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高中数学竞赛讲义（一）集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。定义6 差集，。定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1） （2）；（3） （4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。（1）若，则，且或，所以或，即；反之，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则证明（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足，求集合M（用A，B表示）。【解】先证，若，因为，所以，所以；再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以综上，3分类讨论思想的应用。例3 ，若，求【解】依题设，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3。因为，所以，若，则，即，若，则或，解得综上所述，或；或。4计数原理的应用。例4 集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。5配对方法。例5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。6竞赛常用方法与例问题。定理4 容斥原理；用表示集合A的元素个数，则，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即定义8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】 记，由容斥原理，所以不能被2，3，5整除的数有个。例7 S是集合1，2，2004的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=18211+2，所以S一共至多含有1825+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。例8 求所有自然数，使得存在实数满足：【解】 当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。令，则所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。（）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。例9 设A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。【解】 设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合1，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数【解】 设其中第个三元集为则1+2+所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为5。三、基础训练题1给定三元集合，则实数的取值范围是_。2若集合中只有一个元素，则=_。3集合的非空真子集有_个。4已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合P=_。5已知，且，则常数的取值范围是_。6若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有_个。7集合之间的关系是_。8若集合，其中，且，若，则A中元素之和是_。9集合，且，则满足条件的值构成的集合为_。10集合，则_。11已知S是由实数构成的集合，且满足1）若，则。如果，S中至少含有多少个元素？说明理由。12已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。四、高考水平训练题1已知集合，且A=B，则_，_。 2，则_。3已知集合，当时，实数的取值范围是_。4若实数为常数，且_。5集合，若，则_。6集合，则中的最小元素是_。7集合，且A=B，则_。8已知集合，且，则的取值范围是_。9设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。10集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。11判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1已知集合，则实数的取值范围是_。2集合的子集B满足：对任意的，则集合B中元素个数的最大值是_。3已知集合，其中，且，若P=Q，则实数_。4已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则_。5集合，集合，则集合M与N的关系是_。6设集合，集合A满足：，且当时，则A中元素最多有_个。7非空集合，则使成立的所有的集合是_。8已知集合A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是_。9已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。11S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，则。求证：中必有两个相等。2求证：集合1，2，1989可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。5设S是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。7设集合S=1，2，50，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。8集合，试作出X的三元子集族&，满足：（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）。9设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。高中数学精神讲义（二）二次函数与命题一、基础知识1二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0时，方程有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当=0时，方程有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别是x|x和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当0时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。当a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a0)，当x0m, n时，f(x)在m, n上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在m, n上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。二、方法与例题1待定系数法。例1 设方程x2-x+1=0的两根是，求满足f()=,f()=,f(1)=1的二次函数f(x).【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a0),则由已知f()=,f()=相减并整理得（-）（+）a+b+1=0，因为方程x2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因为f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例2 已知f(x)=ax2-c满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以(-1)+f(3)5+4,所以-1f(3)20.3利用二次函数的性质。例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x)=x也无实根。【证明】若a0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的xR,f(x)-x0即f(x)x，从而f(f(x)f(x)。所以f(f(x)x，所以方程f(f(x)=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0x1x2,（）当x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）当x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.综上，xf(x)1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。6定义在区间上的二次函数的最值。例6 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1-,令u,则0u1。y=5u2-u+1=5,且当即x=3时，ymin=.例7 设变量x满足x2+bx-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。【解】 由x2+bx-x(b-(b+1)，即b-2时，x2+bx在0，-(b+1)上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.综上，b=-.7.一元二次不等式问题的解法。例8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0，则x1x2.的解集为ax1-2a.因为1-2a1-a，所以a0,所以不等式组无解。若a0，）当0a时，x1x2,的解集为ax1-a.因为0ax1-a时，a1-a，由得x1-2a，所以不等式组的解集为1-ax1且a-(1-a)3，所以1a2，并且当1a2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，则由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9常用结论。定理1 若a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若m0，则-mxm等价于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理1得证。定理2 若a,bR, 则a2+b22ab；若x,yR+,则x+y(证略)注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题1下列四个命题中属于真命题的是_，“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。2由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_.p；3是偶数，q：4是奇数；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 当|x-2|a时，不等式|x2-4|0的解是1x2，则a, b的值是_.5. x1且x2是x-1的_条件，而-2m0且0n1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的_条件.6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2个，则m的取值范围是_.8. R为全集，A=x|3-x4, B=, 则(CRA)B=_.9. 设a, b是整数，集合A=(x,y)|(x-a)2+3b6y，点（2，1）A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b的值是_.10设集合A=x|x|0，则集合x|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。12对任意x0,1,有 成立，求k的取值范围。四、高考水平训练题1若不等式|x-a|0当|a|1时恒成立的x的取值范围是_.3若不等式-x2+kx-410, B=x|x-5|0和a2x2+b2x+c20解集分别为M和N，那么“”是“M=N”的_条件。6若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_.7已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_条件。8已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_.9已知a0，f(x)=ax2+bx+c，对任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)0且|x|1时，g(x)最大值为2，求f(x).11.设实数a,b,c,m满足条件：=0，且a0,m0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0x01.五、联赛一试水平训练题1不等式|x|3-2x2-4|x|+30，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|, x0,1，方程f(f(f)(x)=x有_个实根。5若关于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一个实根，则m取值范围是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切xR都有f(x)x且f(1)=1，则p+q2=_.7. 对一切xR，f(x)=ax2+bx+c(a、=、）9若abc100，试问满足|f(x)|50的整数x最多有几个？2设函数f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在tR，只要x1, m就有f(x+t)x.7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。8设a,b,A,BR+, aA, bB，若n个正数a1, a2,an位于a与A之间，n个正数b1, b2,bn位于b与B之间，求证：9设a,b,c为实数，g(x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列条件同时满足的a, b, c的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.高中数学竞赛讲义（三）函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: AB为一个映射。定义2 单射，若f: AB是一个映射且对任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3 满射，若f: AB是映射且对任意yB，都有一个xA使得f(x)=y，则称f: AB是A到B上的满射。定义4 一一映射，若f: AB既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: AB。定义5 函数，映射f: AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若xA, yB，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为x|x0,xR. 定义6 反函数，若函数f: AB（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7 函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8 如果实数ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b），集合x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（a,b，集合x|axa记作开区间（a, +），集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义9 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3 复合函数y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以y=在（-,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1数形结合法。例1 求方程|x-1|=的正根的个数.【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 例2 求函数f(x)=的最大值。【解】 f(x)=，记点P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=2.函数性质的应用。例3 设x, yR，且满足，求x+y.【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-，+）上递增。事实上，若a0，所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5 设f(x)是定义在（-，+）上以2为周期的函数，对kZ, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当xI0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】 设xIk，则2k-10，则由得n0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m0。同理有m+n=0,x=,但与m0矛盾。综上，方程有唯一实数解x=3.配方法。例7 求函数y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是-，+）。4换元法。例8 求函数y=(+2)(+1),x0,1的值域。【解】令+=u，因为x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以该函数值域为2+，8。5判别式法。例9 求函数y=的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当y1时，式是关于x的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为，7。6关于反函数。例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。【证明】设x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2。即y=f-1(x)在(-,+ )递增。例11 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定义域为（-，-）-，+）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且x1x20,所以f(x)在（-，-）上递增，同理f(x)在-，+）上递增。在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，设xy，则f(x)=yy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基础训练题1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射f：XY满足：对任意的xX，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_个。2给定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f：XY，若f为单射，则f有_个；若f为满射，则f有_个；满足ff(x) =f(x)的映射有_个。3若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_个交点。4函数y=f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为_。5已知f(x)=，则函数g(x)=ff(x)的值域为_。6已知f(x)=|x+a|，当x3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_。7设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_。8若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_对称。9函数f(x)满足=1-，则f()=_。10. 函数y=, x(1, +)的反函数是_。11求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定义在R上，对任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x2,3时，f(x)=x，则当x-2,0时，求f(x)的解析式。四、高考水平训练题1已知a, f(x)定义域是（0,1，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。2设0a1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_。3映射f: a, b, c, d1，2，3满足10f(a)f(b)f(c)f(d)0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。11设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为，（），已知函数f(x)=,（1）求f()、f()；（2）求证：f(x)在，上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，则下列等式中正确的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.设函数f：RR满足f(0)=1，且对任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=_.5已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= _.6. 函数f(x)=的单调递增区间是_.7. 函数f(x)=的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非）。8. 函数y=x+的值域为_.9设f(x)=,对任意的aR，记V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求V(a)的最小值。10解方程组： （在实数范围内）11设kN+, f: N+N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意nN+, 有ff(n)=kn，求证：对任意nN+, 都有nf(n)六、联赛二试水平训练题1求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x0, f(x)=xf；（2）对所有的x-y且xy0