谈谈函数的单调性的学习.doc

浅谈函数的单调性的学习襄阳职业中专 涂满春摘要：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础，在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明等具体问题中均需用到函数的单调性，同时在这部分内容中利用函数图形来研究函数性质的数形结合思想对我们学好数学有很大的帮助。关键词：单调性 学习1、增函数与减函数的定义定义：对于函数f（x）的定义域D内的某个区上的任意两个自变量的值。（1）若当时，都有f（X1）f（X2），则说f（X）在这个区间上是增函数（如图1）；（2）若当时，都有f（X1）f（X2），则说f（X）在这个区间上是减函数（如图1）； 说明：（1）增函数描述的是f（X）随X的随大而增大，函数图像从左到右是呈上升的；减函数描述的是f（X）随X的增大而减少，函数图像从左到右是呈下降的。（2）增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“大对大，小对小”；减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即“大对小，小对大”。（3）理解本定义应抓抓几个关键词语：给定的“某个区间”：增函数、减函数是相对于相应区间而言的，有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数，离开相应区间就根本谈不上增减性。如二次函数f（X）=x2，在区间（，0）上是减函数，在区间（0，+）上是增函数，所以不能说f（X）=x2是增函数或是减函数。因此，交代桔柑个函数的增减性时，一定发票标明是在哪个区间上是增函灵敏或是减函数。属于该区间的“任意两个”和“都有”：属于该区间，即是两个自变量都必须取自给定区间，不能人区间外取。若区间是闭的，端点可以取也可以不取，因为对于端点，相应的函数值只有唯一的一个，无所谓是增还是减。“任意两个”是指不能取特定的值来判决，而“都有”则是说只有x1x2，f（X）就必须都小于f（X2）或都大于f（X2）。如f（X）=x2在区间-2，2上，如果取定两个特定的值X2=-2，X2=1，显然x1x2，而f（X1）=4，f（X2）=1，有f（X1）f（X2）若由此判决f（X）=x2在区间-2，2是减函数那就错了。因此，一个函数在某个区间是增函数或减函数，不能由特定的两上点来判决，必须严格依旧定义：在给定区间内任取两个x1，x2，根据它们的函数值f（X1）和f（X2）的大小来判决其增减性。反之，若已知函数f（X）在某个区间上是增函数或减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以由函数值的大小去判决自变量的大小。，即一般成立则特殊成立，反之特殊成立则一般不定成立，这是辨证法中一般与特殊的关系。2、单调性与单调区间若函数y= f（X）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y= f（X）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y= f（X）的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任何取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图3中，在x1，x2那样的特定位置上，虽然使得f（X1）f（X2），但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f（X1）f（X2）或f（X1）f（X2）”改为 “f（X1）f（X2）或f（X1）f（X2）”即可；（4）定义的内函与外延；内函是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减。几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的函数图象从左到右上升，则为增函数，函数图象从右到右下降则为减函数。例1：图4是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f（X）的增函数还是减函数。解：函数y=f（X）的单调区有-5，2，-2，1，1，3，3，5，其中y=f（X）在区间-5，2，1，3上是减函数，在区间-2，1，3，5上是增函数。说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的函数，对于闭区间内的任意x都有意见，那么只要在开区间上单调，它在闭区间上也就是单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；但若x的取消函数无意义时，则单调区间不包括该点。3、单调性的证明例2 证明函数f(X)=在 (0,+)上是减函数。证明：设x1，x2是(0,+)上的任意两个实数，且x1x2，则f(X1)f(X2)=由x1，x2(0,+)，得0，又由x1x2，得x1x20，于是f（X1）f（X2）0，即f（X1）f（X2）。函数f(X)=在(0,+)上是减函数。说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。根据定义证明函数单调性的一般步骤是：（1）设x1，x2是给定区间的任意两个值，且x1x2；（2）作差f（X1）f（X2），并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）判断f（X1）f（X2）的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据f（X1）f（X2）的符号确定其增减性。4、复合函数的单调性复合函数单调性的根据是：设y=f（u），u=g（x），x，um，n都是单调函数，则y=fg(x)在a，b上也是单调函数。（1）若y=f（u）是m，n上的增函数，则y=fg(x)的增减性与u=g（x）的增减性相同。（2）若y=f（u）是m，n上的减函数，则y=fg(x)的增减性与u=g（x）的增减性相反。复合函数单调性的规律见下表：y=f（u）增减u=g（x）增减增减y=fg(x)增减减增以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：已知函数f(X)在R上是增函数，g(X)在a，b上是减函数，求证：fg(x)在