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近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，）中，下列那个是单位元（ ）.A. 0 B. 1 C. 1 D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（ ）.A . G只包含一个元g，乘法是ggg。G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（ ）.A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. 1是其生成元. D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（ ）。A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G中下列各个元素，的阶.2. 试求出三次对称群 的所有子群.3. 若是环的惟一左单位元，那么是的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程 2 设是正有理数乘群，是整数加群. 证明： 是群到的一个满同态，其中是整数，而.3 设是环的一个子环.证明: 如果与都有单位元，但不相等，则的单位元必为的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、 单项选择题(每题5分，共25分)1. A 2. D 3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分)1. 解：易知 c的阶无限， (3分)d的阶为2. （3分） 但是 （2分） 的阶有限，是2. （2分）2. 解：的以下六个子集 （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是的子集. （3分）3. 解： 是的单位元。事实上，任取 则因是的左单位元，故即 也是的左单位元。故有题设得 即 是的单位元.三、证明题(每小题15分共45分)1 证明： 设是的单位元，则显然满足所说的方程 （3分） 另外， 设且，则有 即 （5分）即只有满足方程 （2分）2. 证明： 显然是到的一个满射 （3分）又由于 当时有 （4分）且 （6分）故 是群到的一个同态满射。 （2分）3 证明： 分别用和表示与的单位元，且，于是不是的单位元。 （3分）因此，存在，使或 （5分）如果，则，且
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