非线性动力学-胡海岩.doc

第七章 混沌运动一、引言 Laplace确定论思想认为：对于一个确定性动力学系统，确定性输入将导致确定性的输出。 现代混沌研究始于60年代。1962年Kolmogrov-Arnold-Morser（KAM定理）认为：近可积保守系统会具有非常复杂的相轨线结构。同时，Andronov从研究实际问题中发现了许多分叉现象。1974年，新墨西哥州小城洛斯阿拉莫斯国家实验室的Feigenbaum开始思考混沌问题。他思考过：（1）液体和气体中的湍流（如图1）。例如，化工颜料的混合过程（路涌祥）；（2）时间问题：时间究竟是平滑地流逝还是像一串动画片那样跳跃？（3）云彩：既模糊有细致，既有结构而又不可预言。这些都与混沌有关，混沌存在于：大气中、海洋湍流中、野生动物种群数的涨落中，以及心脏和大脑的振动中。图1 流体喷射，可能引起混沌流与此同时，加州伯克利的Smale组织了一个动力系统小组。几何学家Mandelbrot描述一族几何形状（如图2所示）：犬牙交错，缠结纷乱，劈裂破碎，扭曲断裂他认为这是自然界的一个组织原则，例如海岸线和树叶的分形结构（图3）。 图2 Mandelbrot集和Julia集 图3 Coch分形：海岸线、树叶10年之后，混沌已成为一种迅速发展的运动的简称，并产生了自己的语言：分形和分叉，阵发和周期，微分同胚和光滑映射、奇怪吸引子等。混沌几乎无所不在：香烟烟柱破碎成缭乱的旋涡、旗帜在风中飘拂、龙头滴水从稳定变成随机、天气行为、飞机飞翔、出现在高速公路上阻塞的汽车的行为中、地下管道的油流中、经济学领域等等。混沌是关于系统的整体性科学，它强烈认为复杂系统有普适行为。混沌鼓吹者们宣称：混沌是20世纪第三次大革命（前两次为相对论、量子力学）。二、混沌特征：蝴蝶效应、局部发散总体有界、无周期无序1961年冬，麻省理工学院的Lorenz发现计算机行为失常：从几乎相同的出发点开始，他的天气模式差别越来越大，终至毫无相似之处：长期预报必定失败（蝴蝶效应），如图4所示。 图4 Duffing方程对于初值的敏感性Lorenz还研究了卷动的流体、转动的水轮、以及Lorenz吸引子（如图5所示）。与此同时，与Lorenz平行的发现包括：法国天文学家Henon研究了银河系的轨道、日本工程师Ueda（上田）从模拟电子线路中得到了一个奇怪吸引子、以及加州伯克利分校数学家Smale的马蹄映射。图5 Lorenz吸引子Smale还试图理解整体行为怎么会与局部行为发生差异的？由此导致Smale马蹄的发明：对于初始条件的敏感依赖性的精巧的形象类比。在原来的空间中取两个邻近的点，根本无法猜出它们最终将到达何处。所有那些折叠和拉伸将把它们驱赶到相距任意远处。三、你不会用老眼光看世界了l 野生种群的叉形分叉，如图6所示。图6 叉形分叉与Lyapunov指数l 混沌揭开了木星大红斑之迷：一个椭圆旋涡，就像永不移动也用不消失的一场巨大风暴（见1978年由旅行者2号发回的图片）。l 普适常数：像和指数一样，存在一普适常数：Feigenbaum常数=4.6692016091029909。当时称为定律，最近理论上已经证明这是一个定理。l 周期3意味混沌：人们不可能构造一个以周期3振荡而永远不产生混沌的系统。这个论断是Sharkovsky1964年关于自然序列定理的特例。四、奇怪吸引子与分形结构l 耗散系统的相空间容积是收缩的，因此维耗散系统的稳态运动将位于一个小于维“曲面”上，这个曲面就是吸引子（至今无准确定义）。l 平凡吸引子：稳定平衡点吸引子为相空间中的一点。稳定周期运动吸引子为相空间中的闭曲线（Poincare截面中离散点集）。稳定概周期运动吸引子为相空间中的闭环面（Poincare截面中的一条闭曲线）。l 奇怪吸引子：混沌运动相轨道被吸引在一个有限空间区域内，往复缠绕而恒不相交，具有分数维。若Poincare映射既不是有限点集也不是封闭曲线，则对应的运动可能是混沌。进一步，如果系统没有外部躁声扰动又有一定阻尼，则Poincare映射的结果会是细致结构的点集，具有分形特征。如果系统受外界躁声扰动或阻尼很小，则Poincare映射的结果将是模糊一片的点集。奇怪吸引子特征：l 对初值敏感，表现为相邻轨道呈指数分离和局部轨道不稳定。l 局限于有限区域，就大范围而言，表现为稳定的吸引子，有自己的吸引域。l 空间结构复杂，复杂性来自轨道的无穷伸展、压缩折叠（Smale马蹄）。l 具有无穷层次的自相似结构，如图7和8所示。l 具有一切混沌的通有性（如倍周期分叉中的Feigenbaum常数）。l 具有统计特征：分数维、正Lyapunov指数、正的测度熵、连续功率谱等。图7 Duffing方程混沌吸引子图8 Henon映射：无法预言任何相继两点将靠近还是远离，具有分形结构。图9 Coch雪花我们可以用分形理论来解释，为什么混沌吸引子可以位于有限区域而永不重复。如图9所示，Coch雪花的边界长度是：，直到无穷，但面积永远小于包围初始三角形的圆。于是一条无限长的线包围着一块有限的面积。不难理解，若将混沌吸引子从纸面牵拉出来，那么这个由Poincare点映射组成的“线”将是无限长的，这些Poincare截面上的点永不重复。五、吸引域 图10 Duffing方程吸引域及分形边界六、通向混沌的道路l 倍周期分叉。l 阵发性：时域响应随参数变化出现规则与不规则运动的随机交替。l 概周期分叉导致环面破裂引起混沌运动。l 激变。l 擦边分叉。l 周期窗口：如周期3意味混沌，以及周期5、周期7等，图11为周期7混沌的例子。图11 周期7的窗口七、局部混沌到全局混沌图12 混沌海洋（Standard mapping：）八、混沌的解析预测1出现混沌的一种几何机制 Poincare映射的双曲鞍点的稳定流形和不稳定流形的相交情况（如图13-14所示）与混沌振动是否发生有关。这一现象是构成预测混沌振动的Melnikov方法的基础。图13 同（异）宿轨线（a）同宿点（b）异宿点图14 相交的稳定流形和不稳定流形图15 Smale马蹄映射考察在Poincare截面上横截同宿点附近的一小矩形区域。在映射过程中，沿稳定流形的方向上收缩，沿不稳定流形的方向上伸展，同时发生折曲。若干次映射后形成的马蹄形区域与原来的矩形区域相交得到两个新的小矩形区域，如图15所示。从图中可见，矩形区域中原俩很接近的点经过若干次映射后可能离得很远，使初始误差迅速放大（类似于对于初始条件的敏感性）。这种矩形区域收缩、伸展并且折曲再与自身相交的映射是1963年Smale首先研究的，称为Smale马蹄映射。表明：出现混沌振动的一种几何几制是横截同（异）宿点的产生，称为Smale马蹄意义下的混沌运动。Melnikov理论指出，一旦有一个同宿点，就会有无穷多这样的同宿点，这对应于映射要以无限分叉方式产生双曲不变集，从而产生混沌运动。其中，拉伸和折叠是混沌发生的机理。Smale-Birkhoff同宿点定理：设是微分同胚，是它的双曲不动点，且存在和的横截交点，则具有侵入（immersed）的Smale马蹄映射。该定理指出，要判定微分同胚是否具有Smale马蹄，只需判别是否存在横截同宿点。2Melnikov方法1963年Melnikov提出一种判断受小扰动的平面可积系统出现同宿点的解析方法。基本思想：给出同（异）宿轨线分裂后稳定流形与不稳定流形之间距离的一种便于计算的形式，用于建立产生横截同宿点的解析条件。研究平面非自治系统（1）其中为小参数，扰动部分为时间的周期函数。设时的未扰系统（2）有双曲鞍点，并可积分出的稳定流形和不稳定流形重合构成的同宿轨道，使得（3）起始时刻可为任意实数。定义函数（4）式中算子定义为：对于和有（5）可以证明，如果函数有简单零点，则稳定流形和不稳定流形必横截相交形成横截同宿点，此时可能发生混沌运动。这种判断稳定流形和不稳定流形相交条件的方法称为Melnikov方法。九、混沌振动的数值识别1计算Lyapunov指数（1）Lyapunov指数定义混沌振动对于初值的敏感性靠得很近的两条相轨线随时间增长逐渐远离。Lyapunov指数：表示相空间内邻近轨迹平均指数发散率的数值特征。N维空间具有N个Lyapunov指数。例如自治系统，记，这里为基准相轨线，为相邻相轨线，如图16所示，则有（1）定义Lyapunov指数为：。（2）说明：实际上是方程（1）的解指数的推广。对于线性定常系统，对于周期系数线性系统。若系统呈混沌振动；若趋于静止；若周期运动。（2）通常计算最大Lyapunov指数，大大减少计算量（Benettin:Phys.Rev.A14,1976:2338-2345）。因足够长时间后的不能按式（1）确定，故需要重新设定才能保证正确计算，如图16所示。a. b. c. 经过m个后得到m个，最大指数由下列方程计算（3）通常，d很小，无关紧要（比积分步长要大）。图16 2奇怪吸引子的维数 推广维数概念：正方形之所以为2维，是由于如果边长增加k倍，则面积增加倍。同样，如果立方体的边长增加k倍，则其体积增加倍，因此是3维。对于d维几何体，如果一个方向空间几何尺寸增加k倍，则体积增加。因此可将维数定义为（4）该维数可以为分数。如Kantor集维数为。当分形结构复杂时，许采用新的定义。设集合S为n维空间的子集，N(a)是覆盖集合所需边长为a的n维立方体的最小数目，则有F.Hausdorff维数（也称A.H.Karmagnov容量维数）（5）例如，对于2维平面子集的单位面积正方形，以边长为a的小正方形覆盖，至少需要，因此由式（5）知其Hausdorff维数为2维，即为通常的整数维。奇怪吸引子的维数具有自相似性，其维数为分数维。在一般情况下仅用Lyapunov指数或分形维数可以识别混沌振动。而对于一些特殊情况，需要综合运用Lyapunov指数、分形维数和功率谱密度函数，并借助相平面和Poincare映射方能判断系统是否出现混沌振动。十、方向与展望1 高维非线性系统全局动力学（如Melnikov方法）和混沌动力学，Normal Form方法和全局摄动法；2 连续系统（梁、板、壳、索、电缆等）的非线性动力学、粘弹性结构的非线性振动；3 机械和结构工程中的非线性振动与控制；4 转子