2015高考数学二轮专题复习题13：空间向量与立体几何（含解析）.doc

高考专题训练(十三)空间向量与立体几何(理)A级基础巩固组一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B.w w w .x k b 1.c o mC. D.解析设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示空间坐标系，则(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案B2.如图，三棱锥ABCD的棱长全相等，E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析设AB1，则(A)()2cos60cos60cos60.cos，.故选A.答案A3.如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为()A0B1C0或1D任意实数解析可为下列7个向量：，其中一个与重合，|21；，与垂直，这时0；，与的夹角为45，这时1cos1，最后1cosBAC11，故选C.答案C4(2013山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B.C. D.解析如图所示，设ABC的中心为O，SABCsin60.VABCA1B1C1SABCOPOP，OP.又OA1，tanOAP，又0OAP，OAP.答案B5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，所以|cosn1，n2|.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.答案B6P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为()来源:学。科。网Z。X。X。KA60 B70C80 D90解析不妨设PMa，PNb，作MEAB于点E，NFAB于点F，如图因为EPMFPN45，所以PEa，PFb，所以()()abcos60abcos45abcos45ab0.所以，所以二面角AB的大小为90.答案D二、填空题7已知a(2，1,1)，b(1,4，2)，c(11,5，)若向量a，b，c共面，则_.解析由向量a，b，c共面可得cxayb(x，yR)，故有解得答案18已知空间不共面四点O，A，B，C，O0，且|，则OM与平面ABC所成角的正切值是_解析由题意可知，OA，OB，OC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故(1,1,0)，(1,0,1)，.X k B 1 . c o m设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)故cosn，sinn， ，tann，.答案9已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为_解析如图，建立空间直角坐标系设DA1，由已知条件得A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的二面角为，x kb 1由得令y1，得z3，x1，则n(1,1，3)，平面ABC的法向量为m(0,0，1)，coscosn，m，tan.答案三、解答题10.X k b 1 . c o m如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SDADa，点E是SD上的点，且DEa(01)(1)求证：对任意的(0,1，都有ACBE；(2)若二面角CAED的大小为60，求的值解(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，a)，(a，a,0)，(a，a，a)，0对任意(0,1都成立，即对任意的(0,1，都有ACBE.(2)显然n(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，设平面ACE的法向量为m(x，y，z)，(a，a,0)，(a,0，a)，即令z1，则xy，m(，1)二面角CAED的大小为60，cosn，m，(0,1，.11.(2014北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长解(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1.所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin|cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面ABF的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得.所以点H的坐标为.所以PH 2.来源:学|科|网Z|X|X|KB级能力提高组1.(2014江西卷)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.(1)求证：ABPD；(2)若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值解(1)证明：ABCD为矩形，故ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG，BCPG，在RtBPC中，PG，GC，BG，设ABm，则OP ，故四棱锥PABCD的体积为Vm .因为m ，故当m，即AB时，四棱锥PABCD的体积最大此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O(0,0,0)，B，C，D，P.故，(0，0)，.设平面BPC的法向量n1(x，y,1)，则由n1，n1，得解得x1，y0，n1(1,0,1)同理可求出平面DPC的法向量n2，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为cos.2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长解(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0z01)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)由n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD