极限、连续与导数讲义.doc

极限、连续与导数极限、连续与导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具也是高考中考察综合能力的一个方向学好这三个问题的关键就在于理解极限、连续与导数的概念只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关问题首先介绍1不定型极限的常见类型及求法在高考中所考查的函数极限常常表现为不定型处理这类极限的宗旨是“先变形(化简)，再求极限”我们通过下面几道题来总结一下求不定型极限的方法例1的值等于_思路启迪由于将x-1代入分母，可得分母极限为0，所以此题不能用直接入法根据观察，可以将分子分母分解因式，都可以分解出极限为0的x+1，约去公因式即可求极限了此方法称为约去零因子法练习：求约去零因子法是求型极限的基本方法，但在高考中，这类题目往往是选择填空题，不需要过程，另外，有些题目的零因子也不易分解出来，例如下面介绍求不定型极限的利器洛比达法则：回头再看例1洛比达法则不仅适用于可分解零因子的型极限，也适用于几乎所有的不定型极限如例2= _思路启迪因为，所以不能直接用求函数极限差的运算法则，可将函数通分变形后再求极限此方法称为通分法练习：求例3求(有理化法)思路启迪求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求当然本题利用洛比达法则更为简捷例4求(变量替换法)思路启迪分子，分母中分别有，直接求极限不好求，可以采用变量替换的方法，令t=本题也可利用洛比达法则洛比达法则也可用于型极限，这主要是数列极限练习1：(07上海春招)计算=_练习2：(四川成都二诊)已知=2，则实数m的值为_2极限、连续与导数的关系由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f(x)在点x0处的函数的增量f(x0+Dx)-f(x0)与相应的自变量的增量(x0+Dx)-x0= Dx(Dx0)的比值当自变量的增量Dx0时的极限值函数f(x)在点x0处有极限、连续、以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限反之则不一定成立例如y=在点x=0处有极限但不连续例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在函数f(x)在点x0处有极限的充要条件是左极限和右极限存在且相等即(A是常数)函数f(x)在点x0处连续的充要条件是极限等于函数值即函数f(x)在点x0处导数存在的充要条件是左导数和右导数存在且相等例5若函数f(x)=在x=2处连续，则a=_，b=_例6设f(x)=为了使函数f(x)于点x=x0处连续而且可导，应当如何选取系数a和b？这里f(x)是一个分段函数，点x0是f(x)的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系思路启迪由于x=x0是分段函数f(x)的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：(1) f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0)；(2) f(x0-0)=f(x0+0) 注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数判断分段点处的可导性()若函数在点x0不连续，则它在点x0不可导()若函数在点x0连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数当左、右导数存在并且相等时，则函数在点x0可导；当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点x0就不可导例7观察(xn)=nxn-1，(sinx)=cosx，(cosx)=-sinx，是否可判断：(1) 可导的奇函数的导函数是偶函数；(2) 可导的偶函数的导函数是奇函数利用导数的定义证明：(1) 若f(x)是奇函数，则f(x)=，f(-x)= f(x)可导的奇函数的导函数是偶函数可以仿此类似证明(2)这里用到一个性质：f(x)=也可利用复合函数的求导方法要证明一个函数是奇数，需证明xR，有f(-x)=-f(x)，而要证明一个函数是偶函数，需证明f(-x)=f(x)设f(x)为偶函数，则对xR有f(-x)=f(x)，两端求导即：-f(-x)=f(x)，即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行可以看出，反函数x=lny对y的导数，等于直接函数y=ex对于x的导数的倒数；反之亦然一般地，我们有(反函数求导法则)法则：若函数y=f(x)在点x处有导数f(x)，且f(x)0，则它的反函数x=f -1(y)=g(y)在相应点上也有导数，且f -1(y)= g(y)=3对不等式可否逐项求导？一般地说不行，如在区间(-，0)上有2xx2+1，但在此区间上不能对此不等式逐项求导，因为在(-，0)上，不等式22x是不成立的再如，对xR，有x2x2+1，而对xR，2x2x显然是错误的例8(06全国第20题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围4用导数的几何意义求切线应注意点的位置首先看一个例题：例9求曲线C1：y=x2与曲线C1：y=x3的公切线的斜率 解：对C1、C2分别求导得：y=2x，y=3x2 令2x=3x2，解得：x=0或x= 当x=0时，2x=3x2=0；当x=时，2x=3x2= 即所求公切线的斜率分别为0， 但当公切线的斜率为0时，切线方程为y=0，它穿过曲线y=x3，可是曲线的切线都是曲线的同一侧，因此0不是公切线的斜率 所以所求公切线斜率仅为 辨析：该解有两处错误其一斜率为0的切线是存在的虽然它穿过曲线y=x3，但从切线定义看，该切线可以看作曲线y=x3上在原点O附近有一点P，点P沿着该曲线无限趋近于原点O时与点O相连的一条割线，该割线斜率的极限为0，所以y=0的直线是它们的公切线；其二，当x=时，2x=3x2=，此时C1的切线方程是，而C2的切线方程是显然两者不是同一条直线，也就谈不上是公切线斜率了产生该错误的原因是在开始对两曲线求导并令其相等时，实际已经默认了公切线与两曲线切于同一点，事实上本例通过解2x=3x2方程解得x=0时，y=0的直线与两曲线是相切于同一点(0，0)，而当x=时，在曲线C1上切点为(，)，在曲线C2上切点却为(，)，这两点显然不是同一点正确的思路应该是先在两曲线上分别取一点，使这两点的导数相等并等于这两点连线的斜率，再通过解方程组得到正确结论 正解：在曲线C1、C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)分别求曲线在这两点的导数有y1=2x1，y2=3x22y1=y2=kAB， (1)当x1=x2时，2x1=3x22，解得：x1=x2=0，此时切线的斜率为0； (2)当x1x2且x1x20时，2x1=3x22=， 由2x1=3x22，得：x1=x22，代入3x22=，得：3x22=，x2=，x1= 此时公切线的斜率为2x1= 综上所述，曲线C1、C2有两条公切线，其斜率分别为0，此题引出的问题是：曲线的切线与曲线有且仅有一个交点吗？曲线的切线与曲线可以有多个交点，与曲线仅有一个交点的直线也不一定就是曲线的切线 导数即函数的变化率，本质上是一种特殊的极限，它不仅可直接反映许多实际问题中函数变化的快慢程度，而且可刻画曲线y=f(x)在点x0的切线的斜率f(x0)，从而曲线在(x0，f(x0)的切线方程为y- f(x0)=f(x0)(x-x0)(*) 注：(1)切线方程(*)中已知点(x0，f(x0)在曲线y=f(x)上，(2)式中的f(x0)为有限常数(包括0)，当f(x0)时，切线方程为x= x0 例8试根据以下条件，写出相应的切线方程： (1)求曲线y=2x-x3在点(1，1)的切线方程； (2)求过点(2，0)并与曲线y=2x-x3相切的直线方程 分析：本题重在揭示f(x)表示曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率特别应注意：该点在曲线y=f(x)上如果已知点不在曲线y=f(x)上，则处理起来要麻烦一些 解：(1) f(x)=2-3x2由于(1，1)点在y=2x-x3上，故f(1)=2-32=-1 所求切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y=2 (2)点(2，0)不在曲线y=2x-x3上，故不可直接利用切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)求解设切点坐标为(x0，y0)，有y0=2x0-x03，且k=f(x0)=2-3x02故通过点(x0，y0)的曲线的所有切线方程为：y-(2x0-x03)=(2-3x02)(x-x0)今要选择适当的x0，使对应的切线通过已知点(2，0)，把点(2，0)代入上式，得0-(2x0-x03)=(2-3x02)(2-x0)，解得：x0=1，所以y0=2x0-x03=1，k=-1故过点(1，1)，斜率k=-1的切线方程y-1=-(x-1)，即为所求方程 说明：巧合的是，(1)与(2)结果相同，但这完全是由于(2，0)的特殊性导致，将(1)的方法套用于(2)，即使结果正确，过程也是错的5用导数求函数极值的第二法则6导数的应用(1)求证下列不等式x-ln(1+x)，x(0，)；x-sinx0，设其两根为x1=，x2=，则可得到以下性质：性质1：函数y=ax3+bx2+cx+d=0(a0)，若a0，当D0时，y=f(x)是增函数；当D0时，其单调递增区间是(-，x1，x2，+)，单调递减区间是x1，x2；若a0时，其单调递减区间是(-，x2，x1，+)，单调递增区间是x2，x1(证明略)(简记为：a0，先极大后极小，中间段减；a0时，有极大值f(x1)、极小值f(x2)图1根据a和D的不同情况，其图象特征分别为：性质2：函数f(x)=ax3+bx2+cx+d=0(a0)若x0m，n，且f(x0)=0，则：f(x)max=maxf(m)，f(x0)，f(n)；f(x)min=minf(m)，f(x0)，f(n)(证明略)性质3：函数y=ax3+bx2+cx+d=0(a0)是中心对称图形，其对称中心是(-，f(-)证明：设函数y=ax3+bx2+cx+d=0(a0)的对称中心为(m，n)按向量a=(-m，-n)将函数的图象平移，则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0化简得：(3ma+b)x2+am3+bm2+cm+d-n=0，上式对xR恒成立，故3ma+b=0，得m=-，n=am3+bm2+cm+d= f(-)所以，函数y=ax3+bx2+cx+d=0(a0)的对称中心是(-，f(-)可见，y=f(x)图象的对称中心在导函数y=f(x)的对称轴上，且又是两个极值点的中点(因)所以，对于三次函数f(x)，通过求导得到的f(x)为二次函数，且f(x)的极值点是该二次函数的零点同时利用导数的几何意义(曲线在某一点P(x0，y0)处的切线斜率k=f(x0)可得到斜率k为关于x0的二次函数根据这些特点，三次函数问题，可通过求导转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决下面选一些近三年年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题例1函数f(x)=x3-3x2+6x-7的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为_分析：对称中心为Q(m，n)按向量a=(-m，-n)将函数的图象平移，则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0化简得：(3m-3)x2+m3-3m2+6m-7-n=0，此式对xR恒成立，故3m-3=0，得m=1，f(1)=-3所以，对称中心的坐标为(1，-3) 若按上述性质3：对称中心是(-，f(-)，立得坐标为(1，-3)若记不住对