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1-5多项式的因式分解定理引入课题初等数学中的因式分解,何为不能再分?多项式在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令的一个次数大于零的多项式，如果中只有平凡因式，就称f(x)为数域P上（或在Px中）的不可约多项式.（p(x)在数域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若除平凡因式外，在Px中还有其它因式，f(x)就说是在数域P上（或在Px中）是可约的.如果，都小于的次数.反之，若能写成两个这样多项式的乘积，那么有非平凡因式；如果Px的一个n次多项式能够分解成Px中两个次数都 小于n的多项式 即 那么在P上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式不可约，那么P中任意不为零的元素c与的乘积c都不可约.2.设是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者与P(x)互素，或者整除P(x).3.如果多项式与的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式的乘积,那么一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n时,令,如果命题成立,如果,从而,即 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.证明因式分解定理因式分解及唯一性定理：多项式环Px的每一个次多项式都可以唯一分解成Px的不可约多项式的乘积； 所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有标准分解式（典型分解式）：其中c是f(x)的首项系数，是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而正整数.例1：在有理数域上分解多项式， .例2：求 .例3.求 分解式. 例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 突出不同数域上不同多项式的因式分解的特点
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