高中数学奥赛专题.doc

最权威的信息 最丰富的资源 最快捷的更新 最优质的服务 最真诚的交流 专题一 记忆能力与运算能力一 记忆能力记忆是系统化知识,形成方法,思想的先决条件,因而我们对记忆能力应引起足够的重视.下面来试试你的记忆能力:1求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2函数与其反函数之间的一个有用的结论：3原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调4判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？5.你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！6.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.7.你知道判断对数符号的快捷方法吗？8.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？9.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？10.在三角中，你知道1等于什么吗？（ 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用11.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）12.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是14.分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）15.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）16.利用重要不等式 以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和ab其中之一应是定值？17.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是18.等差数列中的重要性质：若，则； 等比数列中的重要性质：若，则19.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论（时，；时，）20.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是2a.21.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）22.用求数列的通项公式时，你注意到了吗？23.你还记得裂项求和吗？（如 .）24.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合25.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法26.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.27.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）28.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）29.你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见30.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）31.定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）32. 对不重合的两条直线，有； 33.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.34.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷35.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.36.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.37.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？38.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p,的意义吗？39.在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？40离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？41.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.42.椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a，b，c）43.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.44.只要的求导公式有哪些? (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12).45.解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)46.解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系47.解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提48.解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量,想方设法摆脱参变量的困绕这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法二 运算能力 每年高考都说要控制运算量,但结果是每年都控制不了.理由很简单:有数学,就有运算.不厌其繁的运算,可以培养我们的耐性,和坚忍不拔的性格.问题1任一分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,你相信吗?试几个看看.(1)= ;(2)= ;(3)请你自己写一个试试: .问题2已知三角形的三个顶点分别是,求角平分线AM所在直线的方程.问题3(如图)已知正四棱锥的各条棱长均为1,E,F分别为VB,VC的中点.(I)求平面PAB与平面PBC所成的角的大小;(II)求点A到平面PBC的距离;(III)求直线AE与平面PBC所成的角的大小;(IV)求异面直线AE与BF所成的角的大小;问题4某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)问题5设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2y2=1相交于C、D两点,C、D三等分线段AB. 求直线的方程.问题解答:问题1(略).问题2 解(一):可得,设直线AM的斜率为,则,即,得,有,解得,(舍去)得角平分线AM的方程为:即.解(二):,它的单位向量,它的单位向量则AM与(+,)同向得,(下同解一).问题3解:(I)(如图)以正方形ABCD的中心为原点,建立空间直角坐标系,则得,设平面PBC的法向量为,则,有,得,有,则得,同理得平面PBC的法向量,则,而平面PAB与平面PBC所成的角为钝角,所以它的大小为.(II)由,设与所成的角为,则则点A到平面PBC的距离.(III)可得E,有,设与所成的角为,则,得AE与平面PBC所成的角为.(IV)可得F,得,设与所成的角为,则得AE与BF所成的角为.问题4 解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.问题5解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：依题意有，由若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故由故l的方程为(ii)当b=0时，由(1)得由故l的方程为再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，综上所述，故l的方程为、和专题二 集合 函数 不等式 导数一 能力培养 1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想;4,运算能力; 5,转化能力.二 问题探讨问题1 已知,分别就下面条件求的取值范围: (I);(II).问题2求函数的单调区间,并给予证明.问题3已知. (I)若在定义域R内单调递增,求的取值范围; (II)若在上单调递减,在上单调递增,求的值; (III)设在(II)的条件下,求证的图象恒在图象的下方.问题4设. (I)试判断的单调性; (II)若的反函数为,证明只有一个解; (III)解关于的不等式.三 习题探讨选择题1已知函数,则的单调减区间是A, B, C, D,2已知集合M=,N=,下列法则不能构成M到N的映射的是A, B, C, D,3已知函数，奇函数在处有定义，且时,，则方程的解的个数有A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数在上的图象如右图,则在上,=A, B, C, D,5设函数,已知,则的取值范围为A, B, C, D,6对于函数,有下列命题:是增函数,无极值;是减函数,无极值;的增区间是,的减区间是(0,2);是极大值,是极小值.其中正确的命题有 A,一个 B,二个 C,三个 D,四个填空题7函数的定义域是 .8已知,则 .9函数单调递增区间是 .10若不等式对满足的恒成立,则实数的取值范围是 .11在点M(1,0)处的切线方程是 .解答题12函数的定义域为集合A,函数的定义域 集合B,当时,求实数的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线与线段AB有两个不同的 交点,求的取值范围.14已知定义在R上的函数,满足:,且时, . (I)求证:是奇函数; (II)求在上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越强),表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下公式: (I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些? (III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数,其中,为自然对数的底数.(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间0,1上的最大值.四 参考答案:问题1:,.由有 得 与,矛盾!故当时,的取值范围是;(II)解:,由必有,得或得 (舍去)或得故当时, 的取值范围是.温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.问题2:解:(1)当时, 令,得它的定义域是, 得的单调增区间是, 它分别在,上为增函数. 的单调减区间是.(2)当时,的定义域是, (3)当时,的定义域是, 令,得或 得的单调增区间是.温馨提示:对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法, ()为增(减)函数,反之不行; 以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.问题3:解:(I),得. 在R上单调递增,恒成立,即,恒成立又时,得.(II),而在上单调递减,得在上恒成立,有, 又当时, ,得 又在上单调递增,得在上恒成立,有, 又当时,得 由,知.(III)由(II)可知是的最小值,有,而,故,即的图象恒在图象的下方.温馨提示:恒成立时,转化为进行考虑,合情合理.问题4:(I)解:的定义域是,得 所以在上是减函数.(II)证明:假设存在且,使,则有 ,于是得,与矛盾!所以只有一个实根.(III)解:由(II)得,即,又=而在上是减函数,得,有或.即的解集是.温馨提示:为增(减)函数(),反之不行.习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.1,有,2,我们由映射的概念:每一个,有唯一的由,得 一个与它对应.知,A,B,D.都满足.函数为上的增函数, 而在C中,M中的1与对应,求的单调减区间, 但,在N中找不到了.选C.即求的单调减区间,于是选C.3,设,则,得=,有,(1)当时,由,得,解得,.(2)当时,由,得,无解.(3)当时,由,得,无解.选B.4,由,知只有C正确.5,当与时,均合题意,而时,不合题意,选B.6,正确.选B.7,令,得,得.8,令,有,得,0,2.9,令,得.而它在上递增,在上递减, 而当时,;当时,;当时,.于是得递增区间是.10,设,由题意,当时,的图象总在的图象的下方.当时,显然不合题意;当时,必有,得,又,于是. 11, =,得,有x+2y-1=0.12,解:,而,又由题意知,且,解得,故的取值范围是.温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?13,解:过A,B两点的直线方程为,令,则这方程有两相异实根,且.设,则问题等价于,解得.所以的取值范围是.14,解:(I)由,令,得,又令,有,得,于是,.所以是奇函数.(II)又时,设,则=而,得,有,即得在R上是减函数,于是它在上有最大值,最小值而,=6.所以在R上有最大值6,最小值.15,解:(I)当时,得递增, 最大值为59.当时,递减,因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟.(II),因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.16,解:(I).当时,令,得.若,则,从而在上单调递增;若,则,从而在上单调递减;当时,令,得=0,有.若或,则,从而在,上单调递减;若,则,从而在上单调递增;(II)当时,在区间上的最大值是;当时,在区间上的最大值是;当时,在区间上的最大值是.专题二 集合 函数 不等式 导数一 能力培养 1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想;4,运算能力; 5,转化能力.二 问题探讨问题1 已知,分别就下面条件求的取值范围: (I);(II).问题2求函数的单调区间,并给予证明.问题3已知. (I)若在定义域R内单调递增,求的取值范围; (II)若在上单调递减,在上单调递增,求的值; (III)设在(II)的条件下,求证的图象恒在图象的下方.问题4设. (I)试判断的单调性; (II)若的反函数为,证明只有一个解; (III)解关于的不等式.三 习题探讨选择题1已知函数,则的单调减区间是A, B, C, D,2已知集合M=,N=,下列法则不能构成M到N的映射的是A, B, C, D,3已知函数，奇函数在处有定义，且时,，则方程的解的个数有A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数在上的图象如右图,则在上,=A, B, C, D,5设函数,已知,则的取值范围为A, B, C, D,6对于函数,有下列命题:是增函数,无极值;是减函数,无极值;的增区间是,的减区间是(0,2);是极大值,是极小值.其中正确的命题有 A,一个 B,二个 C,三个 D,四个填空题7函数的定义域是 .8已知,则 .9函数单调递增区间是 .10若不等式对满足的恒成立,则实数的取值范围是 .11在点M(1,0)处的切线方程是 .解答题12函数的定义域为集合A,函数的定义域 集合B,当时,求实数的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线与线段AB有两个不同的 交点,求的取值范围.14已知定义在R上的函数,满足:,且时, . (I)求证:是奇函数; (II)求在上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越强),表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下公式: (I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些? (III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数,其中,为自然对数的底数.(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间0,1上的最大值.四 参考答案:问题1:,.由有 得 与,矛盾!故当时,的取值范围是;(II)解:,由必有,得或得 (舍去)或得故当时, 的取值范围是.温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.问题2:解:(1)当时, 令,得它的定义域是, 得的单调增区间是, 它分别在,上为增函数. 的单调减区间是.(2)当时,的定义域是, (3)当时,的定义域是, 令,得或 得的单调增区间是.温馨提示:对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法, ()为增(减)函数,反之不行; 以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.问题3:解:(I),得. 在R上单调递增,恒成立,即,恒成立又时,得.(II),而在上单调递减,得在上恒成立,有, 又当时, ,得 又在上单调递增,得在上恒成立,有, 又当时,得 由,知.(III)由(II)可知是的最小值,有,而,故,即的图象恒在图象的下方.温馨提示:恒成立时,转化为进行考虑,合情合理.问题4:(I)解:的定义域是,得 所以在上是减函数.(II)证明:假设存在且,使,则有 ,于是得,与矛盾!所以只有一个实根.(III)解:由(II)得,即,又=而在上是减函数,得,有或.即的解集是.温馨提示:为增(减)函数(),反之不行.习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.1,有,2,我们由映射的概念:每一个,有唯一的由,得 一个与它对应.知,A,B,D.都满足.函数为上的增函数, 而在C中,M中的1与对应,求的单调减区间, 但,在N中找不到了.选C.即求的单调减区间,于是选C.3,设,则,得=,有,(1)当时,由,得,解得,.(2)当时,由,得,无解.(3)当时,由,得,无解.选B.4,由,知只有C正确.5,当与时,均合题意,而时,不合题意,选B.6,正确.选B.7,令,得,得.8,令,有,得,0,2.9,令,得.而它在上递增,在上递减, 而当时,;当时,;当时,.于是得递增区间是.10,设,由题意,当时,的图象总在的图象的下方.当时,显然不合题意;当时,必有,得,又,于是. 11, =,得,有x+2y-1=0.12,解:,而,又由题意知,且,解得,故的取值范围是.温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?13,解:过A,B两点的直线方程为,令,则这方程有两相异实根,且.设,则问题等价于,解得.所以的取值范围是.14,解:(I)由,令,得,又令,有,得,于是,.所以是奇函数.(II)又时,设,则=而,得,有,即得在R上是减函数,于是它在上有最大值,最小值而,=6.所以在R上有最大值6,最小值.15,解:(I)当时,得递增, 最大值为59.当时,递减,因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟.(II),因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.16,解:(I).当时,令,得.若,则,从而在上单调递增;若,则,从而在上单调递减;当时,令,得=0,有.若或,则,从而在,上单调递减;若,则,从而在上单调递增;(II)当时,在区间上的最大值是;当时,在区间上的最大值是;当时,在区间上的最大值是.专题四 三角 平面向量 复数一 能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力二 问题探讨问题1设向量,求证:.问题2设,其中向量,(I)若且,求; (II)若函数的图象按向量平移后得到函数的图象,求实数的值.问题3(1)当,函数的最大值是 ,最小值是 . (2)函数的最大值是 . (3)当函数取得最小值时,的集合是 . (4)函数的值域是 .问题4已知中,分别是角的对边,且,=,求角A.三 习题探讨选择题1在复平面内,复数对应的向量为,复数对应的向量为,那么向量对应的复数是A,1 B, C, D,2已知是第二象限角,其终边上一点P(),且,则=A, B, C, D,3函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是A, B, C, D,4已知向量,向量,向量,则向量与向量的夹角的取值范围是A, B, C, D,5已知,且与的夹角为钝角,则的取值范围是A, B, C, D,6若是三角形的最小内角,则函数的值域是A, B, C, D,填空题7已知,则= .8复数,则在复平面内的对应点位于第 象限.9若,则= .10与向量和的夹角相等,且长度为的向量 .11在复数集C内,方程的解为 .解答题12若,求函数的最小值,并求相应的的值.13设函数,若当时,恒成立,求实数的取值范围.14设,且,复数满足,求的最大值与最小值勤.15已知向量,且(I)求及; (II)求函数的最小值.16设平面向量,.若存在实数和角,使向量,且.(I)求函数的关系式; (II)令,求函数的极值.参考答案:问题1证明:由,且得= 在中以代换得=.即.温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.问题2解:(I)可得由=1,得又,得,有=,解得.(II)函数的图象按向量平移后得到函数,即的图象.也就是=的图象.而,有,.问题3解:(1)而,有,当,即时,;当,即时,.(2),令,则,有,得令,有,当时,为增函数;当时,为减函数.=,而,于是的最大值是.(3) 当,即时,.(4)可得,有得,有,得,又,于是有的值域是.问题4解:由已知得,即,又得,.又得由余弦定理.得,.由正弦定理得,有.又,得为最大角.又,有,于是.所以得.习题:1得,选D.2 ,又,得或(舍去),有,选A.3它的对称轴为:,即,有,选A.4(数形结合)由,知点A在以(2,2)为圆心,为半径的圆周上(如图),过原点O作圆C的切线,为切点,由,知,有,过点O作另一切线,为切点,则,选D.5由,设与的夹角为,则,有,即,得,有,选A.6由,令而,得.又,得,得,有,选D.7显然且,有,当时,有,于是,得,则得到,当时,同理可得.8 ,它对应的点位于第一象限.9由,得,有,即.则,原式=.10设,则,.设与,的夹角分别为,则,由,得=;由=,得.由,得, ,于是或11设,代入原方程整理得有,解得或,所以或.12解: 令,得由,得,有,.于是当,即,得时,.13解:由,知是奇函数,而得在R上为增函数,则有,令有,恒成立.将转化为:,(1)当时,;(2)当时,由函数在上递减,知当时,于是得.综(1),(2)所述,知.14解:设,由得,得由,得,从而,设在复平面上的对应点分别为,由条件知W为复平面单位圆上的点,的几何意义为单位圆上的点W到点Z的距离,所以的最小值为;最大值为.15解(I),得().(II)当且仅当时,.16解:(I)由,得=,即,得.(II)由,得求导得,令,得,当,为增函数;当时,为减函数;当时,为增函数.所以当,即时,有极大值;当,即时,有极小值.专题五 直线 圆锥曲线 平面向量一 能力培养1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力二 问题探讨问题1设坐标原点为O,抛物线与过焦点的直线交于A,B两点,求的值.问题2已知直线L与椭圆交于P,Q不同两点,记OP,OQ的斜率分别为,如果,求PQ连线的中点M的轨迹方程.问题3给定抛物线C:,F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A,B两点.(I)设的斜率为1,求与夹角的大小;(II)设,若,求在轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的曲线C的方程:是椭圆或双曲线; 原点O和直线分别为焦点及相应准线;被直线垂直平分的弦AB的长为.三 习题探选择题1已知椭圆的离心率,则实数的值为A,3 B,3或 C, D,或2一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线3已知双曲线的顶点为与(2,5),它的一条渐近线与直线平行,则双曲线的准线方程是A, B, C, D,4抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是A,(0,0) B, C, D,5已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线填空题6椭圆上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为,则此椭圆的方程为 .7与方程的图形关于对称的图形的方程是 .8设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 .9设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .解答题10已知点H,点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,.(I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;(II)过点T作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E,使得是等边三角形,求的值.11已知双曲线C:,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足成等比数列,过点F作双曲线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P.(I)求证:; (II)设,直线与双曲线C的左,右两分支分别相交于点D,E,求的值.12已知双曲线的两个焦点分别为,其中又是抛物线的焦点,点A, B在双曲线上.(I)求点的轨迹方程; (II)是否存在直线与点的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由.四 参考答案问题1解:(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则,得.(2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为:由,消去,整理得,显然.设,则,得=+=+ = =.综(1),(2)所述,有.ypQo问题2解:设点P,Q,M的坐标分别为,x由条件知 , +得即,将,代入得,于是点M的轨迹方程为.问题3解:(I)C的焦点为F(1,0),直线的斜率为1,所以的方程为,把它代入,整理得设A,B则有.+1=.,所以与夹角的大小为.(II)由题设得,即.得,又,有,可解得,由题意知,得B或,又F(1,0),得直线的方程为或,当时,在轴上的截距为或,由,可知在4,9上是递减的,于是,所以直线在轴上的截距为.问题4解:设M为曲线C上任一点,曲线C的离心率为,由条件,得,化简得: (i)设弦AB所在的直线方程为 (ii)(ii)代入(i)整理后得: (iii),可知不合题意,有,设弦AB的端点坐标为A,B,AB的中点P.则,是方程(iii)的两根.,又中点P在直线上,有+=0,解得,即AB的方程为,方程(iii)为,它的,得.,由,得即,得,将它代入(i)得.所求的曲线C的方程为双曲线方程:.1焦点在轴得;焦点在轴得,选B.2设圆心O(0,0),为动圆的圆心,则,选C.3知双曲线的中心为(2,2),由变形得,于是所求双曲线方程为,它的准线为,即,选A.4设直线与相切,联立整理得,由,得,这时得切点(,1),选B.5由知点M的轨迹是抛物线,选D.6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,所以所求的椭圆方程为.7设点P是所求曲线上任一点,它关于对称的点在上,有,即.8设点P,M,有,得,而,于是得点M的轨迹方程是.9由条件可得或,设P代入可知交点的轨迹是两个圆.10解:(I) 设点M,由,得P由,得所以.又点Q在轴的正半轴上,得.所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.(II)设直线:,其中,代入,整理得 设A,B,=,有AB的中点为,AB的垂直平分线方程为,令,有E由为正三角形,E到直线AB的距离为,知.由,解得,所以.11(I)证明:直线的方程为:由,得P,又成等差数列,得A(,0),有,于是,因此.(II)由,得,:由,消去,整理得 设D,E,由已知有,且,是方程的两个根.,解得或.又,得=,因此.12解:(I),设则,去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹方程为和()(II)直线:,:,D(1,4),椭圆Q:若过点或D,由,D两点既在直线上,又在椭圆Q上,但不在的轨迹上,知与的轨迹只有一个公共点,不合题意.若不过,D两点().则与必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与Q有且只有一个公共点,把代入椭圆的方程并整理得由,得.专题六 空间向量 简单几何体一 能力培养1,空间想象能力 2,数形结合思想 3,转化能力 4,运算能力二 问题探讨问题1(如图)在棱长为1的正方体ABCD中,ABCDABCD(1)求异面直线B与C所成的角的大小;(2)求异面直线B与C之间的距离;(3)求直线B与平面CD所成的角的大小;(4)求证:平面BD/平面C;(5)求证:直线A平面BD; (6)求证:平面AB平面BD;(7)求点到平面C的距离; (8)求二面角C的大小.ACBABC问题2已知斜三棱柱ABCD的侧面AC与底面垂直,且AC, A=C.(1)求侧棱A和底面ABC所成的角的大小;(2)求侧面AB和底面ABC所成二面角的大小;(3)求顶点C到侧面AB的距离.三 习题探讨选择题1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为A, B, C, D,2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33设二面角的大小是,P是二面角内的一点,P点到的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱的距离是A, B, C, D,ABCDEF4如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是A, B,C, D,5棱长为的正八面体的外接球的体积是A, B, C, D,填空题6若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面 的位置关系是 .7若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和平共处的两点,当时,线段AB的长为 .8如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件 时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)ABCDABCD图(1)ABENM图(2)CDF9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:AB与EF所连直线平行; AB与CD所在直线异面;MN与BF所在直线成;