数学归纳法范文

数学归纳法范文 “数学归纳法”的教学设计 一、教材内容解析由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源.数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。 它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。 设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤 （1）证明p (1)为真； （2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程P (1)真?P (2)真?P (3)真?P(k)真?P(k+1)真?因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真.数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第一步确定了n=1时命题成立，n=1成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水；第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上.在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础.数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法“这个名字是随便起的”按波利亚的说法“这个名字是随便起的”.1归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论现” 二、1.2.3. 三、论证就像是”.教学目标通过对推的本质，体会数了解通教学问题认知基础 （1） （2） （3） （4） （5）算法 （6）具有难点或疑点是对归纳的一标对具体问题的在此基础数学归纳法的通过“观察”题诊断对正整数的对“无穷”在数列的学在生活经验在“算法”法实现的只了解归纳法有了一定的点一个数学补的解决思路础上归纳概括的思想，会”“归纳”的特点的感”的概念有学习中对递验中接触到”循环结构只能是有限步法、演绎法等的逻辑知识的补充1，即“路探寻，了解括出数学归会用数学归纳“证明”来感性认识；有一定的认识递推思想有一到一些具有递构的学习中有步的循环;等推理方法的基础.“观察”+“解数学归纳法归纳法证题的纳法证明一来发现定理识和兴趣；一定的体会递推性质的有反复试用(如下图)法以及分析法“归纳”+“法产生的根的两个步骤一些简单的恒理的基本思路会；的事实；用“循环体”法、综合法“证明”=“根源及其无穷骤.恒等式.路.”的体会,虽法等证明方法“发穷递虽然法，就是真的秘感量nP(k“假一个步骤这些步骤具体过具理解想有但数学归纳是对其自身1.数学归纳的问题，由感； （2）对n变化的“2.为什么要3.数学归纳k+1)的传递假设”的不4.数学归纳个整数都能5.数学归纳骤二来进行数学归纳法些都可以留骤的初步理突破的关键由于中学阶体问题的解具体的事例解。 (1)借助递推数有着天然的 (2)构建纳法作为一的可靠性，纳法所要解此造学生在对于一个关命题值函数要引进数学纳法的两步递性问题，误不理解.纳法的第二能成立,由此纳法中的递行推理的模式法运用时对置下一课进理解.键阶段对数学解决，提炼出、直观的模助递推数列数列通过相联系.建直观模型一种证明的方学生都有一解决的是无穷在理解上的于正整数n数”.学归纳法？验步骤中，对第误解为证明二步中由k到此只要第一个递推是一种无式缺乏清晰对起点可作进行深入分学归纳法的教出方法的一模型中加以抽邻两项的关方法，且不一定的疑虑穷多个命题的两点困难n的命题P(验证为何不第二步的认明P(k+1)的真到k+1的递个值成立，无穷尽的动晰的认知.适当的偏移分析，本课侧教学缺乏理般模式。 在抽象概括，关系以及首不论其方法虑，具体可能题P (1),P(2 （1）对(n)，会难以不可行？认识往往难真实性.由此递推性应保证就能确保可动态过程，学移，对第二侧重解决对数理论基础，因在经历问题从而逐步加首项来确定数法的结构形式能会体现在以2),P (3),“无穷”的以将其看作以到位.将解此造成对证证k从第一可以一直递学生对于不二步的证明有数学归纳法因此学习的的提出、思加深对数学数列，与数式，运用技以下一些方,P(n),恒的模糊认知和作是一个随解决由P(k证明中何以一个值时的任递推下去.不断反复地运有一定的技法基本原理和的关键是通过思考的过程学归纳法原理数学归纳法的技巧，方面恒为和神自变k)到用任意运用技巧，和两过对，通理的的思上图既有多米诺骨牌的形象又有数学的形式，加上命题式的推出符号更易理解若k则k+1的递推语句，整体上又具有流程图的程序结构，能较好地反映出数学归纳法的本质，可以使学生的思考有较形象直观的载体. （2）重视归纳概括根据递推思想，数学归纳法的证题过程可分解为以下无穷多个步骤第一步，P (1)真；第二步，P (1)真?P (2)真；第三步，P (2)真?P (3)真；第四步，P (3)真?P (4)真；用最少的步骤可概括为第一步，P （1）真；第二步以后各步都可归纳为一个命题的证明P(k)真?P(k+1)真；即若P（k）真，则P（k+1）真.同以上两步，就可证得对任意的正整数n,都有P(n)为真.对于这种抽象概括，学生在数列的学习以及算法的学习中是有经验的和能力的. 四、教学支持条件对于“无穷”与“递推”的描述，仅靠语言及符号是苍白的，借助于一些直观形象的符号可以更有助于学生的想象与理解. 五、教学过程设计（一）课前准备课前播放多米诺骨牌游戏的录像，并将其类比迁移到对提问规则的制定:某个同学回答后，将话话筒传递给下一位同学回答问题.设计意图一方面营造轻松的氛围，另一方面渗透递推思想，让学生有感悟思想的机会.由吗？一项学生（二）方问题已知师生活动学生进教师追 （1）根据推出,预设由前 （2）归纳？设计意图项的值.通过生的回答情方法的形成知数列a n进行计算推追问据递推公式说说你又是前四项归纳纳猜想的结果图学生通过直观的框情况，教师可成n推理后，展示是如何求得纳猜想果并不可靠通过对的求框图式结构，可进行追问示思考结果，可以由得呢？.靠，你能否对求解，体会可以使学生问，求果.由出发，推对会到只需知道生的思考有,.推出，再给以道某一项，有较形象直观再由推出以严格的证就可求出其观的载体.针,证明其下针对3可需要的证问1:可以推出4，要进行多少第一步，；第二步第三步，第四步，第99步，第100步问2你预设除证明，即转若n若利用递推公。 ，个步骤的论，步，你能否只用除了第一步论转化为对以下n取某一个公式，命题由99可以论证呢？；最少的步骤论证之外，下命题的证个值时结论成（题中的n由以推出100.骤就能证明其余99个证明成立，则n），则1可以推出这样要严；这个结论呢个步骤的证明取其下一个出2，由2可严格证明n=（由.（由呢？明都可以概个值时结论.可以推出3，100结论成（由推（由推（由推由推推）概括成一个命论也成立，即（*），由成立，）推）命题即）问预都成问预（问3你问4有问5给定预设通过步成立.6试写出已知数预设证明:你能进一步说有了命题（*吗？你能吗？及步步递推，出此命题的证数列a n说明命题（*）的证明，能肯定及命题（*）可以证明对证明:（*）的证明，你能肯定），你能推对任意的正明对原命题的定吗？甚至你推出什么结论正整数n，结，求证.）的证明起到吗？你能肯定论呢？结论到什么作用吗你能肯定吗？.即当问预一 (1)当 (2)假则当n=k当n=k+1时由 （1）7你能否预设一般地，证 （1）n=1时，假设当n=k(kk+1时时，结论也成 (2)可得，否总结出这证明一个与正证明当n=k?N*)时，结成立.对任意的正这一证明方法正整数n有=1时命题成,所以结论结论成立，正整数n都法的一般模有关的命题成立；论成立.即都有模式?P(n)，可按，成立.按下列步骤骤进行提力提力问吗预设实问预由本（例（例 （2）则P(1那么，对设计意图提问方式的渗对这一模式8这种解？预设多米诺计意图通生活之间的9对方法预设一是归数学此可进行无设计意图质.三）方法的1试一试假设当n=1)真?P(2对任意的正整方法的提渗透，以及式的特征进解决问题的思诺骨牌游戏通过举例子的联系和类法中的两个步归纳基础，学归纳法实质无限的循环通过从不的应用试，猜一猜=k()2)真?P(3整数n，命提炼事实是对及对这一数学进行概括.思想方法在戏，课堂提问子，让学生进类比.增进对步骤，你是二是归纳递质上将对原环,其结构如不同的角度审猜证一证时命题成立3)真?P(4命题P(n)都成对一种模式学问题的解在生活中有应问，传真话进一步理解对数学学习的是如何理解递推.两者缺原问题的证明如下审视，更有立，证明当)真?P (5)成立.式的提炼，通解决过程的体应用吗？你话，长城烽火解数学归纳法的兴趣.的？缺一不可。 明转化为对有利于学生全当n=k+1时命真?通过对多米体验，部分你能举出一些火台的狼烟法的原理，对两个步骤的全面地了解命题也成立米诺骨牌、课分学生可能有些例子说明烟传递等等；体会数学与的证明和判解数学归纳法立.课堂有能明与现判断，法的13+预设猜想证明会数我们+23+33+n设n=1n=2n=3n=4.想明设计意图数学归纳法(四）例2明辨n=n+证明假设在等式两即当n=k所以n=n+都知道1+2n3=1313+213+213+213+23+33+（由学生证图通过实法的思想和步巩固与深辨是非+1?设n=k（k=k+1，两边各加上k+1=(k+1时，等式+1对任意的2+3+n=?2323+3323+33+43+n3=证明，略）实例，让学生步骤.深化）时结上1，得k+1)+1式也成立.的正整数n都(n?=生经历归纳结论成立，都成立.?N*)，那么.=1=9=25100纳、猜想、证即=1=32=52=102证明的全过12过程，进一步体P(6P(6归纳解程上一【注预设设计意图例3（1)，P (7),. （2）如),P (8),设计意纳法的思想程度. (五)小结与 （1）数学 （2）数学 （3）它的 （4）在学 （5）想飞一级后，再设计意图注在对设设2（分析从反面的）如果要证.都成如果要证明P (10),.意图方法想有进一步的与回顾学归纳法能解学归纳法的证的核心思想是学习与思考中飞的蜗牛怎样再努力一点，通过学生的证明过析法）要证的实例中可进证明命题P(成立,根据数命题P(n).都成立法是死的，思的认识.同时解决哪些问证题步骤是是什么？（中你还有哪样才能扶着就能登上生的学后总结过程中，学生证进一步加深(n)数学归纳法的(n是正偶数立，根据数学思想是活的时也可检测问题？（与正是什么？（两（无穷递推哪些疑惑？着天梯登上云上下一级.那结与反思，生也可能有，只深对数学归纳成立，的思想，你数）成立，即学归纳法的的，通过这两测学生对数学正整数有关两步骤一结）云端呢？(生那么蜗牛就能是知识得有以下的分只需证纳法的两个即证P (3)，你会如何证明即证明命题的思想，你会两个问题，学归纳法的关的命题的证结论）生登上第能想爬多高以内化的必析过程，个步骤的理，P (4)，P(5明？题P (2)，P(4会如何证明使学生对数的递推本