第八章二节.doc

8.2空间几何体的表面积与体积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧_V_圆锥S侧_V_r2圆台S侧_V(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧_V_正棱锥S侧_V_正棱台S侧_V(S上S下)h球S球面_V_2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_、_、_；它们的表面积等于_.难点正本疑点清源1.几何体的侧面积和全面积几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行.要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题.如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解.再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小.2.要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法割补法是割法与补法的总称.补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体.割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面.割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点.等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.1.表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_.2.一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a，则球的表面积为_.3.如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1A1B1，则多面体PBCC1B1的体积为_.4.(2011上海)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为_.5.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是 ()A.B.C.3 D.12题型一几何体的表面积例1一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是()A.372 B.360 C.292 D.280探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是_cm2.题型二几何体的体积例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.探究提高在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积. 如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示. 图(1)图(2)(1)求证：BE平面ADF；(2)求三棱锥FBCE的体积.题型三组合体的表面积与体积问题例3正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.探究提高解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.17.空间与平面的转化试题：(12分)如图，在直棱柱ABCABC中，底面是边长为3的等边三角形，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥CMNP的体积.审题视角(1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MNNP最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好.规范解答解(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为. 2分(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC. 8分(3)SPCNCPCN2.在三棱锥MPCN中，M到面PCN的距离，即h3.VCMNPVMCNPhSCNP. 12分批阅笔记(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形或平面图形的转化意识.方法与技巧1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.失误与防范1.将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.8.2空间几何体的表面积与体积(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.已知高为3的直棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥BABC的体积为()A.B.C. D.2.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()A.48(3) B.48(32)C.24() D.1443.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()A. B.C. D.二、填空题4.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_.5.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积为_.6.(2011天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.三、解答题7.已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积.8.如图所示，在边长为5的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.B组专项能力提升题组一、选择题1.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是 ()A. cm3B. cm3C. cm3 D. cm32.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()A. B.C. D.3.(2011辽宁)已知球的直径SC4，A、B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为 ()A.3 B.2C. D.1二、填空题4.(2011课标全国)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_.5.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_ cm.6.(2011福建)三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积为_.三、解答题7.如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示.图1图2(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积.8.如图所示，在体积为1的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ACAB，ACAA11，P为线段AB上的动点.(1)求证：CA1C1P；(2)线段AB上是否存在一点P，使四面体PAB1C1的体积为？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.答案要点梳理1.面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2r2h圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.(1)各面面积之和(2)矩形扇形扇环形侧面积与底面面积之和基础自测1.22.a23.4.35.D题型分类深度剖析例1B变式训练1412例2解方法一连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.平面B1D1D平面B1EDF，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.B1O1HB1DD1，O1Ha.VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.方法三VC1B1EDFV多面体A1B1ED1C1FDVEA1B1C1D1VEC1D1Da3.变式训练2(1)证明由图可知BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变.BCAD，BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.同理CE平面ADF.BCCEC，BC、CE平面BCE，平面BCE平面ADF.BE平面BCE，BE平面ADF，BE平面ADF.(2)解VFBCEVBCEF，由图(1)，可知BCCD，平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，又BCDC，BC平面DCEF.由图(1)可知，DCCE1，SCEFCEDC，VFBCEVBCEFBCSCEF.例3解(1)底面正三角形中心到一边的距离为2，则正棱锥侧面的斜高为.S侧329.S表S侧S底9(2)296.(2)设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS侧rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212，(32)r2，得r2.S内切球4(2)2(4016).V内切球(2)3(922).变式训练3解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为V2hh3，由VV，得hr.课时规范训练A组1.D2.A3.C4.5.26.47.解因为EBBFFD1D1Ea，所以四棱锥A1EBFD1的底面是菱形，连接EF，则EFBEFD1，由于三棱锥A1EFB与三棱锥A1EFD1等底同高，所以VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA12SEBA1aa3.8.解设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件，解得r，l4，Srlr210，h，Vr2h2.B组1.D2.A3.C4.85.136.7.(1)证明在图中，可得ACBC2