西安交通大学网络教育学院《高等数学-学习指南》(专升本) (徐文雄).doc

高等数学学习指南一、解答下列各题（1）求。（2） 判断级数 的敛散性。（3） 求函数的全微分。（4）求曲线上的点，使在该点的切线平行于平面。（5）解方程。（6）计算二重积分,其中D是由两条抛物线,所围成的闭区域。（7）证明：不存在。（8）证明：级数发散。（9）设，求证：。（10）求曲线在点处的切线及法平面方程。（11）解方程。（12）计算二重积分,其中D是由两条抛物线,所围成的闭区域。（13）求 。（14）证明：级数 收敛。（15）求函数：的全微分。（16）求过点且与直线垂直的平面方程。（17）解微分方程。（18）计算二重积分，其中D：。二、设，其中为可导函数，验证：。三、计算对坐标的曲线积分,其中L是圆周 (按逆时针方向绕行)。四、计算曲面积分，其中是球面。五、利用高斯公式计算曲面积分，其中为球面的上半部分之上侧。六、设，试证明在整个平面内，该表达式是某个函数的全微分，并求出这样的一个。七、求微分方程的通解。八、设,求、。九、利用格林公式计算曲线积分,其中L是圆周上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。十、计算曲面积分,其中是长方体的整个表面的外侧,。十一、利用高斯公式计算曲面积分，其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧（如图）。十二、确定的值，使与路径无关，并求当A、B分别为(0,0),(1,2)时曲线积分的值。十三、求微分方程 的通解。十四、设，而且的二阶偏导数连续，求 ，。十五、利用格林公式计算曲线积分：，式中K依次经过以为顶点的三角形周线ABC。十六、计算曲面积分，设是长方体：，则计算。十七、利用高斯公式计算曲面积分，其中为球面的外表面。十八、计算，是由与所表示的圆的一周。十九、求微分方程的通解。参考答案：一、解答下列各题（1）解：原式极限 = 0（因为无穷小量乘以有限量）。（2）解：，n的指数3/2大于1，所以级数收敛。（3）解：直接对函数求微就可以得到：。（4）解：已知平面的法线向量为，因为，所以参数t对应的点处的切向量为。又因为切线与已知平面平行，所以，即，解得两个根。于是所求点的坐标为和。（5）解：原方程为：，对关于求微，得到；对关于求微，得到。两者相等，所以原式是全微分方程。对关于求积得到：；对关于求积得到：。结合以上两式得到：。即：或者（6）解：积分区域，于是：（7）证明：令随不同直线趋于。则它随k变化，故不存在极限。（8）证明：因为，趋于一个常数，所以级数发散。（9）解：对关于分别关于和求偏导数有：将其带入即可验证原式成立。（10）解：因为，在原方程中点对应将带入上面的方程，于是切线方程为：法平面方程为：即：（11）解：原方程可以变形为：，由上式可以看出这是齐次方程，令，则：于是原方程变为：分离变量，得到：即：对其积分得到：用替换回，最终得到：。（12）解：积分区域，于是：（13）解：原式=（14）证明：因为通项所以n前项和故，即原级数收敛。（15）解：；。于是，（16）解：易知直线的方向向量为（-1，3，1）。设与其垂直的平面方程是：。该平面又过（1，2，-1）点，所以，有：得到：所以，平面方程为：（17）解：原方程可化为一阶线性方程其通解为：即：（18）解：由区域D知道：，引入极坐标：，其中。所以，二、解：由原式可以得到：将以上代入方程即可验证。三、解：利用圆的参数方程设所以，原式等于四、解：原式等于五、解：记为平面记为与所围成的区域。六、解：令I必是某函数u的全微分。所以：七、解：易知原方程特征方程：因此原方程的通解为：八、解：按要求直接求导计算即可，先求一阶的，再求二阶的。九、解：令，由格林公式有：十、解：利用高斯公式，原式等于：曲面积分=。十一、解：利用高斯公式，原式等于：十二、解：令可以求到：，所以是全微分方程。原积分= 十三、解：令，则。将其代入，得到：。则，即再分离并积分：得到：，其中。十四、解：十五、解：AC：，BC：，CA：这里，故过顶点C引垂直于轴，把三角形域分为和两部分。所以根据格林公式十六、解：由题意，V是一个长方体