第5讲守恒定律功和能.doc

第5讲 守恒定律功和能第5讲：守恒定律功和能内容：34，35，361 功和功率的概念 2动能和动能定理 （30分钟） 3保守力作功的特点和势能的概念 （30分钟） 4质点系的功能原理 5机械能守恒定律 6能量守恒定律 （40分钟）要求： 1掌握功的概念，正功和负功的物理意义； 2了解功率的概念，会计算功率； 3掌握动能的概念和质点的动能定理，并会用来解题； 4掌握保守力作功的特点和势能的概念及其计算方法； 5了解质点系的动能定理； 6掌握质点系的功能原理及其应用； 7掌握机械能守恒定律及其应用； 8理解能量守恒定律。重点与难点： 1质点动能定理及其应用；2保守力作功的特点与势能的概念； 3质点系的功能原理及其应用；4机械能守恒定律及其应用。作业：问题：P100：9，11，14，15习题：P103：13，14，17，20预习：37，38，39复习：1动量和冲量的概念2动量定理3动量守恒定律34 动能定理在很多实际情况中，一个质点受的力随它的位置而改变，而且力和位置的关系事先可以知道。分析这种情况下质点的运动时，常常考虑在质点的位置发生一定变化的过程中，力对它的作用总起来会产生什么效果，也就是要研究力的空间积累效果。力的空间积累用力的功来表示。本节将介绍功的概念。力对物体做功的效果表现为物体动能的增量，下面将接着介绍与此相关的动能定理。力学（Mechanics）与机械学（mechanism）是同源词；在历史上，推动力学产生与发展的，除了天文学外，主要是对机械装置原理的研究。人们制造机械，是为了让它们做功（Work）。一个物体具有做功的本领，叫做具有一定的能量（Energy）。动能是运动的物体具有的能量，而势能是物体的一种潜在的能量。一、功（Work）功是表示力的空间累积的物理量。功的概念是人们在长期的生产实践和科学研究中建立起来的。1恒力的功定义：一物体在恒力F的作用下，沿直线运动，位移为S，并且与力F成角，则定义力F对物体所作的功W为 即力对物体所作的功等于该力沿运动方向的分量与物体位移的乘积（标积，Scalar Product）。写成矢量式为 说明：1）功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 /2，功W为负值，即力对物体作负功，或物体克服该力作功。2）单位：焦耳(J) 1J=1N.m3）功的另一定义：力对物体所作的功等于质点的位移在力的方向上的分量与力的大小的乘积。2变力的功把物体运动的轨迹分成许多微小的位移元，在每一个位移元内，力可视为不变，则在在每一个位移元内，力所作的功为 总功为 3合力的功例： F正功 FS N 不作功 f负功 -fS mg 不作功总功 W=(F-f )S结论：合力的功等于各个分力所作的功的代数和。4功的计算1）积分方法：从定义式出发在直角坐标系中，若 则 需要弄清楚要求哪一个力作的功，并要能写出该力随位置变化的关系式，然后积分即可。在自然坐标系中， ，则 即力对质点所作的功等于力的切线分量对路径的线积分。由于法向力与路径垂直，因而它始终不作功。计算功的方法：l 析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；l 出元功的表达式，选定积分变量；l 定积分限进行积分，求出总功。2）功的图示法纵坐标表示作用在物体上的力在位移方向上的分量横坐标表示质点沿曲线运动的路程。曲线下的面积等于力所作的功。例1设作用在质量为2kg的物体上的力F=6t(N)。如果物体由静止出发沿直线运动，问在头2s时间内，这个力对物体所作的功。解：按功的定义式计算功，必须首先求出力和位移的关系式。根据牛顿第二定律F=ma可知物体的加速度为 a=dv/dt=F/m=6t/2=3t所以 dv=3tdt积分得故位移与时间的关系为dx=1.5t2dt因而力所作的功为 例2一个质点沿如图所示的路径运行，求力(SI)对该质点所作的功，（1）沿ODC；（2）沿OBC。解： Fx=4-2y Fy=0（1）OD段：y=0，dy=0，DC段：x=2，Fy=0（2）OB段：Fy=0，BC段：x=2结论：力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功是不同的。二、功率（Power）1定义：单位时间内完成的功，叫做功率。平均功率：瞬时功率：2物理意义：表示作功的快慢3功率的公式： 即功率等于力与速度的点积。应用：1）发动机的功率一定，要加大牵引力，降低速度；要获得较大的速度，牵引力就得减小。2）变速自行车的齿轮变速装置，改变额定功率；3）游泳中的蛙蹼，增大额定功率（Rated Power）。4单位：瓦特(W) 1W=1Js-2，1kW=103W5几个功率的数量级：睡觉 7080W(基础代谢) 闲谈 7080W走路 170380W 听课 70140W跑步 7001000W 足球 630840W三、质点的动能定理（Theorem of Kinetic Energy）1引入： 功是力对空间的累积作用，力对物体作了功，则物体的运动状态要发生变化。功与运动状态变化之间的关系就是质点的动能定理。2动能：动能的概念也是人们在长期的生产实践和科学研究中总结出来的。运动的物体可以作功。例如：铁锤钉钉子，风力推动帆船，流水推动水轮机。即：运动着的物体具有能量。定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能，其定义为物体的质量与其运动速度的平方的乘积的一半，即 单位：焦耳 1J=1kg.m2.s-23质点的动能定理 问题：一质量为m的物体在合外力F的作用下，由A点运动到B点，其速度的大小由v1变成v2。求合外力对物体所作的功与物体动能之间的关系。把路径分成许多位移元dr，则合外力在位移元dr内所作的功为 由牛顿第二定律可知合外力为 所以 积分 得 或 其中 为合外力所作的功 为质点的末动能 为质点的初动能 即：质点的动能定理：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。4说明：1）W为合外力对质点所作的功合外力作正功 W0，Ek2Ek1，质点的动能增加；合外力不作功 W=0，Ek2=Ek1， 质点的动能不变；合外力作负功 W0，Ek20 区间 x0时时，E-E00， W非保守外力0时时，E-E00时，E-E00 W外力0时，E-E003外力和内力的划分是相对的。选取的系统不同，其内力和外力就不同。因此应用功能原理时，首先要选好系统，并且在计算功时要将保守内力的功除外；另外，由于功能原理实际上是从牛顿运动定律导出的，因此只能适用于惯性系。4功是能量变化与转化的量度，是过程量，与过程有关；能量是代表系统在一定状态下所具有的作功的本领，是状态量，与状态有关。功能原理与质点系动能定理不同之处是功能原理将保守内力作的功用势能差来代替。因此，在用功能原理解题的过程中，计算功时，要注意将内部保守内力的功除外。三、 机械能守恒定律当W外力=0和W非保守外力=0时 E=E0即 机械能守恒定律：当作用在质点系的外力和非保守内力都不作功时，质点系的机械能是守恒的。或 即 在满足机械能守恒定律的条件下，质点系的动能和势能是相互转换的，且转换的量值是相等的，动能的增加量等于势能的减小量，势能的增加量等于动能的减小量，二者的转换是通过质点系内部保守内力作功来实现的。*讨论机械能守恒定律也可以表示为： 即 上式表明，在满足机械能守恒的条件下，系统内各质点的动能和各种势能可以相互转换，但它们的总和（即总机械能）却保持不变。解题时注意事项（1）明确系统中的物体；（2）机械能守恒的前提：只有保守内力做功，其它内力和外力不做功，或它们作功的代数和为零，或可以忽略不计；（3）只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能不一定守恒；(4)与惯性参考系的选择有关。因为我们知道，内力总是成对出现的，它们作功的和与参考系的选择无关，但是外力作功却与参考系有关，它们作功总和是否为零则决定于参考系的选择。例1如图所示用一弹簧把两块质量分别为m1和m2的板连接起来。问在m1上需要加多大的压力使力停止作用后，恰能使m1在跳起时m2稍被提起。弹簧的质量忽略不计。解：取弹簧的原长处O为重力势能和弹性势能的零点，并以此点为坐标轴的原点，如图(a)。当在弹簧上加上m1和外力F后，弹簧被压缩到y1处，如图(b)；当外力F撤去后，弹簧被推到y2处，如图(c)。在此过程中，只有重力和弹性力作功，故系统的机械能守恒，设弹簧的劲度系数为k，则有 整理得 即 (1)由图(b)得 (2)由图(c)可知，欲使跳离地面，必须满足 (3)把(2)和(3)代入(1)，得 所以例2在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动着不可压缩的密度为的流体，如图（a）所示。在图中a处的压强为p1、截面积为A1；在点b处的压强为p2、截面积为A2。由于点a和点b之间存在压力差，流体在管中移动。在a和b处的速率分别为v1和v2，求流体的压强和速率之间的关系。解：取如图所示的坐标，在点a和点b处的流体因压力差的缘故而移动的距离分别为dx1和dx2，那么由压力差所作的功为dWp=p1A1dx1-p2A2dx2考虑到流体的不可压缩性，有A1dx1=A2dx2=dV所以上式为dWp=（p1-p2）dV另外，在流体流动过程中重力所作的功为dWg=-dm g（y2-y1）=-g（y2-y1）dV根据动能定理，外力对流体所作的功等于流体动能的增量，故有得即流体在管中任意点都有下述关系这就是伯努利方程。如果将流管放置在图b所示得水平面上，则有y1=y2，则伯努利方程可写成由此可以得到一个重要的结论：在不可压缩的、密度均匀的流体中，压强较小的区域流速较大，反之亦然。四、宇宙速度（自学）由地面处发射使物体绕地球运动（人造地球卫星）所需的最小速度，称为第一宇宙速度。使物体脱离地球的引力范围所需的最小速度，称为第二宇宙速度。使物体脱离太阳系所需的最小速度，称为第三宇宙速度。试计算这三种宇宙速度。1. 第一宇宙速度地球对卫星的引力为：若不计空气阻力，引力即为卫星作圆周运动的向心力：，化简得 卫星在地面上时，即。代入（1）式得：这就是卫星在半径为 r 的圆轨道上运转所需的速度，称为环绕速度。，得第一宇宙速度2. 第二宇宙速度以物体和地球为研究系统。忽略空气阻力，只有保守力做功，所以系统的机械能守恒。设v为物体离开地面时的速度，v为物体远离地球时的速度。并选取无穷远处为万有引力势能的零点，由机械能守恒定律 .上述速度称为第二宇宙速度或称为脱离地球的逃逸速度。3. 第三宇宙速度物