导函数--极值与最值

精品文档导函数-极值与最值【变式演练1】已知函数在处有极值10，则等于（ ）A11或18 B11 C18 D17或18【答案】C【解析】试题分析：,或当时,在处不存在极值当时，；,符合题意所以故选C考点：函数的单调性与极值【变式演练2】设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）A BC D【答案】B【解析】考点：函数的极值【变式演练3】函数在上无极值，则_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，由得或，又因为函数在上无极值，而，所以只有，时，在上单调，才合题意，故答案为.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练4】已知等比数列的前项和为，则的极大值为（ ）A2 B C3 D【答案】B【解析】考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值【变式演练5】设函数有两个不同的极值点，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：因为,故得不等式,即,由于,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为. 考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法. 【变式演练6】已知函数的极大值点和极小值点都在区间内, 则实数的取值范围是 【答案】【解析】考点：导数与极值类型二 求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 求出函数在开区间内所有极值点；第二步 计算函数在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2 若函数，在点处的斜率为（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由解之即可；（2）为递增函数且,所以在区间上存在使，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，求之即可.试题解析： （1），即，解得；实数的值为1； （2）为递增函数，存在，使得，所以， 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.【变式演练7】已知.（1）求函数最值；（2）若，求证：.【答案】（1） 取最大值，无最小值；（2）详见解析.【解析】试题解析：（1）对求导可得，令得x=0.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，当x=0时，取最大值，无最小值.（2）不妨设，由（1）得当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，若，则，考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明.【变式演练7】已知函数，.（）求函数在上的最小值；（）若函数有两个不同的极值点且，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由，得极值点为，分情况讨论及时，函数的最小值；（）当函数有两个不同的极值点，即有两个不同的实根，问题等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由单调性结合函数图象可知当时，存在，且的值随着的增大而增大，而当时，由题意，代入上述方程可得，此时实数的取值范围为.试题解析：（）由，可得，时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值为，当时，在上单调递增，；两式相减可得代入上述方程可得，此时，所以，实数的取值范围为；考点：导数的应用【变式演练8】设函数.（1）已知函数,求的极值；（2）已知函数,若存在实数,使得当时,函数的最大值为,求实数的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】 随的变化如下表:当时,函数取得极大值;当时,函数取得极小值.当, 即时, 函数在和上单调递增, 在上单调递减, 要存在实数,使得当时, 函数的最大值为,则,代入化简得. 令,因恒成立, 故恒有时, 式恒成立; 综上，实数的取值范围是.考点：函数导数与不等式【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案】试题解析;（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为（）不妨设,由（）知,在上单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时,而,故当时,从而,故考点：导数及其应用2. 【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解. （1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3. 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数.设.（1）求方程的根;（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。【答案】（1）0 4（2）1【解析】试题解析：（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.4. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设函数,，其中(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f (x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到5. 【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为（）求；（）求；（）证明【答案】（）；（）；（）见解析【解析】试题解析：（）（）当时，因此， 4分当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解6. 【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q= （I）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）【解析】试题分析：（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值（ii）当时，当时，所以，考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式【思路点睛】（I）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（ii）根据的取值范围求出的最大值，进而可得7. 【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解. （II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为考点： 函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念8.【2016年高考四川理数】（本小题满分14分）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【答案】（）当时，0， 单调递增；（）.【解析】试题解析：（I） 0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，0，单调递增. （II）令=，=.则=.而当时，0，所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.考点：导数的计算、利用导