浅谈不等式的综合应用.doc

浅谈不等式的综合应用410148 长沙县三中 李铁、考情预报近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、范围也在提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性.既有一般的解不等式(组)和证明不等式的题，也有将其作为数学工具应用的试题。1、不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在：(1)求函数的定义域、值域； (2)求函数的最值； (3)讨论函数的单调性； (4)研究方程的实根分布； (5)求参数的取值范围； (6)解决与不等式有关的实际生活中应用题，应用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式表示的模型，再求出极值，但要注意函数建模的四个步骤（阅读审题，理解其意义；建立数学模型，将其转化为数学问题；运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型；回归问题作答）。 2、应用不等式知识解题的关键是建立不等式关系，其建立的主要途径有：（1）利用变量的有界性； （2）利用判别式；（3）利用几何意义； （4）应用函数的单调性；（5）应用均值不等式（一正，二定，三等号）。二、复习建议（1）理解不等式的性质及其证明。（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理。并会简单的应用。（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。（4）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法。（5）理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|三、热身练习1、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 ( )。(A) (B) (C) (D) 2、 函数的定义域为（ ）。 A. B. C. D. 3、在中，若，则的形状是（ ）(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C) 直角三角形 (D)正三角形 4、如果函数的单调递增区间是(-，a，那么实数a的取值范围是_。拓展提高：问题1、如果函数的定义域是R，那么实数的取值范围是_.问题2、如果函数的值域是R，那么实数的取值范围是_. 答案：1 D，提示： ， 2 D3 B提示：4 a-1提示：问1提示：问2提示：四、能力、思维、方法提升例1、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。解：令则关于的方程有实数解等价于关于的方程至少有一个正实数解。方法一（参数分离）.当且仅当时，取等号.实数的取值范围。方法二（判别式加求根公式）实数的取值范围。例2、已知直线和A（1，4），B（3，1），求当在什么范围时，直线和线段AB相交？解：方法一（数形结合）由直线可知直线过定点，斜率为，当直线绕定点逆时针由点B旋转到点A时，其斜率由增大到而方法二（构建不等式求解）线段AB所在直线的方程为由方程组解得交点的横坐标例3、已知f(x)是定义在-1，1上的奇函数，f(1)1，且当a，b-1，1，a+b0时，有(1)若f(x)m2-2m+1，对所有x-1，1，恒成立，求实数m的取值范围。(2)解不等式；解:（1）是定义在-1，1上的奇函数，任取且则，函数f(x)在-1，1上是增函数。 f(x)m2-2m+1，对所有x-1，1，恒成立等价于f(x)maxm2-2m+1，又函数f(x)在-1，1上是增函数，.故实数m的取值范围是：。（2）原不等式不等式的解集为。例4、已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为（I）求动点的轨迹方程； （II）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围解：(I)由题意，设（），由余弦定理, 得 又，当且仅当时， 取最大值，此时取最小值，令，解得，故所求的轨迹方程为.（II）设，则由，可得，故，、在动点的轨迹上，故且，消去可得，解得，又，解得，故实数的取值范围是例5、如图，已知面，于D，。（1）令，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？解：（1） 面，于D， 。 。 。 为在面上的射影。 ，即。 。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。令，解得：，与交集非空。 满足条件的点Q存在。例6. 某超市经过市场调查分析后得知，2004年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数（万件）近似地满足下列关系：（）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？（）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）解：（）设第n个月的月需求量为,则 ， 当时,当时， 令，即 ，解得：，又 nN， n = 5 ，6 即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件（）设每月初等量投放商品a万件