上海(理科)历年高考数学试卷及答案()答案.doc

282011年上海高考数学参考答案一、空题1；2；3；4或；5；6；7；8；9；10；11；12；13；14。二、择题15；16；17；18。三、答题19解： （4分）设，则，（12分） ， （12分）20解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。 当时，则；当时，则。21解：设正四棱柱的高为。 连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，。（ 建立如图空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则。22 ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。23解： 设是线段上一点，则，当时，。 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。 选择， 选择。 选择。2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：= 12i (i为虚数单位).解析 .2.若集合，则= .解析 ，AB=.3.函数的值域是 .解析.4.若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角函数值表示).解析 方向向量，所以，倾斜角a=arctan2.5.在的二项展开式中，常数项等于 160 .解析 展开式通项，令62r=0，得r=3，故常数项为.6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 解析 易知V1,V2,Vn,是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 .7.已知函数(a为常数).若在区间1,+)上是增函数，则a的取值范围是 (, 1 .解析令，则，由于底数，故， 由的图像知在区间1,+)上是增函数时，a1.POrlhPl2pr 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .解析 如图，l=2，又2pr2=pl=2pr=1， 所以h=，故体积.9.已知是奇函数，且.若，则 1 .xOMla 解析 是奇函数，则，所以， 1.10.如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则 .解析 的直角坐标也是(2,0)，斜率，所以其直角坐标方程为， 化为极坐标方程为：， ，即.(或)11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示). 解析 设概率p=，则，求k，分三步：选二人，让他们选择的项目相同，有种；确定上述二人所选择的相同的项目，有种；确定另一人所选的项目，有种. 所以，故p=.12.在平行四边形ABCD中，A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别xyABCDMN是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 2, 5 . 解析 如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(,)，C(,). 设0,1，则， 所以M(2+,)，N(2t,)，故=(2+)(2t)+=，因为t0,1，所以f (t)递减，()max= f (0)=5，()min= f (1)=2.评注 当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M在B(N在C)和M在C(N在D)，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).xyABC15图1NxyODM15P图2函数的图像与x轴围成的图形的面积为. 解析如图1， 所以， 易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.ABCDE评注对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .ADBEC 解析 作BEAD于E，连接CE，则AD平面BEC，所以CEAD， 由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中点F，连接EF，则EFBC，EF=2，四面体ABCD的体积，显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=，所以. 评注 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大!当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天!二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则( B )(A).(B).(C).(D). 解析 实系数方程虚根成对，所以也是一根，所以b=2，c=1+2=3，选B.16.在中，若，则的形状是( C )(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.解析 由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得， 所以C是钝角，选C.17.设，. 随机变量取值、的概率均为0.2，随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则( A )(A).(B)=.(C)而迅即攻下此题。18.设，. 在中，正数的个数是( D )xya2a12a13a24a23a26a27a49a48a38a37a(A)25.(B)50.(C)75.(D)100. 解析 对于1k25，ak0(唯a25=0)，所以Sk(1k25)都为正数.当26k49时，令，则，画出ka终边如右，其终边两两关于x轴对称，即有，所以+0 +=+，其中k=26,27,49，此时，所以，又，所以，从而当k=26,27,49时，Sk都是正数，S50=S49+a50=S49+0=S490.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上，可选D. 评注 本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号，为此，需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重，是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键。ABCDPE三、解答题(本大题共有5题，满分74分)19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：(1)三角形PCD的面积；(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)解(1)因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD. 3分ABCDPExyz因为PD=，CD=2，所以三角形PCD的面积为. 6分(2)解法一如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，. 8分设与的夹角为q，则 ，q=. 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形，所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分20.已知函数.(1)若，求的取值范围；(6分)(2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.(8分)解(1)由，得.由得. 3分因为，所以，.由得. 6分(2)当x1,2时，2x0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.(1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)解(1)时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3. 2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. 6分(2)设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.由，整理得.10分因为，当且仅当=1时等号成立，所以，即.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22.在平面直角坐标系中，已知双曲线.(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(4分)(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；(6分)(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.(6分)解(1)双曲线，左顶点，渐近线方程：.过点A与渐近线平行的直线方程为，即.解方程组，得. 2分所以所求三角形的面积1为. 4分(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即. 6分由，得.设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.又，所以，故OPOQ. 10分(3)当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为(显然)，则直线OM的方程为.由，得，所以.同理. 13分设O到直线MN的距离为d，因为，所以，即d=.综上，O到直线MN的距离是定值. 16分23.对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.(1)若x2，且，求x的值；(4分)(2)若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；(6分)(3)若X具有性质P，且x1=1，x2=q(q为常数)，求有穷数列的通项公式.(8分)解(1)选取，Y中与垂直的元素必有形式. 2分所以x=2b，从而x=4. 4分(2)证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为1是X中唯一的负数，所以、中之一为1，另一为1，故1X. 7分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为1.若=1，则，矛盾；若=1，则，矛盾.所以x1=1. 10分(3)解法一猜测，i=1, 2, , n. 12分记，k=2, 3, , n.先证明：若具有性质P，则也具有性质P.任取，、.当、中出现1时，显然有满足；当且时，、1.因为具有性质P，所以有，、，使得，从而和中有一个是1，不妨设=1.假设且，则.由，得，与矛盾.所以.从而也具有性质P. 15分现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , n.当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, , k；当n=k+1时，若有性质P，则也有性质P，所以.取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为1.若，则，所以，这不可能；所以，又，所以.综上所述，i=1, 2, , n. 18分解法二设，则等价于.记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. 14分注意到1是X中的唯一负数，共有n1个数，所以也只有n1个数.由于，已有n1个数，对以下三角数阵 注意到，所以，从而数列的通项公式为，k=1, 2, , n. 18分2013年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题1. 【解答】根据极限运算法则，2. 【解答】3. 【解答】4.【解答】，故5.【解答】，故6.【解答】原方程整理后变为7. 【解答】联立方程组得，又，故所求为8.【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为9.【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得10.【解答】，11.【解答】，故12.【解答】，故；当时，即，又，故13. 【解答】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为14.【解答】根据反函数定义，当时，；时，而的定义域为，故当时，的取值应在集合，故若，只有二、选择题15.【解答】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B16.【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B17.【解答】，而，故不同数值个数为18个，选A18.【解答】作图知，只有，其余均有，故选D三、解答题19. 【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得而中，故所以，即直线BC1到平面D1AC的距离为20. 【解答】(1)根据题意，又，可解得(2)设利润为元，则故时，元21. 【解答】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为22. 【解答】：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则直线与圆内部有交点，故化简得，。若直线与曲线C1有交点，则化简得，。由得，但此时，因为，即式不成立；当时，式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆内的点都不是“C1-C2型点” 23. 【解答】：（1）因为，故，（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明若，显然有成立；若，则显然成立综上，恒成立，即对任意的，（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有此时，即故，即，当时，等式成立，且时，此时为等差数列，满足题意；若，则，此时，也满足题意；综上，满足题意的的取值范围是2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1（4分）（2014上海）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期解答：解：y=12cos2（2x）=2cos2（2x）1=cos4x，函数的最小正周期为T=故答案为：点评：本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题2（4分）（2014上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=6考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=（1+2i）（12i）+1=14i2+1=2+4=6故答案为：6点评：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查3（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=2考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题设中的条件y2=2px（p0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故p=4，抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=2点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题4（4分）（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（，2考点：分段函数的应用；真题集萃菁优网版权所有专题：分类讨论；函数的性质及应用分析：可对a进行讨论，当a2时，当a=2时，当a2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围解答：解：当a2时，f（2）=24，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a2时，f（2）=22=4，符合题意；a2，故答案为：（，2点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题5（4分）（2014上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2考点：基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得解答：解：xy=1，y=x2+2y2=x2+2=2，当且仅当x2=，即x=时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题6（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角解答：解：设圆锥母线与轴所成角为，圆锥的侧面积是底面积的3倍，=3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cos=，=arccos，故答案为：arccos点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键7（4分）（2014上海）已知曲线C的极坐标方程为（3cos4sin）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是考点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：计算题；坐标系和参数方程分析：由题意，=0，可得C与极轴的交点到极点的距离解答：解：由题意，=0，可得（3cos04sin0）=1，C与极轴的交点到极点的距离是=故答案为：点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键8（4分）（2014上海）设无穷等比数列an的公比为q，若a1=（a3+a4+an），则q=考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值解答：解：无穷等比数列an的公比为q，a1=（a3+a4+an）=（a1a1q）=，q2+q1=0，解得q=或q=（舍）故答案为：点评：本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用9（4分）（2014上海）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可解答：解：f（x）=，若满足f（x）0，即，y=是增函数，的解集为：（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力10（4分）（2014上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题11（4分）（2014上海）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=1考点：集合的相等菁优网版权所有专题：集合分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论解答：解：根据集合相等的条件可知，若a，b=a2，b2，则 或 ，由得，ab0，a0且b0，即a=1，b=1，此时集合1，1不满足条件若b=a2，a=b2，则两式相减得a2b2=ba，互异的复数a，b，ba0，即a+b=1，故答案为：1点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论12（4分）（2014上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0，2上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在0，2上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2k+，即x=2k，或x+=2k+，即x=2k+，此时x1=0，x2=，x3=2，x1+x2+x3=0+2=故答案为：点评：本题主要考查了三角函数图象与性质运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题13（4分）（2014上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，若E（）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2考点：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1x，由此能求出结果解答：解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1x，某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，E（）=4.2，4（1x）+5x=4.2，解得x=0.2故答案为：0.2点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用14（4分）（2014上海）已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为2，3考点：直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可解答：解：曲线C：x=，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP2，0，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，m=2，3故答案为：2，3点评：本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2014上海）设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b4，但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2，则必有a+b4，即必要性成立，故“a+b4”是“a2且b2”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础16（5分）（2014上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）A1B2C3D4考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用分析：建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案解答：解：如图建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），P8（0，2，1），=（1，0，1），=（2，0，1），=（0，1，1），=（1，1，1），=（2，1，1），=（0，2，1），=（1，2，1），=（2，2，1），易得=1（i=1，2，8），（i=1，2，8）的不同值的个数为1，故选A点评：本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段17（5分）（2014上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解考点：一次函数的性质与图象菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；直线与圆分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，k=，即a1a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1，b2b1得：（a2b1a1b2）x=b2b1，即（a2a1）x=b2b1方程组有唯一解故选：B点评：本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用18（5分）（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，2考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2a20，得1a2，问题解决解答：解；当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：a2x+a2+a，解不等式：a2a20，得1a2，0a2，故选：D点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题三、解答题（共5题，满分72分）19（12分）（2014上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：利用侧面展开图三点共线，判断P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，ABP1=BAP1=CBP2，ABC=60，ABP1=BAP1=CBP2=60，P1=60，同理P2=P3=60，P1P2P3是等边三角形，PABC是正四面体，P1P2P3的边长为4，VPABC=点评：本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法20（14分）（2014上海）设常数a0，函数f（x）=（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由考点：反函数；函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决解答：解：（1）a=4，调换x，y的位置可得，x（，1）（1，+）（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a（2x2x）=02x2x不恒为0，a=0，此时f（x）=1，xR，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a21=0，a=1，a0，a=1，此时f（x）=，满足条件；综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数点评：本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21（14分）（2014上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得=38.12，=18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）考点：解三角形的实际应用菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论解答：解：（1）设CD的长为x米，则tan=，tan=，0，tantan2，tan，即=，解得028.28，即CD的长至多为28.28米（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则ADB=180=123.43，由正弦定理得，即a=，m=26.93，答：CD的长为26.93米点评：本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键22（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证：点A（1，2），B（1，0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线考点：直线的一般式方程；真题集萃菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆分析：（1）把A、B两点的坐标代入=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据0，得出结论（2）联立直线y=kx与曲线x24y2