基于分数阶模型的重力坝动力可靠研究.doc

基于分数阶模型的重力坝动力可靠性研究冯宇迪 周星德 杨博 李亚丽( 河海大学 土木与交通学院，江苏 南京 210098)摘要：针对拟静力法存在的缺陷，本文提出了一种基于分数阶模型的重力坝动力可靠性计算方法。首先，为了反映动力时程可靠性，相对位移转角被用来作为功能函数；其次，考虑混凝土存在老化现象，引入了分数阶模型。为了求解分数阶模型，采用了Outaloup滤波器和状态方程模式。再次，推导了动力可靠性计算公式。最后，采用Matlab进行了编程，并与拟静力法计算结果进行了对比分析。关键词：重力坝；动力可靠度；分数阶；Outaloup滤波器 中图分类号：TU753.8 文献标识码：ADynamic Reliability analysis of Gravity dams with A Fractional Order ModelFeng Yudi Zhou Xingde Yang Bo Li Yali(College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, PR China)Abstract: Aiming at the flaws of pseudo-static method, a method of calculating dynamic reliability of gravity dam based on a fractional order model was developed. First, relative displacement angle was used as functional function to reflect dynamic time-history reliability. Second, a fractional order model was put forward in consideration of concrete aging phenomena and solved by Outaloup filter and limit state function. Moreover, correlative formula was deduced and Matlab was used to figure up the reliability. At last, the superiority of the proposed method was demonstrated by comparing the results calculated by the proposed method and pseudo-static method Keyword: gravity dams, dynamic reliability, fractional order近年来，我国西部地区建设了许多大坝，由于处于高地震区，且坝体存在几何、材料及荷载等不确定性1，这就需要对其进行可靠性分析。已经出现了Monte Carlo法2、一次二阶矩法3、基于copula样本抽样法4、基于广义坐标系5的可靠度算法等。为了更加接近实际，科研工作者已经开始研究土体正交各相异性产生的空间效应6、短期稳定时的动力可靠性7、滑动面等可靠性8、基于非线性剪切标准的可靠度评估9等。目前有关动力可靠度计算，出于安全考虑，通常取峰值加速度，采用拟静力法计算，对于关键的阻尼项没有涉及，不能准确反映坝体实际的可靠性，为此，本文以重力坝为对象，研究其动力可靠度。首先，为了反映动力时程可靠性，功能函数采用了文献10提出的相对位移转角；其次，考虑混凝土存在老化现象11，引入了分数阶模型，分数阶求解采用了Outaloup滤波器和状态方程模式；再次，采用Monte-Carlo法计算时程响应，通过K-S法检验了可靠性指标中位移分布模式，进而推导了可靠性计算公式。最后，采用Matlab进行了编程，并与拟静力法计算结果进行了对比分析。1 含分数阶的振动方程对于堆石坝，假设系统阻尼为比例阻尼，其分数阶振动模型可以表示为 (1)式中：、和分别为质量、阻尼和刚度矩阵，均为n阶矩阵，为外激励力，在地震作用下，为n阶单位矩阵，为地震波的加速度，为分数阶，为n阶位移矢量。为了求解含分数阶系统，采用模态变换，设前r阶正则模态为，令 (2)把式(2)代入到式(1)并左乘的转置，得 (3)式中：，分别为系统的阻尼比和圆频率。式(3)包含r个单自由度系统，可具体表示为 (4)对于初始处于静止状态，式(4)Laplace变换为， (5)对于式(5)中的分数阶可采用Oustalop滤波器近似，假设拟合频率段为，则可构造如下滤波器的传递函数，为 (6)式中：N为整数，2N1为滤波器的阶次，把其代入式(5)，则 (7)式中：为正整数。把式(7)转换为状态方程 (8)式中：和均为维列矢量，为维行矢量，为维矩阵。把式(8)组装为整体状态方程，为 (9)式中：， ，。2 可靠性计算公式图1 重力坝计算模型重力坝计算模型见图1，借鉴于文献10的定义，本文取功能函数为 (10) (11) (12)式中：为对应于图1各点的水平位移时程值，、分别为图1中节点1、2，节点3、4和节点4、5之间的竖向高度、相对转角允许值，分别为1/1200、1/400、1/750。为了便于其他读者使用，笔者采用Monte-Carlo法计算了结构响应，通过K-S法（显著水平为0.05）检验了图1中节点1至节点5水平位移响应的分布规律。利用JC法，其可靠性可按下列公式进行迭代计算，直到前后两次所得值的差的绝对值很小。式(10)-(12)可以统一记为 (13)式中含有两个随机变量、。对随机变量，若为非正态分布，可将其进行等效处理。首先假定一个值，选取均值作为验算点初值，即，对于其标准差和均值为 (14) (15)式中分别为随机变量的累计概率分布函数和概率密度函数，、分别为等效正态分布的累计概率分布函数和概率密度函数。 新的设计验算点计算公式为 (16)式中，为灵敏系数，按下式计算 (17)将代入得： ， 将新的设计验算点代入式(14)-(17)，重复上述步骤，直到前后两次差值在容许范围内。 把最终的设计验算点值代入式(14)-(15)，得到和，并代入展开整理后得 (18)则的计算公式为 (19)3 实例分析某重力坝计算模型见图1，图中单位为米，坝高100m，顶宽10m，节点3、4之间距离5m，坡度1:0.6，上游水位98m，水荷载采用附加质量进行处理，坝体混凝土：弹性模量服从正态分布，均值和变异系数分别为30GPa和0.1，密度为2500，泊松比为0.167；基岩：弹性模量服从正态分布，均值和变异系数分别为15GPa和0.1，密度为2700，泊松比为0.22；阻尼比为0.05；，地震波采用Elcentro(NS)波，加速度峰值为0.2g。按本文方法，首先采用Monte-Carlo法，经过100000次抽样，K-S检验法显著水平为0.05，可得节点1、3、4位移服从正态分布，节点2、5位移服从对数正态分布。拟静力法与本文动力方法可靠度计算结果见表1，为节省篇幅，仅绘制了功能函数时的时程可靠度（见图2，图中可靠度大于10 的均以10代替），从表1可见，实际动力可靠度比拟静力法所得结果要大。 功能函数拟静力法3.033.053.12本文方法3.523.573.63 表1 可靠度计算结果 图2 重力坝动力可靠度时程 4 结论采用拟静力法计算的可靠性不能准确反映坝体的动力可靠性，本文提出的基于动力响应的可靠性分析方法可以反映实际坝体可靠性。此外，分数阶模型的引入可以反映混凝土老化，所给出的水平位移分布模式使得一次二阶矩法使用便利。从结果来看，采用动力时程计算的可靠性要大于拟静力法所得结果。参考文献：1. 杨培章,陈建康,吴震宇等. 堆石坝坝坡稳定可靠度分析J. 华北水利水电学院学报，2008，29（6）：68-712. Mohsen R, Mahdi Z. Combining Monte Carlo and finite difference methods for effective simulation of dam behaviorJ. Advances in Engineering Software, 2012, 45:1972023. Liang RY, Nusier OK, Malkawi AH. A reliability based approach for evaluating the slope stability of embankment damsJ. Engineering Geology,1999, 54:2712854. Wu XZ. Probabilistic slope stability analysis by a copula-based sampling methodJ. Comput Geosci, 2013, 17:7397555. Wu ZY, Chen JK, Li YL. An algorithm in generalized coordinate system and its application to reliability analysis of seismic slope stability of high rockfill damsJ. Engineering Geology,2015, 188: 88966. Heidy SL, Carlo GL. Effects of spatial variability of soil properties on the seismic response of an embankment damJ. Soil Dynamics and Earthquake Engineering ,2014, :1131287. Azm SA, Wisam WT. Seismic reliability analysis of earth slopes under short term stability conditionsJ. Geotechnical and Geological Engineering, 2002, 20:201-2338. 孙建生，侯爱民. 基于分项系数的三滑裂面相等可靠余度重力坝深层抗滑稳定计算方法J. 水利学报2013,44(3):367-3729. Wu ZY, Li L, Chen JK, Zhang H. A reliability-based approach to evaluating the stability of high rockfill dams using a nonlinear shear strength criterionJ. Computers and Geotechnics, 2013, 51: 4