量子力学复习提纲.doc

量子力学复习提纲一、简答题1、什么是黑体？答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。2、简述光的波粒二象性。答：吸收、发射以微粒形式，传播c 。描述波动性的力学量与描述粒子的力学量之间的联系为，。3、试简述Bohr的量子理论。答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处于稳定状态，简称定态。 （2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射频率满足： 。（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是的整数倍。4、简述德布罗意假设。答：具有能量E和动量的自由粒子与一个频率为、波长为的平面波相联系。，。5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短? 答：由基本假设，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。6、波函数模的平方的物理意义是什么？答：表示在时刻点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。8、简述态叠加原理。答：若是体系的可能状态，则也是体系的可能状态。这一结论称为态叠加原理。9何谓定态？答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数描写。10、简述定态的特性。答：定态的特性有：能量具有确定值。几率密度及几率流密度不随t变化。任何力学量（不含t）的平均值不随t 变化。任何力学量（不含t）取各种可能测量值的几率分布不随t变化。11、简要解释一维线性谐振子的零点能。 答：一维线性谐振子的零点能为，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。12、一维定态解包括几个量子数？量子数数目取决于什么？答：一维定态解只是有一个能量量子数。一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完全集中所包含的力学量数目。13、量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？答：量子力学的定态解在量子数时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。14、什么是束缚态？它有何特性？答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。束缚态的能级是离散的。15、是否当入射粒子由低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？答：无论粒子由低势能区射向高势能区，或由高势能区射向低势能区，都会发生反射。16、何谓势垒贯穿？答：微观粒子在能量E小于势垒高度U0时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。17、为什么表示力学量的算符必须要求是线性厄米算符？答：表示力学量的算符必须是线性算符。这是由态叠加原理所要求的。真实力学量的任何测量值当然必须是实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表达。18、什么是算符的本征值方程、本征值和本征函数？ 答：含有算符的方程称为算符的本征值方程，而则称为算符的本征值，函数则称为属于本征值的本征函数。19、厄米算符有那些特性？答：厄米算符有如下性质：（1）厄米算符的本征值是实数；（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交；（4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。20、简述算符与力学量的关系。答：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于算符的本征态时，测量力学量的数值是确定的，恒等于；当体系处于波函数所描写的状态时，测量力学量所得的数值，必定是算符的本征值之一，测得的概率是。21、试述力学量完全集的概念。答：能够完全描述体系状态的、彼此相互对易的一组力学量称为力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组（）所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。22、试给出不确定关系（测不准关系）的数学表达式。答：若，则：，称为不确定关系（测不准关系）。23、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，如果力学量的本征函数为，相应本征值为。任意态矢可展开为态矢在表象的表示为展开系数组成的一列矩阵 其意义是：在态中，力学量取值的几率为，与坐标表象波函数的意义相类似。力学量用厄密矩阵表示 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。 用矩阵表示力学量，理由如下： （1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。设，则 简记为； （2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求； （3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。24、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值。 本征矢为单一元素列矩阵。 25、狄拉克符号中，引入了右矢，为什么又引入左矢，右矢和左矢能够相加吗？答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数和的内积，和的内积记为，是对应于的左矢，属于伴随空间的一个矢量。由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。26简述定态微扰论的基本思想。答：量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 时，若可以把不显函时间的分为大、小两部分 ，其中 ，即的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果。满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数（），将微扰写成 ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以的幂级数展开 与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、。27非简并定态微扰论的适用条件是什么？答：非简并定态微扰论的适用条件为，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔较大。28简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级情况可用非简并态微扰处理？答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。对于度简并能级如选择的个独立的已使对角化，即，此时，对应的零级近似波函数为，虽然能级是简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。29、研究微观粒子间的碰撞现象有什么意义？ 答：微观粒子（单一的及复合的）间的碰撞实验是量子物理中最重要的实验技术，是研究物质结构、深刻认识微观过程的重要手段。历史上，由于粒子散射实验，建立了原子的有核模型。电子与原子的碰撞实验（夫兰克-赫兹实验）证实了原子中定态能级的存在。原子核及基本粒子的许多重要性质都是经过各种碰撞实验得出的，并且碰撞实验也是产生基本粒子的主要方法。量子碰撞理论是量子物理中一个非常重要的分支。30、一维势垒贯穿中，是否存在散射截面的概念？ 答：一维势垒问题中，只有两个方向，所以，不存在散射截面的概念，与之相当的概念为反射系数。31自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。32量子力学中，角动量是如何定义的？答：量子力学中，角动量是按下式定义 =i任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量。此定义较之角动量的仿佛经典定义=更具普遍性。后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。33电子的本征态常被写为，；它们的含义是什么？答：的本征态是自旋波函数的特例。由于在的本征态中，本征值仅有与量子数对应，分别记为，；是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正交完备基矢，以此为基矢的表象为表象。任一自旋态在表象中可展开为。34泡利矩阵中，与为实矩阵，为纯虚矩阵。问：是否可经表象变换，使三个泡利矩阵都是实的；或者两个是虚的，另一个是实矩阵。答：因为与表象无关。而乘积结果中的出现使在任何表象中，三个泡利矩阵、 不可能都是实的，也不可能两个是纯虚数的另一个实矩阵。35何谓全同粒子？答：所有固有物理性质如质量、电荷、自旋、磁矩、均相同的粒子。 36微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变”。问：（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？（2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？答：（1）物理状态不变是指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变；（2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中交换两个粒子的包括自旋在内的全部坐标；（3）实质相同。所以，全同性原理往往也被称为不可区分（分辨）原理。37简述pauli原理。答：在Fermi子体系中，不允许有两个或两个以上的Fermi子处于同一量子态。二、证明题1、设质量为的粒子在势场中运动。(1)试证明粒子的能量平均值为，其中， (能量密度)。(2)证明能量守恒公式。其中 (能流密度)。证明：(1) 三维粒子的能量算符是:，由于，将此式代入前一式：最末一式按高斯定理化为面积分：，由波函数的标准条件可知，S考虑为无限远处的界面。结果证得。(2) （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度不随时间改变）所以 。2、 一维粒子波函数是定态薛定谔方程的一个解，对应的能量本征值为E，则也是定态薛定谔方程的一个解，对应的能量本征值也为E。证明：定态薛定谔方程为： 对方程两边取复共轭（E，V为实数），得： 说明也是方程的解，能量本征值还是E。3、 一维粒子波函数满足定态薛定谔方程，若、都是方程的解，则有。证明：按照假设 （1） （2），得：或，积分，得：常数 （与x无关）。4、证明在定态中，概率流密度与时间无关。证明：对于定态，可令 可见无关。5、证明算符是厄密算符。证明：，因为是厄密算符，所以是厄密算符。6、证明角动量算符是厄密算符。证明：对于同理： 所以，是厄密算符。7、试证明：厄米算符的本征值必为是实数。证明：设 （即体系处于算符的本征态）由，左端右端=若是厄米算符，则左=右， 证完8、试证明：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。证明：设分别是属于厄米算符本征值的两个本征函数则，且又是厄米算符，则 又厄米算符的本征值是实数 因此 代入得： 9、试证明：证明：=10、证明：在的本征态下。证明：假设是的本征态，相应的本征值是，。根据角动量的对易关系，可得：类似，利用，可以证明 。11、求证：，分别为角动量算符的本征值为的本征态。证明：因为，因此，可见，是的本征值为的本征态。同理可证明， ，。12、设力学量A不显含t，为体系的Hamilton量，证明：。证明：对于不显含t的力学量A，有： 上式两边再对t求导，则有：即：13、设力学量A不显含t，证明在束缚定态下：。证明：定态是能量本征态，满足。对于束缚态，是可以归一化的，即取有限值。而对于不显含t的力学量A，有：因此，14、设算符具有性质。求证：（1）本征值必为实数。（2）（3）的本征值为0或者1。证明：（1）因为，所以是一个厄米算符，它的本征值必为实数。（2）。（3）设的本征值为n，本征矢量为，则因为：所以，从而得到n2-n = 0,可见，的本征值为n = 0或n = 1。15、证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。证明：能量的二级修正，若为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中的任一项，故永为负值。16、证明：对于自旋为1/2的粒子，使的态是不存在的。证明：首先令在态中， 设，得； 再由 由于无法同时满足，所以，对于自旋为的粒子，使态是不存在的。17、证明：证明：由对易关系： 将式两边左乖得： 即： 又， 将式两边右乖得： 即： 又， +得： 18、证明：证明：由对易关系及反对易关系 ，得： 上式两边左乘，得： 三、计算题1、设质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，试求粒子的能量本征值和对应的本征函数。2、绕一固定轴转动的刚性转子的转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。3、设质量为的粒子在一维无限深势阱中运动，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，求：归一化常数A；粒子的位置平均值；粒子的能量平均值；粒子的动量平均值。4、一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。5、氢原子处在基态，求：(1) r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。6、设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。7、设粒子（能量）从左入射，碰到势阱。求阱壁处的反射系数。8、设粒子（能量）从左入射，碰到势阱。求阱壁处的反射系数。9、已知厄密算符，满