《高等数学1试题微积分》

1 高等数学高等数学 一 填空 ti 1 设 则 01 0 2 xx xx xf 02 0 2 xx xx xg xfg 2 已知 则 2 14 1lim cosln 1 0 x x x xf 3 0 lim x xf x 3 的间断点是 n n n x x xf 2 2 1 1 lim 4 设函数由方程确定 则 xyy xyxyxsin ln 32 0 x dx dy 5 设 则 ty tx cos 1 2 2 2 dx yd 6 曲线上的并与直线垂直的切线方程为 xyln 1 yx 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 1 已知在上连续且存在 则 xf ba limxf ax A 在上无界 B 在上无界 xf ba xf ba C 在上有界 D 在上有界 xf ba xf ba 2 设当时 是比高阶的无穷小 而是比0 x 1ln cos1 2 xx n xxsin n xxsin 高阶的无穷小 则正整数等于 1 2 x en A 1 B 2 C 3 D 4 3 设数列与满足 则下列正确的是 n x n y0lim nn n yx A 若发散 则必发散 B 若无界 则必有界 n x n y n x n y C 若有界 则必为无穷小 D 若为无穷小 则必为无穷小 n x n y 1 n x n y 4 设函数可导 当自变量在处取得增量时 相应的 uf 2 xfy x1 x1 0 x 函数增量的线性主部为 则值为 y 1 0 1 f 2 A B C D 1 1 015 0 5 函数不可导点的个数 2 32 xxxxxf A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 三 解答题 每小题 8 分 共 24 分 1 确定常数 a b 的值 使函数 在上连续 0 0 0 1 cos2 2 22 x x x x b a xx xf x x 2 设为单调可导函数 其反函数为 且已知 xf yg2 1 f 3 1 1 f 求 1 1 f 2 g 3 设 求 376ln 2 xxy 1 n n y 四 证明题 每小题 8 分 共 32 分 1 设 试证数列极限存在 并求此极限 10 1 x 2 1 6 1 nxx nn n x 2 设在处连续 且 证明 在处可导 xf1 x3 1 3 lim 1 x xxf x x xf1 x 并求 1 f 3 设在上连续 且 证明至少存在一点 使 xf 3 0 3 0 ff 2 0 1 ff 4 设函数 f x 在 上有定义 在区间 0 2 上 2 4 f xx x 若对任意的x都满足 2 f xk f x 其中k为常数 1 写出 f x 在 2 0 上的表达式 2 问k为何值时 f x 在 0 x 处可导 高等数学高等数学 答案答案 一 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 1 解 2 2 0 1 01 3 1 xx g f xxx x x 3 2 条件 0 ln 1 41 limln2 lncos x x f x x 00 2 ln4 41 limlimln2 1 cos1 2 x xx f x f xx x x 2 3 0 1 limln2 ln4ln2 2 x f x x 3 解 故间断点是 1 1 0 1 1 1 x f xx x 1x 4 解 当时 代入上式得 23 2 2 3cos xy x yx yx xy 0 x 1y 01 y 5 解 2 23 sincos 4 d yttt dxt 6 解 1yx 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 1 因存在 则对 有 而在在 lim xe f x xa a 2 M f x ab f x 连续故有界即 故选 C 2 M f x 2 故有 24 1 cosln 1 xxo x 1 sin nn xxo x 2 2 1 x eo x 412 2nn 3 选 D 1 limlim0 nnn nn n yx y x 4 所以 2 2dyfxxdx 1 0 1 120 10 1 xdx dyf 10 5 f 5 在处不可导 但在处一阶可导 可知在 0 xx 0 xx 00 xxxx 0 xx f x 0 1x 三 解答题 每小题 8 分 共 24 分 1 解 当时 是初等函数 故它在上连续 0 x 2 22 2cos x f xxx 0 2222 2 22 00 ln 2cos2cos1 limlim 22 00 00limlim 2cos xx xxxx x xx xx ff xxxeee 当时 也是初等函数 故在上也连续 0 x ln 11 1 x xb b f xe xx 0 4 从而为使在上连续必须且只需 ln 000 1ln 00limlim1limln xb xxx xb ff xeb xx f x 在处连续 即 f x0 x 0000lnffaeb 故当时 在上连续 e ae be f x 2 解 00 0 00 0 03 0000 0 11 1 limlim xxxx fxfxfxfxfx xx gg f xf xfx fxxxf xf x fx 令 故 00 1 2xy 3 2 33 11 23 11 3 f g f 3 解 因为 2 6733123xxxx 2 ln 673ln 31ln 23yxxxx 故 11 11 1111 1 3211 13 3123 32 11 11 311 211 312313 32 32 11 1 3123 nn nn n nnnn nn nnnn nn n nn y xx xx nnnn xx xx nn xx 11 11 1111 1 3211 13 3123 32 11 11 311 211 312313 32 32 11 1 3123 nn nn n nnnn nn nnnn nn n nn y xx xx nnnn xx xx nn xx 5 四 证明题 每小题 8 分 共 32 分 1 证明 由及 设对正整数有 则有 1 10 x 211 616xxx k 1kk xx 112 66 kkkk xxxx 由数学归纳法得 即为单调递减数列 1 1 nn xxn n x 显然 即有下界 所以存在 0 n x 1n n xlim n n x 令 对两边取极限 得lim n n xa 1 6 nn xx 66a 从而 因此 舍去 即 2 60aa 3a 2a lim3 n n x 2 证明 由 1 3 lim3 1 x x f xx x 1 lim30 x x f xx 即 1 1lim2 x ff x 又 111 ln 11 321 3limlimlim 111 11 limlim 11 x x xxx xx xx f xxf xx xxx f xfe xx 因为 所以在处可导 ln 111 111 lim3lim3lim4 111 xx xxx f xfx xe xxx f x1x 且 14 f 3 证明 令 显然在上连续 1F xf xf x F x 0 2 0120112230FFFffffff 若 取 则有 10F 1 1ff 若 由 则必有两个值相互 10F 0120FFF 0 1 2FFF 不同号 由零点定理 存在 使 即 证毕 0 2 0F 1ff 4 1 当2 0 x 即0 22x 时 6 2 f