数列归纳总结范文

数列归纳总结范文 等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列等比数列定义一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比递推关系121n na a a a?（*n N?）1n na a d?（*n N?）11n n n na a a a?（*2,n n N?）121nna aa a?（*n N?）1nnaqa?（*0,q n N?）11n nn na aa a?（*2,n n N?）通项公式1 (1)na a n d?（*n N?）na pnq?（*,p qn N?为常数）11?nnq a a（*n N?）nnq pa?（*,0,0,p q q pn N?是常数）求和公式12()n nS n aa?（*n N?）1 (1)2nn nS na d?(*n N?)2nS AnBn?(*,A Bn N?是常数)求积公式nnniia aa)(121?(*n N?)11,1 (1),11nnna qSa qqq?(*n N?)1,1,1nnna qSAAq q?(*nN?，0?A)主若p+q=s+r,p、q、s、r?N*,则p qs raaaa?.对任意c0,c?1,?nac为等比数列.*112,2n n naaa nN n?.若p+q=s+r,p、q、s、r?N*,则r sq paaaa?.对任意c0,c?1,若a n恒大于0，则?log a为等差数列.2,211?nN n aa an n n.要性质若?na、?nb分别为两等差数列，则?n nab?为等差数列.数列nSn?为等差数列.若?nb为正项等差自然数列，则?nba为等差数列.?,232n n n n nS S S S S?为等差数列.2n n m mS S Snn m?，n2m，m、n*N?.m n m nS SS mnd?.若,m nSSm n?则0m nS?.若?na、?nb为两等比数列，则?nnba为等比数列.若a n恒大于0，则数列?nniia1为等比数列.若?nb为正项等差自然数列，则?nba为等比数列.?,232nnnnnSSSSS?为等比数列.m nm nm iinniiaa211?，n2m，m、n*N?，*0,pa pN?.mnmn mnnmSS q SSq S?.若,2121nmaaaaa anm?则?n miia11.此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系重要结论等差数列等比数列若,p qaq a p?p、q*N?，且q p?,则0p qa?.若,p Sq Sq p?且qp?,则(),p qSp q?p、q*N?.)1()1(2mnm mmmnq qqSS?=)1()1(2nmn nnqqqS?.若|q|1,则?nnS lim11aSq?.求数列aa nn通项公式的方法11?na=na+)(n f型型累加法na=（na1?na）+（1?na2?na）+?+（2a1a）+1a=)1(?n f+)2(?n f+?+)1(f+1a例1.已知数列na满足1a=1，1?na=na+n2（nN+），求na.解na=na1?na+1?na2?na+?+2a1a+1a=12?n+22?n+?+12+1=2121?n=n21na=n21（nN+）31?na=pna+q型（p、q为常数）方法 （1）1?na+1?pq=)1(?pqa pn，再根据等比数列的相关知识求na. （2）1?nana=)(1?n naa p再用累加法求na. （3）11?nnpa=nnpa+1?npq，先用累加法求nnpa再求na.例3.已知na的首项1a=a（a为常数），na=21?na+1（nN+，n2），求na.解设na=2（1?na），则=1na+1=2（1?na+1）1?na为公比为2的等比数列.na+1=（a+1）12?nna=（a+1）12?n12)(1n gaann?型型累乘法na=1?nnaa21?nnaa?12aa1a例2.已知数列na满足naann?1（nN+），1a=1，求na.解na=1?nnaa21?nnaa?12aa1a=（n1）（n2）?11=（n1）！na=（n1）！（nN+）41?na=pna+)(n f型（p为常数）方法变形得11?nnpa=nnpa+1)(?npn f，则nnpa可用累加法求出，由此求na.例4.已知na满足1a=2，1?na=2na+12?n.求na.解112?nna=nna2+1nna2为等差数列.nna2=n na?121na=nn252?na=p1?naqna型（p、q为常数）特征根法q px x?2 （1）21x x?时，na=1Cnx1+2Cnx2 （2）21x x?时，na=（1C+2Cn）nx1例5.数列na中，1a=2，2a=3，且2na=1?na+1?na（nN+，n2），求na.解1?na=2na1?na122?x x121?x xna=（1C+2Cn）n1=1C+2Cn?3222121C CCC?1121CC)(1?Nnn a n7“已知nS，求na”型方法na=nS1?nS（注意1a是否符合）例6.设nS为na的前n项和，nS=23（na1），求na（nN+）解nS=23（na1）（nN+）当n=1时，1a=23（1a1）1a=3当n2时，na=nS1?nS=23（na1）23（1?na1）na=31?nana=n3（nN+）61?na=D CaBAann?型（A、B、C、D为常数）特征根法x=D CxBAx? （1）21x x?时，21x ax ann?=C2111x axann? （2）21x x?时，11xa n?=Cx a n?111例6.已知1a=1，1?na=22?nnaa（nN+），求na.解x=22?xx021?xxna1=11?na+C1a=1，2a=32，代入，得C=21?na1为首项为1，d=21的等差数列.na1=21?nna=12?n（nN+）8“已知na，1?na，nS的关系，求na”型型方法构造与转化的方法.例8.已知na的前n项和为nS，且na+2nS（1?nS1?nana）=0（n2），1a=21，求na.解依题意，得nS1?nS+2nS1?nS=0nS111?nS=2nS1=+2（n）=2nnS=n21，1?nS=)1(21?nna=nS-1?nS=2n21)1(21?n=)1(21nn?（2?n）na=?)2,()1 (21)1(21nNnn nn练一练1a n是首项a11，公差为d3的等差数列，如果a nxx，则序号n等于()A667B668C669D6702在各项都为正数的等比数列a n中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5()A33B72C84D1893如果a1，a2，?，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则()Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a54已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则mn等于()A1B43C21D835等比数列a n中，a29，a5243，则a n的前4项和为().A81B120C168D1926若数列a n是等差数列，首项a10，axxaxx0，axxaxx0，则使前n项和S n0成立的最大自然数n是()A4005B4006C4007D40087已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列,则a2()A4B6C8D108设S n是等差数列an的前n项和，若35aa95，则59SS()A1B1C2D219已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则212ba a?的值是()1C解析由题设，代入通项公式ana1(n1)d，即xx13(n1)，n6992C解析本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列an的公比为q(q0)，由题意得a1a2a321，即a1(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合题意，舍去)，a3a4a5a1q2(1qq2)3227843B解析由a1a8a4a5，排除C又a1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d12d2a1a84C解析解法1设a141，a241d，a3412d，a4413d，而方程x22xm0中两根之和为2，x22xn0中两根之和也为2，a1a2a3a416d4，d21，a141，a447是一个方程的两个根，a143，a345是另一个方程的两个根167，1615分别为m或n，mn21，故选C解法2设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x4n由等差数列的性质若?spq，则a?a sapaq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x247，于是可得等差数列为41，43，45，47，m167，n1615，mn215B解析a29，a5243，25aaq3924327，q3，a1q9，a13，S43133522401206B解析解法1由axxaxx0，axxaxx0，知axx和axx两项中有一正数一负数，又a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故axxaxx，即axx0，axx0.S40062006400641)(aa20064004xx2)(aa0，S4007xx4(a1a4007)xx42axx0，故4006为S n0的最大自然数.选B解法2由a10，axxaxx0，axxaxx0，同解法1的分析得axx0，axx0，Sxx为S n中的最大值Sn是关于n的二次函数，如草图所示，xx到对称轴的距离比xx到对称轴的距离小，xx4在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得400