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第5章 光全息术51引言与普通照相不同，全息照相有两个突出的特点，一是三维立体性，二是可分割性。所谓三维立体性，是指全息照片再现出来的像是三维立体的，具有如同观看真实物体一样的立体感，这一性质与现有的立体电影有着本质的区别。所谓可分割性，是指全息照片的碎片照样能反映出整个物体的像来，并不会因为照片的破碎而失去像的完整性。全息照相之所以具有上述特点，是因为全息照相与普通照相的方法截然不同。普通照相在胶片上记录的是物光波的振幅信息（仅体现于光强分布），而全息照相在记录振幅信息的同时，还记录了物光的位相信息，“全息”(Holography)也因此而得名。全息术最初是由英国科学家丹尼斯盖伯（Dennis Gabor）于1948年提出来的，他的目的是想利用全息术提高电子显微镜的分辨率，在布喇格（Bragg）和泽尼克（Zernike）的研究基础上，盖伯找到了一种避免位相信息丢失的技巧。但是由于这种技术要求高度相干性及高强度的光源而一度发展缓慢。整个50年代，一些科学家大大扩展了盖伯的理论并加深了对这一新的成像技术的理解。直到1960年第一台激光器问世，解决了相干光源问题，继而在1962年美国科学家利思（Leith）和乌帕特尼克斯（Upatnieks）提出了离轴全息图以后，全息技术的研究才获得突飞猛进的发展，并越来越为人们所重视。近40年来，全息技术的研究日趋广泛深入，逐渐开辟了全息应用的新领域，成为近代光学的一个重要分支。纵观历史，全息术的发展可分为四个阶段，第一阶段是萌芽时期，是用汞灯作光源，摄制同轴全息图，称为第一代全息；第二阶段是用激光记录、激光再现的离轴全息图，称为第二代全息；第三阶段是激光记录、白光再现的全息图，称为第三代全息，主要包括白光反射全息、像全息、彩虹全息、真彩色全息及合成全息等，使光全息术在显示领域充分展现其优越性；第四阶段是用白光记录、白光再现的全息图，称为第四代全息，这是一个极具诱惑力的方向，正在吸引着人们去研究，去探索。本章将从全息原理入手，重点介绍与全息术有关的一般知识，而其主要的应用方面将分别在第7、8、9 和11章中详细介绍。5.2 全息术原理波前记录与再现当人眼接收到不失真的物光波的全部信息，两眼产生视差的结果，便看到了三维立体像。眼睛只要能接收到物光波，便产生看见物体的视觉，而该物体是否真实存在，眼睛并不能觉察。如果物本身并不存在，则眼睛看到的就称为“像”。许多光学系统成像虽具有三维立体性，却是实时“器件”，不能称为“照片”。只有那些没有实物存在时仍能显示出与实物一样的三维立体像的东西，才能称为“立体照片”。“立体照片”能将实物发出的物光波的全部信息“冻结”其上，需要时，又能在特定的光照条件下将物光波“复活”，使其继续向前传播，再现出像来。在全息术中这种“照片”就称为“全息图” (Hologram)。把“冻结”物光波的过程称为“波前记录”，而把“复活”信息称为“波前再现”。5.2.1 波前记录干涉场分布与波面位相的一一对应关系：盖伯避免位相信息丢失的技巧是干涉方法。当两束光相干时，其干涉场分布（包括干涉条纹的形状、疏密及明暗分布）与这两束光的波面特性（振幅及位相）密切相关。例如两束平面波相干，干涉场等强度面是明暗相间的平面族；两束球面波相干，干涉场为一组旋转双曲面；平面波和同轴的球面波相干，干涉场是旋转抛物面；平面波与复杂波面相干，得到复杂的干涉场分布；等等。但无论是简单的还是复杂的分布，一种分布只对应着唯一的相干方式，若两束光的波面形状有微小的改变，或者两者的相对位置有微小改变（如相交角度改变），都会引起干涉场分布的改变。因而，干涉场的分布与波面位相可以说是一一对应的。由此可以推知，利用干涉场的条纹可以“冻结”住位相信息。2干涉法记录波前基于前面的分析，利用感光材料来记录干涉场的条纹，可以达到“冻结”物光波位相信息的目的。具体方法是在物光波到达感光板的同时，用另一束已知振幅及位相，并能与物光相干的光波（称为参考光）同时照射感光板曝光后，感光板上记录到的是两者相干涉的条纹。由前面讲述的一一对应关系可知，物光波的振幅和位相信息便以干涉条纹的形状、疏密和强度的形式“冻结”在感光的全息干板上。这就是波前记录的过程。需要说明一点，记录用的感光材料有多种，将在本章最后一节介绍，此前都用干板或胶片进行分析。3数学模型如图5.1（a）所示，全息干板H上设置x , y坐标，设物波和参考波的复振幅分别为 O ( x , y ) = O 0 ( x , y ) exp jo ( x , y ) R ( x , y ) = R 0 ( x , y ) exp jr ( x , y ) （5.1）其中O0、o 分别是物光波到达全息干板H上的振幅和位相分布，R 0 、r 分别是参考光波的振幅和位相分布。干涉场光振幅应是两者的相干叠加，H 上的总光场为 U ( x , y ) = O ( x , y ) + R ( x , y ) （5.2）干板记录的是干涉场的光强分布，曝光光强为 I ( x , y ) = U ( x , y )U * ( x , y ) =O2 +R2 + OR* + O*R （5.3）经线性处理后，底片的透过率函数tH 与曝光光强成正比 tH ( x , y ) I ( x , y ) （5.4）略去一个无关紧要的比例常数，上式可直接写成 tH ( x , y ) =O2 +R2 + OR* + O*R （5.5）这样得到的底片就是全息照片，又称全息图。一般说来，这是一种最初级的全息照片。 I O% H O% H R C 图5.1（a）波前记录示意图 （b）波前再现示意图5.2.2 波前再现 波前再现是使记录时被“冻结”在全息干板上的物波前在特定条件下“复活”，构成与原物波前完全相同的新的波前继续传播，形成三维立体像的过程。波前再现需借助于照明光波（见图5.1（b），而该照明光波必须满足一定的条件才有可能再现原物的波前，通过数学模型可进一步了解这一条件。1数学模型设照明光波表示为 C ( x , y ) = C 0 ( x , y ) exp jc ( x , y ) （5.6） 其中C 0 、c分别为振幅和位相分布。当用C ( x , y )照射全息图H时，透过H后的光振幅U( x , y ) 由下式确定 U( x , y ) = C ( x , y )tH ( x , y ) 将式（5.1）和（5.5）的关系代入，得到 U( x , y ) = C 0 ( x , y ) exp jc ( x , y )O2 +R2 + OR* + O*R = C 0 O 0 2exp jc ( x , y ) + C 0 R 0 2exp jc ( x , y ) + C 0 O 0 R 0 exp j (o r +c) + C 0 O 0 R 0 exp - j (o r c) (5.7) 式 (5.7) 称为全息学基本方程，其中方程右边各项的意义为：第一、二项：与再现光相似，它具有与C ( x , y )完全相同的位相分布，只是振幅分布不同，因而它将以与再现光C ( x , y )相同的方式传播。第三项：包含有物的位相信息，但还含有附加位相。这一项最有希望重现物光波。第四项：包含有物的共轭位相信息。这一项有可能形成共轭像。 以上四项均是衍射的结果，能否得到与原物相同的像，还要取决于C ( x , y )的选择。2波前再现的几个特例： （1）C ( x , y ) = R ( x , y )，即再现光与参考光相同，也就是说用原参考光再现。这时有C0 ( x , y ) = R0 ( x , y )，c =r，（5.7）式变为以下形式 U( x , y ) = R 0（O 0 2 + R 0 2）exp jr + R 0 2 O 0 exp j o + R 0 2 O 0 exp - j (o - 2r ) (5.8)从式(5.8)可明显看出，第一、二项合并为一项，保留了参考光的信息；第三项与原物光波基本无两样，只增加了一个常数因子。因此，正是第三项再现了物光波，所成的像称为原始像（虚象）；第四项为共轭项，它除了与物波共轭外，还附加了一个位相因子，因而这一项成为畸变了的共轭像，是实像。图5.2示出了这种情况。有时也把原始像称为一级像，把共轭像称为负一级像，而把保留照明光成分的项称为零级。 畸变共轭像 原始像 O% C=R H 图5.2 用原参考光作为照明光再现的情况 （2）C ( x , y ) = R* ( x , y )，称为共轭再现，即采用与参考光共轭的光波再现(见图5.3)。这时有C0 ( x , y ) = R 0 ( x , y )，c = -r，（5.7）式变为 U( x , y ) = R 0（O 0 2 + R 0 2）exp - jr + R 0 2 O 0 exp j (o -2r ) + R 0 2 O 0 exp - jo (5.9)由式 (5.9) 可见，第一、二项合并，仍保留了参考光的特征；第三项是畸变了的虚象；第四项是与原物相象的实像，但出现了景深反演，即原来近的部位变远了，原来远的部位变近了，我们称其为赝像。赝像给人的感觉是颇为有趣的。图5.3(a)示出了这种情况。共轭光的获得有两个途径，一种是采用逆光路，一种是采用轴对称光路，如图5.3(b)所示。 R* 赝实像 C=R* O% H H R (a) (b)图5.3 赝像的产生（a）用原参考光的共轭光照明再现的情况 （b）共轭光波一例 (3)其他情况：如再现光既不同于参考光又不与参考光共轭，则要看偏离R ( x, y)的程度而定，分以下三种情况讨论：a照射角度的偏离：如再现光与参考光波面形状相同，只是相对全息图的入射角有偏离。偏离角小时仍出现再现像；随着角度的增大，再现像由畸变直至消失。可见，全息图只在一个有限的角度范围内能再现物波前。利用这一特性，可采用不同角度的参考光在同一张全息片上记录多重全息图，再现时只要依次改变再现光角度，便可依次显示出不同的像来。b.波长的改变：如再现光与参考光只是波长存在差异，则再现像会出现尺寸上的放大或缩小，同时改变与全息图的相对距离。c.波面的改变：前面曾介绍的共轭波再现便是一例。一般情况下，再现光波面的改变都会使原始像发生畸变。然而，再有些情况下却恰恰需要这种畸变，这将留作以后再介绍。 以上全息记录和再现原理已经充分说明全息照片能够再现出三维立体像。同时由于全息图上每一点都记录有物上所有点发出的波的全部信息，因此每一点都可以在参考光照射下再现出像的整体。当然，对再现像有贡献的点越多，像的亮度越高。另外，由于点越多，再现时的照明孔径也越大，像的分辨率就越高，可以观察三维立体像的视角也越宽。 前面已经反复研究了（5.7）式中四项的特性，还应当注意到，在全息图上这四项是相互重叠在一起的。由于光是独立传播的，再现时在全息图上相互重叠的、由式（5.7）表示的四项将分别沿三个不同方向传播。只要这些方向之间夹角比较大，离开全息图不远就可以分离开来，在不同方向上观察，这四项产生的图像并不会互相干扰。这就是利思和乌帕特尼克斯提出离轴全息图的原理。但是在激光器问世以前，离轴全息并不能实现。因为在图5.1（a）所示的记录光路中，如用普通光源，在全息底片上便不能保证光程差都在相干长度以内。初期的全息图，即盖伯全息图，只能采用如图5.4所示的同轴光路。物光波、参考光波和再现光波沿同一方向传播，以保证相干性的要求。这种情况下，式（5.7）中四项再现的结果相互重叠，不能分离。在再现光和共轭像的背景下，很难得到高质量的再现像。因此全息术的快速发展是在发明离轴全息图以后。 R C O% H O% H I (a) (b)图5.4同轴全息图的记录和再现（a）波前记录 （b）波前再现5.2.3 全息实验装置1. 相干光源激光器全息图的记录依赖于光的干涉，因而光源相干性的好坏则显得十分关键。上一章已经说明光的相干性包括时间相干性和空间相干性。要想记录质量好的全息图，要求光束的相干长度足够长，相干面积足够大。通常用于全息记录的光源多为气体激光器，单模输出连续发光，相干性完全可以满足要求。常见的激光器和它们的主谱线波长及相应的记录介质类型列于表5.1中。在某些技术中还会用到脉冲激光器或双脉冲激光器，如红宝石激光器，铷玻璃钇铝石榴石（Nd : YAG ）激光器等等。有时为了增加激光的相干长度，必须安装法布里珀罗标准具，例如进口氩离子激光器就常带有这种标准具。近年来，半导体激光器以其体积小、价格低、寿命长、使用方便等优点开始走上市场，其良好的相干性也正在引起全息研究人员的关注和重视，在全息领域的应用前景正初露端倪。表5.1 常用激光器的主谱线波长和相应记录介质一览表激光器类别常用主谱线波长（nm）相应记录介质氦-氖（He-He）激光器632.8银盐明胶（天津I型）光致聚合物氩离子（Ar+）激光器514.5488.0457.9银盐明胶（天津型）光刻胶重铬酸盐明胶光致聚合物氦-镉（He-Cd）激光器441.6325.0银盐明胶（天津型）光刻胶光致聚合物氪离子（Kr+）(紫外) 激光器337.0356.0光刻胶2防震平台及光学元件防震平台也称全息台，专用于全息实验，主要功能是隔震，台面多用铁板（或钢板）制成。由于记录在全息图上的是间隔很密的干涉条纹，其线密度高达10 3 l/mm量级，而曝光时间却较长，一般从几秒到几分钟甚至几十分钟，所以要求光路必须达到较高稳定度，光程差的变化量不得超过/10，否则将无法记录高质量的全息图。但大地的震动是不会停止的，汽车的疾驶、室内空气的流动以及人员的走动等等外界干扰常会引起实验台的震动，从而引起干涉条纹的晃动。这些影响都会导致全息记录的失败，因而全息台必须消除上述种种影响。隔震的手段是多种多样的，所见较多的是用气垫、弹簧、橡皮、海绵、沙子及锯末等。另外，光学元件夹具底座多为钢铁制品，可用磁铁牢固地定位在台面上，以保证没有元件之间的相对位移，获得较高的稳定度。全息实验还需要种类颇多的光学元件用于分光、折光、扩束、滤波、准直、成像、散射等等，以构成各种光路系统。常用的光学元件主要有：(1) 反射镜：用于改变光束传播方向，要求表面光学加工精度高，平面度好、反射率高。通常是利用真空镀膜技术在光学玻璃表面上镀以金属膜或介质膜，以适应不同波长的要求。(2) 扩束镜：用于使激光器输出的细激光束扩展成所需的宽光束。常用显微物镜作为扩束镜，它的焦距短，扩展效果好。(3) 针孔滤波器：用于对扩束后的光场实行低通滤波，允许衍射斑的零级通过，以消除一切高频干扰信号，它们大多来源于光学元件的缺陷、划痕、污迹或尘埃微粒等。经针孔滤波后的光斑看起来比较“干净”。由于针孔的线度极小，一般达几微米到几十微米，调节精度要求很高，因而大多安装在五维精密微调架上。(4) 光分束器：用于将一束光分为两束或多束光，以保证全息图记录光路所需要的相干性，因而也叫“分光镜”。分光后各路光强之比称为分束比，分束比可以是连续变化的，也可以是阶跃变化的。目前常见的分束器是在玻璃平晶上镀上金属膜或介质膜制成的，而特殊的分束器则要用计算机设计通过微细光学加工技术获得。(5) 透镜：包括球透镜、柱透镜、抛物面透镜、透镜阵列等等，用于对光波实行准直、成像、聚焦、傅里叶变换等功能。对于特殊要求，如消色差、消像差等，还要专门设计，特殊加工。(6) 散射器：用于得到漫散射光场。通常用毛玻璃、乳白塑料板，或硫酸纸。特殊需要时，还可制成各种面型，如球面、柱面等。光学元件一般都安装在金属夹具上，要求安全、稳固。3全息实验光路设计原则实际的全息实验光路无固定模式，视全息图的种类而定，但都必须遵循以下几条原则：（1）光程差的要求：从光源到干板，参与干涉的各路光束所经过的光程应尽量接近，即应使光程差尽可能小；（2）物参比的要求：物光和参考光照射到干板表面的光强之比一般控制在1：2至1：10以内，否则将降低干涉条纹的对比度，降低衍射效率。具体比例要根据物表面反射（或散射）特性、物的大小种类、全息图的类别，以及记录介质特性等因素而定；（3）空间频率的限制：由于记录介质的分辨率是有限的，因而物光和参考光的夹角应选择适当，使全息图的条纹密度不得大于所选用记录介质的分辨率(以线对/毫米为单位)。（4）光学元件使用数量要尽可能少，这一方面是为了减少不必要的光能量损失，另一方面也为了减少引入光噪声的渠道。53 基元全息图分析前面已经讲到，全息图记录到的实际上是一些纵横分布的干涉条纹，这些干涉条纹的形状、疏密、强度分布完全取决于物光波和参考光波的波前特性以及两者之间的相互位置关系。基元全息图是指由单一物点构成的物光波与点源构成的参考光波所形成的全息图，它是全息图中最基本、最简单的一类。为了研究干涉条纹的分布特性和规律，先介绍几种基元全息图的条纹结构，其他复杂的结构则可看成是这些简单结构的组合。点物与点源产生的条纹结构在物理光学中已有详细讨论，这里引用其结论。1平面波与平面波相干（见图5.5（a）：当物光波与参考光波均为平面波即点光源位于无穷远时，干涉场的峰值强度面是平行等距的平面族，其面间距d 与两束光的夹角有关： 2 d sin (/2) = o (5.10)其中o 是记录光波的波长。图5.5 基元全息图示意图21 2平面波与球面波相干:当物光波是点源发出的球面波而参考光为平面波时,干涉场的峰值强度面是一族旋转抛物面（见图5.5（b）。3.球面波与球面波相干当物光波和参考光波都是由点源发出的发散球面波时，干涉场的峰值强度面变为一组旋转双曲面,旋转轴是两个点光源的连线（见图5.5（c）。而当物波是发散球面波，参考波是会聚球面波时，干涉场的强度峰值面演化为一组旋转椭圆。两个点源位置恰是椭圆的两个焦点（见图5.5（d）。在图5.5中，用虚线表示了记录干板的位置。显而易见，干板在干涉场中所处位置不同，记录到的基元全息图结构也就不同。例如图5.5（a）中位置1，是傅里叶变换全息图的结构。图5.5（b）-（d）中位置1则是同轴全息图，条纹基本形状是内疏外密的同心圆环；位置2是离轴全息图结构；位置3是透射体积全息图；位置4是反射体积全息图；位置5则是无透镜傅里叶变换全息图的结构等等。 54 平面全息图及其衍射效率在本节开始之前，先介绍全息图的分类，便于读者理解以后内容中出现的有关名词术语。事实上，对种类繁多的各种全息图很难进行统一的分类，因为所谓的“类”都是相对某一特定的分类依据而言的，这种依据大致有六种，以下就按这六种依据介绍对全息图的分类：一、按照记录介质的膜厚分类，有平面全息图和体积全息图两类。二、按照透射率函数的特点分类，有振幅型和位相型两类，而位相型又可分为表面浮雕型和折射率型两类。三、按照所记录的物光波的特点，可分为菲涅耳全息图、夫琅和费全息图和傅里叶变换全息图三类。四、按照再现时照明光的种类，可分为激光再现和白光再现两类。五、按照再现时照明光和衍射光的方向特点，可分为透射型和反射型两类，六、按照所显示的再现像的特征，有像面全息、彩虹全息、360度合成全息、真彩色全息等等。以上六类实际上又是相互穿插相互渗透的，例如第三项中的三类全息图都属第一项中的平面全息图，而第六项中所列又都属第四项中的白光再现全息图，同时又多属体全息，可制成透射型，也可制成反射型。本节重点介绍平面全息图。所谓“平面全息图”是指二维全息图，只需考虑x-y平面上的振幅透射率分布，而无须考虑干板乳胶的厚度。这种全息图的记录材料较薄，一般符合下式所限制的条件： h 10 n d 2 / 2 （5.11） 其中n为乳胶折射率，d为条纹间距，为曝光波长。平面全息图的种类很多，采用不同的光路可以得到不同的物信息，本节只介绍最主要的几种平面全息图。541 菲涅耳全息图 21 菲涅耳全息图直接记录物光波本身，不需要变换透镜和成像透镜，仅要求干板与物体的距离满足菲涅耳近似条件, 图5.1和图5.4记录的都是菲涅耳全息图。1菲涅耳全息记录与再现原理为数学推导方便，在图5.1上建立o-xyz坐标，得到图5.6。 ro x,y O(xo, yo) lo rr 0 z lr H R(xr,yr)图5.6 菲涅耳全息图记录光路中各量的关系设物是一个以原点O为中心半径为l0的曲面，其光振幅可记作 O ( xo , yo ) = O0 ( xo , yo ) exp jo ( xo , yo ) （5.12）与（2.47）式不同，对ro的简化在以原点O为中心半径为lo的球面上进行。因为，ro可近似为 条件是。因此全息图平面x , y上的物光波可写成 （5.13 ）同理，参考点源位于( xr , yr , lr)，参考光波在全息图平面上的光振幅为： （5.14）以上两式中k0 = 2/0 ，0是记录光波的波长。全息图曝光强度I ( x , y )可用式（5.3）来表示。线性处理条件下，忽略常数因子后全息图振幅透射率tH ( x , y )可表示为式（5.5）。 设再现照明光为 C ( x , y )，同样近似表示为： （5.15）式中k = 2/ ，是再现光波的波长。全息图后的光场为 U H ( x , y ) = tH ( x , y ) C ( x , y ) (5.16)和式(5.5)一样，它由四项组成，式中第三项与原始像有关。设对应的像点坐标为 (xi ，yi ，zi )，第三项成像光波应表达为 U 3 (xi ，yi ) = OR*C （5.17）将（5.13）、（5.14）、（5.15）三式关系代入，简化合并后得到 (5.18)由于菲涅耳全息图兼有衍射和成像的功能，与普通透镜成像条件相似。如令上式中(x2 + y2）的系数为零，内层积分结果为函数，就可得出 U 3 ( xi ，yi )与O ( xo , yo )相似的结论。（x2 + y2）的系数为零的条件是 (5.19)其中 = /0 。（5.19）式就是菲涅耳全息图的物象距关系式。事实上，物体和全息图的大小总是有限的，所以可将对 ( xo , yo ) 和 ( x , y ) 的积分限扩至无限，再利用函数的性质 (ax) = (x)/ |a|（参阅附录A.3式），可将（5.18）式简化并改写为 (5.20)显然，像分布U 3 ( xi ，yi )与物分布O ( xo , yo )是相似的。像的位置改变是由于照明光源的位置( xc , yc , zc )不同于参考光源的位置( xr , yr , zr ) 引起的。 式（520）中函数O的坐标分别等于xo 和 yo时，可以求出像点的坐标关系为 (5.21a) (5.21b)式中可由式（5.19）计算 (5.21c) 以上讨论均对原始像而言，至于共轭像，可用类似方法推导，所得共轭像点的关系式为 （5.22a） （5.22b） （5.22c） 将式（5.21c）和（5.22c）与普通透镜的物象关系式比较，可见有： （5.23）式中f = + lo lr / ( lr- lo )是全息图的像方焦距，正、负号分别对应原始像和共轭像的情况。由此可见菲涅耳全息图除记录了物体的信息外，还兼有正、负透镜成像的作用，所以 再现过程无须加透镜即能自行成像。 为了讨论成像的放大率，利用菲涅耳近似即近轴近似，用物像的z方向坐标代替物像距(如zo=lo) ,并将原始像和共轭像的两种情况合起来，式（5.21-22）可改写为 (5.24a) (5.24b ) (5.24c)式中正、负号分别对应原始像和共轭像的情况。成像的横向放大率为 (5.25)2线模糊与色模糊 上述分析中参考光源和再现光源都假设为点光源，实际光源却是有一定大小的。实际光源上每一个点作为参考光源会产生全息图上的不同光栅结构，作为再现光源会产生不同的再现像，一个物点将对应产生多个像点，也就是说用扩展光源作参考光源和再现光源时会导致再现像的展宽，这个现象称做线模糊。设参考光源和再现光源的线度分别为和（图5.7），不难证明像的展宽为（习题5.3） （5-26）图5.7 菲涅耳全息图光路中光源大小产生的线模糊(a) 参考光源线度的影响 (b) 再现光源的线度的影响 再现像由于照明光源的线宽而展宽的现象称为色模糊。如果色模糊量超过人眼或观察系统的分辨率，则影响像的质量。色模糊是由于全息图的光栅结构产生色散现象而引起的。所以色模糊量应与波长范围和色散率成比例，如果再现时像距是，则色模糊量为 （5.27）式中为出射角在面内的投影。设物的中心位置和参考光、再现光源均位于面内（图5.8），则在方向全息图具有最大的空间频率，也就是说在面内的色模糊量最大，因而只须讨论在这个面内的影响。将式(5.21a)写成入、出射角的形式 从而求得 代入(5.27)式可得原始像的线色模糊量为 (5.28)图5.8 菲涅耳全息图在面产生的色模糊量3菲涅耳全息图记录与再现光路： 菲涅耳全息图的实际记录光路如图5.9所示。其中，BS是分束镜，它将激光器出射的激光分成两束，分别通过反射镜 M1 和 M2 的反射，再分别通过扩束镜和针孔滤波器 SL1 和SL2 构成发散球面波，前者作为参考波R，后者照明物体O，由O漫射的光波作为物光波，同时照射到全息干板H上，曝光后即得到菲涅耳全息图。图中SH是快门，由它控制曝光时间以得到最佳曝光量。图5.9 菲涅耳全息图记录光路 菲涅耳全息图的再现常采用“原参考光再现”和“共轭再现”两种，这一点在5.1.3中已作过分析。应该说明的是，在前一种情况下，再现原始像位于记录时物体的位置，且与物体完全相同，与此同时还存在一个畸变的共轭像（即（5.8）式中的第四项），其虚实特性与记录时的参数 lo 与lr 有关（见图5.6）, 当lo lr / 2 时为实像，该实像是一个景深反演的畸变的赝像。当用参考光波的共轭光照明全息图即“共轭再现”时，将得到物体的不畸变的实赝像，这在实际应用中是十分有意义的。5.4.2 傅里叶变换全息图这种全息图记录的并非物光波本身，而是物的傅里叶谱。第三章关于透镜的傅里叶变换性质说明，透镜后焦面的光场分布是其前焦面光场分布的傅里叶变换，可以利用透镜记录傅里叶变换全息图。1记录原理：记录光路如图5.10示。物 O（x ，y）置于透镜前焦面，用平行光照明。这里的物一般以平面透明片为宜。在透镜L后焦面上得到它的傅里叶频谱。将全息干板置于后焦面上，用斜入射的平行光作为参考光，记录傅里叶变换全息图。设物光波为O ( xo , yo ) = O0 ( xo , yo ) exp jo ( xo , yo ) ，参考光可利用置于前焦面上的点光源产生，设其位置坐标为(-b,0)，数学表述为一个函数： R ( xo , yo ) = R0 ( xo + b , yo ) (5.29) xo L xf O(xo,yo) z R(-b,0) f f H图5.10傅里叶变换全息图记录光路经透镜变换后到达干板处的光振动是它们的傅里叶频谱之和： （5.30）其中O表示O 的傅里叶变换，R表示R 的傅里叶变换，fx = x /f ，fy = y /f 为空间频率分量，其中xy为透镜后焦面的空间坐标，f为透镜焦距。 曝光光强为 I（fx，fy）= （O + R ）（O + R ）* =| O（fx，fy）|2 + Ro2 + Ro O（fx，fy）exp - j 2 fx b + Ro O *（fx，fy）exp j 2 fx b （5.31）经线性处理后，全息图的透射率正比于I 。将式（5.30）、（5.31）代入并作整理，省略常系数，得到全息图透射率： （5.32）由式（5.32）明显看出傅里叶全息图有两大特点，一是它所记录的确是物的频谱，二是全息图的条纹结构有序，呈多族余弦光栅按一定规律线性重叠而成。2再现原理：再现光路如图5.11所示。用平行光垂直入射到全息图上，数学表述为： C ( x, y) = Co exp (jc) = 1全息图后的光振幅为 UH= CtH tH =| O |2 + Ro2 + RoO（fx，fy）exp - j 2 fx b + Ro O *（fx，fy）exp j 2 fx b （5.33）分析式（5.33）可知，第三项包含着物的频谱，第四项是共轭频谱，由于该两项的附加位相 exp - j 2 fx b 和exp j 2 fx b 只在指数上差一个符号，所以他们必然对称分布于零级两侧，倾角分别为 x =sin-1( b / f )。 L (-b,0) 共轭像 H OO z f f (b,0) 原始像 xo图5.11傅里叶变换全息图再现光路为获得物的再现像，必须将全息图置于透镜前焦面上，后焦面得到它的傅里叶变换。当取反射坐标时，得到的是逆变换： Uf = F 1UH （5.34）将式（5.33）代入式（5.34），得到四项：第一项：Uf1 = F 1| O （fx，fy）|2 = F 1 O （fx，fy）O *（fx，fy） = O ( xo , yo ) * O* ( -xo , -yo ) = O ( xo , yo ) O ( xo , yo ) （5.35） 这一项是物函数的自相关()，因频率较低，故分布于原点附近。 第二项：Uf2 = F 1R02 ，是函数，形成焦点处的亮点，称为零级。 第三项：Uf3= F 1R0 O (fx , fy) exp(-j 2fx b) （5.36） Uf 3= O ( xo - b, yo ) 因此第三项代表物的原始像，中心位置在(b,0)处，是一倒立实像。 第四项：Uf4= F 1Ro O* (fx , fy) exp(j 2fx b) = O* (- xo - b, - yo ) , 代表物的共轭像，位置在(-b,0)处，是一正立实赝像。3傅里叶变换全息图的某些性质特点及应用：（1）衍射像分离的条件：要使再现时各衍射项能分离开，则记录时参考点源位置与物的尺寸要选择合适，一般来说，b必须大于物体尺寸的3/2倍。（2）记录介质的分辨率：对记录介质分辨率的要求不受物体本身精细结构的影响，而取决于全息图中最精细的光栅结构，因而应该满足 ，其中R为记录介质分辨率，fx o表示全息图的频谱成分，即全息图干涉条纹的空间频率。（3）再现像的分辨率：再现像的分辨率取决于全息图的宽度，它所记录的空间频率越丰富（即高频信息越多），分辨率就越高。因而透镜孔径的限制将起很大作用，孔径越大，截止频率越高。最理想的是将物紧靠透镜。（4）和菲涅耳全息一样，光源尺寸及再现光源线宽都会影响再现像的质量。再现时产生的像的线模糊和色模糊会影响分辨率，因而对记录时点源的尺寸及再现光源线宽要严格限制。（5）傅里叶全息图所记录的干涉条纹的排列是有序的，所以特别适用于计算全息。（6）傅里叶全息图记录的是频谱，而不是物本身。对于大部分低频物来说，其频谱都非常集中，直径仅1mm左右，记录时若用细光束作参考光，可使全息图的面积小于2mm2, 所以特别适用于高密度全息存储。（7）傅里叶全息图的光能集中在原点附近，为避免曝光不均匀，在调节光路时可使干板稍稍离焦，以便得到线性处理的全息图。当物不是处于透镜的前焦面上，后焦面上得到的不再是物光分布的傅里叶变换而是其夫琅和费衍射，两者的区别只差一个位相因子。所以所有记录傅里叶变换全息图的系统只要改变其参考光的波面曲率，所记录的全息图就是夫琅和费全息图。5.4.3 无透镜傅里叶变换全息图无透镜傅里叶变换全息图在记录和再现时都不用透镜。1记录原理：记录光路如图5.12所示。用平行光照明物，参考点源置于物平面（-b，0）处（）。根据菲涅耳衍射公式可知，干板处的光振幅由两部分组成：物光波： （5.37） 参考光波： 曝光光强： （5.38）进行线性处理后，透射率 tH I 。由式(5.38)可以看出，物光波和参考光波中的二次位相因子在曝光光强表达式中相互抵消。这就是可以省去透镜记录傅里叶变换