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平面几何专题讲座第三讲 三角形的五心一、基础知识 1、重心 设是的重心，的延长线交边于，则（1）；（2）；（3）. 2、外心 设是的外心，于交外接圆于和，其中和在的同一侧，则 （1）或； （2）分别为弧，弧的中点； （3） （4）（正弦定理） 3、内心 设是的内心，于，的延长线交外接圆于，则 （1） ；（2） ；（3） ；（4）；（5）定理、（欧拉公式）设的外接圆半径、内切圆半径分别为，其外心，内心分别为、.则.4、垂心 设是的垂心，于，则（1）；（2）；（3）；（4）点关于三边的对称点均在的外接圆上；（5）的外接圆是等圆定理2、（三角形的欧拉线）设分别是ABC的外心、重心和垂心则三点共线（欧拉线），且.5、旁心 设在内的旁切圆与的延长线切于,则（1）；(2)；（3）；（4）； （5），其中为旁切圆半径定理3、（圆幂定理）设为定圆所在平面一定点，过作一直线与相交于两点.（1）若在外，则；（2）若在内，则.二、典型问题选讲例1、若分别为中边的中线，为的重心.求证：若，则；反之，也成立.例2、已知切的三边于点，那么是（ ）（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）以上都有可能 例3、 设是的内一点，所在直线交的外接圆于，若，求证：是的内心.例4、已知分别是ABC的外心、重心和垂心，于求证：（1）；（2）三点共线（欧拉线），且. 例5、设的外接圆半径、内切圆半径分别为，其外心，内心分别为、.延长交于，求证：（1）；（2）（欧拉公式）.例6、锐角的外接圆为，于，于.分别为的中点，求证：.例7、设是的的平分线，分别是的外接圆的圆心.求证：.例8、在锐角中,为垂心,的外心分别为.求证：三线共点.例9、四边形内接于，对角线与相交于，设，和的外接圆圆心分别为.求证：三线共点.例10、在中，内切圆切于.（1）若，求证：；（2）若，求证：.例11、在不等边中，和分别是外心和内心.求证：.例12、四边形内接于，和的内心分别为.求证：是矩形.例13、在中，点是外心，两条高交于点，点分别在线段上，且满足，求的值.例14、在内取一点，使与分别是和的内心.求证：三条直线相交于一点.例15、已知依次是的外接圆的弧的中点，交于，交于.求证：例16、四边形内接于，对角线与相交于，设与的外接圆相交于和另一点.求证：.例17、在ABC中，O为外心，I为内心，ABAC，ABBC，D和E分别是边AC，BC上的点，且满足ADABBE。求证：IODE。例18、在给定的中，其内切圆与边切于，是的直径，的延长线交于，是的中点，直线交于.（1）求证：；（2）试求线段的长.例19、在中，外心为，内心为，于，且在线段上. 求证：的外接圆半径等于边
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