（江苏专用）2020高考数学二轮复习课时达标训练（二十二）应用题.docx

课时达标训练(二十二) 应用题A组大题保分练1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBCtanBCO.又因为ABBC，所以直线AB的斜率kAB.设点B的坐标为(a，b)，则kBC，kAB.联立解得a80，b120.所以BC150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OMd m(0d60)由条件知，直线BC的方程为y(x170)，即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时，r最大，即圆面积最大所以当OM10 m时，圆形保护区的面积最大法二：(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tanFCO，所以sinFCO，cosFCO.因为OA60，OC170，所以OFOCtanFCO，CF，从而AFOFOA.因为OAOC，所以cosAFBsinFCO.又因为ABBC，所以BFAFcosAFB，从而BCCFBF150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MDr m，OMd m(0d60)因为OAOC，所以sinCFOcosFCO.故由(1)知sinCFO，所以r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时，r最大，即圆面积最大所以当OM10 m时，圆形保护区的面积最大2(2019苏锡常镇一模)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的垂直平分线OP恰是该抛物线的对称轴(如图)拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米 (1)求出n关于m的函数关系式；(2)当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值解：(1)以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则A(20，0)，B(20，0)，P(0，40)曲线段APB为抛物线的一段弧，可以设抛物线的解析式为ya(x20)(x20)，将P(0，40)代入得40400a，解得a，抛物线的解析式为y(400x2)点C在抛物线上，n(400m2)，0m0.则Srlr ，记f(h)h(h0)，则f(h)1，令f(h)0，得h6.当h(0，6)时，f(h)0，f(h)在(6，)上单调递增所以，当h6时，f(h)最小，此时S最小，最小值为18.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省4(2019南京四校联考)如图，某生态园区P的附近有两条相交成45角的直路l1，l2，交点是O，P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为 km，现准备修建一条通过该生态园区的直路AB，分别与直路l1，l2交于点A，B.(1)当AB的中点为P时，求直路AB的长度；(2)求AOB面积的最小值解：以直路l1所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系因为直路l1，l2相交成45角，所以直路l2所在直线的方程为xy0.因为P到直路l1的距离为1 km，到直路l2的距离为 km，所以可设P(x0，1)(x01)，所以，解得x03，所以P(3，1)(1)法一：设B(a，a)，因为P(3，1)是AB的中点，所以A(6a，2a)由于A在x轴上，所以2a0，即a2.所以A(4，0)，B(2，2)，AB2.所以直路AB的长度为2 km.法二：当直线AB的斜率不存在时，不满足题意，舍去当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，由题意知k1或k1)，当a3时，A(3，0)，所以AOB的面积为 km2.当a1且a3时，设直线AB的方程为y1(x3)令y0，得x，即A，所以SAOBa(a1)22 24，当且仅当a1，即a2时取等号又4，所以AOB面积的最小值为4 km2.B组大题增分练1(2019扬州期末) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB3百米，AD百米，且BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设BAD，.(1)当cos 时，求小路AC的长度；(2)当草坪ABCD的面积最大时，求小路BD的长度解：(1)在ABD中，由BD2AB2AD22ABADcos ，得BD2146cos ，又cos ，BD2.，sin .在ABD中，由，得，解得sinADB.BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，CDB且CDBD2，cosADCcossinADB.在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosADC()2(2)22237，得AC，所以当cos 时，小路AC的长度为 百米(2)由(1)得BD2146cos ，S四边形ABCDSABDSBCD3sin BD27sin 3cos 7(sin 2cos )7sin()，其中sin ，cos ，且.当，即时，四边形ABCD的面积最大，此时sin ，cos ，BD2146cos 14626，BD，当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为百米2(2019南京盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB(劣弧所对的扇形)所在的区域，其中点A，B均在圆O上，观众席为梯形ABQP以内、圆O以外的区域，其中APABBQ，PABQBA，且AB，PQ在点O的同侧为保证视听效果，要求观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米(即要求PO60)设OAB，.问：对于任意的，上述设计方案是否均能符合要求？解：过点O作OH垂直于AB，垂足为H.在直角三角形OHA中，OA20，OAH，所以AH20cos ，因此AB2AH40cos ，所以ABAPBQ40cos .由题图可知，观众席内点P，Q处的观众离点O处最远连接OP，在OAP中，由余弦定理可知，OP2OA2AP22OAAPcos400(40cos )222040cos 400(6cos22sin cos 1)400(3cos 2sin 24)800sin1 600.因为，所以当2，即时，OP2取得最大值，(OP2)max8001 600，即(OP)max2020.同理，连接OQ，在OBQ中，(OQ)max2020.因为202060，所以观众席内的每一位观众到舞台O处的距离都不超过60米故对于任意的，上述设计方案均能符合要求3(2019无锡期末)我国坚持精准扶贫，确保至2020年农村贫困人口实现脱贫现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植工作，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数从2018年初开始，若该村抽出5x户(xZ，1x9)从事水果包装、销售工作经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为万元(参考数据：1.131.331，1.1531.521，1.231.728)(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1.6万)，则至少应抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售工作的户数；若不能，请说明理由解：(1)由题意得11.6，5x1005x，xZ，1x10.函数y在x1，9上单调递增，由数据知，1.1531.5211.6，所以0.2，得x4，则5x20.答：至少抽出20户从事包装、销售工作(2)假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1.35有正整数解，化简整理得3x230x700，所以x5.因为34，且xZ，所以1x51，即4x6.答：至2018年底，该村每户年均纯收入能达到1.35万元，此时从事包装、销售工作的农户数为20户，25户或30户4(2019苏州期末)如图，长途车站P与地铁站O的直线距离为 千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为，OP与l1的夹角满足tan .现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交于点A，B，并分别在A，B处设立公共自行车停放点(1)已知修建道路PA，PB的价格分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修价格分别为n元/千米和2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置解：(1)以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，因为00)，又点B在射线yx(x0) 上，所以可设B(b，b)(b0)，由2，得所以所以A，B(3，3)，AB.答：A，B之间的距离为千米(2)法一：设两段道路的翻修总价为S，则SnOA2nOB(OA2OB)n，设yOA2OB，要使S最小，需y最小当ABx轴时，A(2，0)，这时OA2，OB2，所以yOA2OB2810.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x2)1(k0且k1)令y0，得点A的横坐标为2，所以OA2，令xy，得点B的横坐标为，因为20且0，所以k1，此时yOA2OB2，y，当k0时，y在(，1)上单调递减，在(1，0)上单调递增，所以yminy|k191时，y2101010.综上所述，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O