并代入初始条件，得 （4分） （1）-（3）： 故由方程（4）可知带入（2）可知 设去分母得：令则,令，则对比二次项系数：于是（6分）即 （8分）取逆变换得原方程组得解为 （10分） 复变函数与积分变换复习题3一、单项选择题.（每小题2分，12小题共24分）1.方程所代表的曲线是（）. （A）中心为，半径为的圆周 （B）中心为，半径为的圆周 （C）中心为，半径为的圆周 （D）中心为，半径为的圆周选C2.简单曲线是指（ ）曲线.（A）连续 （B）光滑 （C）无重点的连续 （D）无重点的光滑光滑是指可导，按定义是C3.下列命题中，正确的是( ).（A）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若在区域内解析，则为内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数按定义，选C4.区域边界的正方向是（ ）. （A），都是“逆时针” （B）“顺时针”， “逆时针”（C），都是“顺时针” （D）“逆时针”， “顺时针”有洞的是外边界逆时针，内边界顺时针。5.如果曲线为（ ），则.（A） （B） （C） （D）解：,当且仅当奇点在封闭曲线内才可以，选D6.使得等式成立的复数是（ ）. （A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数解：，则解得y=0，选D7.设，则下列命题中，不正确的是( ). （A）在复平面上处处解析 （B）以为周期 （C） （D）是无界的解：，选C8.（ ）. （A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在解：这个值不唯一，故选择D9.设，则（ ）.（A） （B） （C） （D）10.积分= ( ).（A）0 （B）1 （C） （D）解：按公式：，所以选B11.设为负向，正向，则 ( ). （A） （B） （C） （D）解：积分函数在积分曲线所围成的区域内没有奇点，所以得0.12.函数的不连续点集为( ).（A） （B） （C） （D）解：不连续点处满足：，则一、选择题（每小题2分，共24分）题号123456789101112答案CCCBDDCDBBBD二、（1）填空题.（每小题2分，5小题共10分）1.公式称为_.2.函数的奇点之集为_.3. _.4.复变函数的周期为 .5.若，则_.二、（1）填空题（每小题2分，共10分）1.欧拉公式2. 3.4.5. 二、（2）填空题(每小题2分，共10分，请把答案填在横线上)。1. 复数的指数形式是_.2._.3. 当_，_，函数为复平面上的一个解析函数.注意这个题目有误，应该是4. _.5. 函数的Laplace变换为_.二、（2）填空题（每小题2分，共10分）1.2. 3.4.5. 三、解答题.（9小题，共66分）1.求复数的三角形式和指数形式.（6分）2.求解复数方程.（6分）3.计算曲线积分：.（6分）4.设为正向圆周，求.（6分）5.已知为调和函数，（1）求的值；（2）求，使得是解析函数，并满足.（8分）6.设，求（8分）7.若复数满足，试求的取值范围（8分）8.求微分方程 满足和的解.（8分）9.求积分方程组满足初始条件的解. （10分）三、计算题.（9个小题，共66分）1.解：原式 3分 6分2. 解： 6分3.解： 2分 又由柯西积分公式，原式， 6分4. 解：由高阶导数公式，得 6分5.已知为调和函数，（1）求的值；（2）求，使得是解析函