第四节---基本几何体

第四节基本几何体的投影 一 平面立体的投影及表面取点 二 曲面立体的投影及表面取点 三 基本体的尺寸标注 主要内容 本节研究基本立体的画法及立体表面取点 取线的问题 从画立体投影开始 不再画投影轴 基本立体由其表面 平面和曲面 围成 按表面性质 可以分为平面立体和曲面立体 最常见的是回转体 两类 圆柱 圆锥 圆球 棱柱 棱锥 平面立体 回转体 机器上的零件 不论形状多么复杂 都可以看作是由基本立体按照不同的方式组合而成的 一 平面立体的投影及表面取点 1 棱柱 上底面 棱面 棱柱由两个底面和三个以上棱面围成 各表面的交线称为棱线 侧棱线互相平行 并且与底面垂直 侧棱线 底棱线 1 棱柱的组成 由两个底面和几个侧棱面组成 侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线 侧棱线相互平行 正六棱柱 其顶面 底面均为水平面 它们的水平投影反映实形 正面及侧面投影重影为一直线 2 棱柱的投影分析 以正放的六棱柱为例 2 六个棱面中的前 后两个为正平面 其正面投影重合并反映实形 另外两个积聚为直线 1 上 下两底面均为水平面 它们的水平投影重合并反映真形 正面及侧面投影积聚为两条平行投影轴的直线 3 其他四个棱面均为铅垂面 其水平投影积聚为直线 正面和侧面投影均为类似形 且两棱面投影对应重合 特点 正放的棱柱投影时 必有一个投影为多边形并反映底面实形 另外两个投影为矩形组合 棱柱有六个侧棱面 前后棱面为正平面 它们的正面投影反映实形 水平投影及侧面投影重影为一条直线 棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面 其水平投影均重影为直线 正面投影和侧面投影均为类似形 3 作图步骤 1 画对称中心线 对称线 2 画棱柱水平投影 一般先画棱柱底面投影 注意棱线投影与对称线重合时应画成粗实线 3 根据棱柱高度和投影关系 画正面投影 侧面投影 正六棱柱的投影图 a b d c e a b d c e a b d c 作投影图时 先画出正六棱柱的水平投影正六边形 再根据其它投影规律画出其它的两个投影 如图所示 a 投影特点 b 绘图过程 五棱柱的投影图 练习 五棱柱的投影图 4 棱柱表面上取点 平面立体表面上取点实际就是在平面上取点 首先应确定点位于立体的哪个表面上 并分析该表面的投影特性 然后再根据点的投影规律求得 棱柱表面取点可利用积聚性投影作图 因为正放的棱柱的各个面都处于特殊位置 a A a b b b 例 已知正六棱柱上两点A B的正面投影 求作水平投影和侧面投影 a b C C C 棱锥台 底面 锥顶 2 棱锥 由一个底面和多个 至少三个 侧棱面围成 各侧棱线交于一点 锥顶 棱面 侧棱线 棱锥的投影分析 以正放的正三棱锥为例 2 左右两个侧棱面为一般位置平面 三面投影都不反映实形 并且两棱面的侧面投影重合 1 底面为水平面 水平投影反映真形 其正面及侧面投影积聚为平行于相应投影轴的直线 3 后侧棱面为侧垂面 侧面投影积聚成斜向直线 正面和水平面投影均不反映实形 正面投影与左右两棱面投影重合 s 4 三个侧棱面的水平投与底面投影重合 侧棱面投影都可见 棱面 SAB SBC是一般位置平面 它们的各个投影均为类似形 棱面 SAC为侧垂面 其侧面投影s a c 重影为一直线 棱锥的三视图 正三棱锥 锥顶为S 其底面为 ABC 呈水平位置 水平投影 abc反映实形 底边AB BC为水平线 AC为侧垂线 棱线SB为侧平线 SA SC为一般位置直线 它们的投影可根据不同位置直线的投影特性进行分析 棱锥作图步骤 1 画基准线 底面 正三角形 外接圆中心线 底面 2 画棱锥底面投影 4 连接锥顶和底面正三角形的三个顶点的投影 得三棱锥的三面投影 3 画锥顶的三个投影 棱锥表面取点 若点在立体特殊位置平面上 可利用该平面积聚性投影作图 若点在立体一般位置平面上 可通过作辅助线法求得 方法一 方法二 作辅助线的方法有二种 连接s m 并延长 与a c 交于2 2 m 2 在投影ac上求出 点的水平投影2 连接s2 即求出直线S 的水平投影 根据在直线上的点的投影规律 求出M点的水平投影m 再根据知二求三的方法 求出m m 1 1 m 过m 作m 1 a c 交s a 于1 求出 点的水平投影1 过1作1m ac 再根据点在直线上的几何条件 求出m 再根据知二求三的方法 求出m 具体步骤略 正三棱锥表面点的投影 正三棱锥表面点的投影 二 曲面立体的投影及表面取点 回转体由回转面或回转面与平面围成 回转面是由母线 直线或曲线 绕某一轴线旋转而形成的 常见的回转体有 圆柱 圆锥 圆球 圆环 素线 纬线 转向轮廓线 母线的任一位置称为素线 母线上各点的运动轨迹都是垂直于轴线的圆 称为纬线或纬圆 根据这一性质可在回转面上作素线 纬线取点 回转面上的转向轮廓素线 就是在某一投影方向观察曲面立体时可见与不可见部分的分界素线 1 圆柱 1 投影分析 以圆柱轴线处于铅垂线位置为例 1 上下底面的水平投影重合并反映真形 其正面及侧面投影积聚为两条平行投影轴的直线 其长度等于直径 2 圆柱面因其轴线为铅垂线 故圆柱面上所有素线必为铅垂线 圆柱面为铅垂面 其水平投影积聚为一圆 并与两底面水平投影的圆周重合 3 圆柱面正面投影应画出正面转向轮廓线的投影 即最左 最右的素线投影 4 圆柱面侧面投影应画出侧面转向轮廓线的投影 即最前 最后的素线投影 特点 当圆柱的轴线垂直某一个投影面时 必有一个投影为圆形 另外两个投影为两个相等的矩形 圆柱表面由圆柱面和顶面 底面所组成 圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成 如图所示 圆柱的轴线垂直于H面 其上下底圆为水平面 水平投影反映实形 其正面和侧面投影重影为一直线 而圆柱面则用曲面投影的转向轮廓线表示 圆柱投影图的绘制 1 先绘出圆柱的对称线 回转轴线 2 绘出圆柱的顶面和底面 3 画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线 正面转向轮廓线 侧面转向轮廓线 2 作图步骤 1 画基准线 轴线和对称中心 2 画底面及圆柱面积聚性投影 3 根据圆柱高度和直径画圆柱的另外两个投影 矩形 3 圆柱表面上取点 a b 例 已知圆柱表面上的两点A B的正面投影 求作水平投影和侧面投影 a a y1 y1 b b y2 y2 当圆柱的轴线垂直某一个投影面时 圆柱体表面都有积聚性投影 可利用积聚性投影在表面上取点 圆柱表面取点 已知圆柱表面上的点M及N正面投影a b m 和n 求它们的其余两投影 a a a b b b 2 圆锥 1 投影分析 以圆锥轴线处于铅垂线位置为例 1 底面的水平投影反映真形 正面及侧面投影积聚为平行投影轴的直线 长度等于底面直径 2 圆锥面三个投影均无积聚性 其水平投影为圆 且与底面水平投影重合 圆锥面的水平投影可见 3 圆锥面正面投影应画出正面转向轮廓线的投影 即最左 最右的素线投影 4 圆锥面侧面投影应画出侧面转向轮廓线的投影 即最前 最后的素线投影 特点 当圆锥的轴线垂直某一个投影面时 必有一个投影为圆形 另外两个投影为两个相等的等腰三角形 圆锥的投影 圆锥表面由圆锥面和底圆组成 它是一母线绕与它相交的轴线回转而成 圆锥轴线垂直H面 底面为水平面 它的水平投影反映实形 正面和侧面投影重影为一直线 对于圆锥面 要分别画出正面和侧面转向轮廓线 正面转向轮廓线 侧面转向轮廓线 c d 1 先绘出圆锥的对称线 回转轴线 2 在水平投影面上绘出圆锥底圆 正面投影和侧面投影积聚为直线 3 作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线 2 圆锥面上取点 圆锥上的点 若在圆锥底面或转向轮廓线上 可直接求出 而处于圆锥表面的一般位置的点 必须通过作辅助线法求得 B A 方法一辅助素线法 方法二辅助纬线 圆 法 方法一 素线法 过M点及锥顶S作一条素线S 先求出素线S 的投影 再求出素线上的M点 已知圆锥表面的点M的正面投影m 求出M点的其它投影 过m s 作圆锥表面上的素线 延长交底圆为1 1 1 1 m m 求出素线的水平投影s1及侧面投影s 1 求出M点的水平投影和侧面投影 方法二 辅助圆法 过M点作一平行与底面的水平辅助圆 该圆的正面投影为过m 且平行于a b 的直线2 3 它们的水平投影为一直径等于2 3 的圆 m在圆周上 由此求出m及m m n 例 已知圆锥表面上点M及N的正面投影m 和n 求它们的其余两投影 在圆锥表面上定点 a a a 3 圆球 圆球可以看作由一圆母线 绕其过圆心且在同一平面的轴线旋转而形成 1 投影分析 圆球的三面投影均为等直径的圆 它们的直径为球的直径 它们分别是圆球三个方向的转向轮廓线 球的表面是球面 球面是一条园母线绕过圆心且在同一平面上的轴线回转而形成的 球的三个投影均为圆 其直径与球直径相等 但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线 回车继续 2 圆球表面上取点 圆球表面上取点 若点在圆球转向轮廓线上 可直接求出 而处于一般位置的点 必须通过作辅助纬线 圆 求得 b B b b a A a a 4 圆环 圆环面是由圆母线 绕与其共面但不过圆心的轴线回转而形成 其中内半圆ADC形成内环面 外半圆ABC形成外环面 1 投影分析 1 水平投影的三个同心圆 点画线圆是母线圆心轨迹的水平投影 内 外粗实线圆是圆环面上最小 最大的纬线圆 2 正面投影上的两个小圆 一半粗实线 一半虚线 是内 外环正面的转向轮廓素线 上下两条直线是圆环上面最高 最低的两条纬线圆 3 侧面投影上的两个小圆 一半粗实线 一半虚线 是内 外环侧面的转向轮廓素线 2 圆环表面上取点 圆环表面上取点 若点在圆环转向轮廓线上 可直接求出 而其余处于一般位置的点 必须通过作辅助纬线 圆 求得 a a a A m n 圆环表面取点 三 基本体的尺寸标注 组合体尺寸标注的基本要求是 正确 齐全 清晰 首先介绍常见基本体的尺寸标注 1 平面体的尺寸标注 四棱柱 正六棱柱 三棱柱 正三棱锥 四棱锥台 平面体一般要标注长 宽 高三个方向的尺寸 2 回转体的尺寸标注 圆柱 圆锥 圆球 圆环 圆锥台 在非圆投影上标注直径尺寸后 就能确定它们的形状和大小 其余视图均可不画 基本回转体一般只要标注径向 轴向两个方向的尺寸 平面立体总结 一 棱柱 由平面围成 各侧棱线相互平行 投影特性 正放的棱柱表面都是特殊位置平面 二 棱锥 由平面围成 各侧棱线交于一点 投影特性 正放的棱锥底面是投影面的平行面 侧棱面是一般位置平面或投影面的垂直面 表面取点 表面取点 利用立体表面的积聚性投影作图 利用立体表面的积聚性投影作图 作辅助线 过锥顶和已知点投影作辅助线 过已知点投影作底棱平行线 过已知点投影作其所在的棱面上的任意直线 曲面立体总结 一 基本概念 素线 纬线 转向轮廓素线 二 圆柱 三 圆锥 由平面和回转面围成 母线与回转轴线平行 投影特性 正放的圆柱表面都处于特殊位置