数列求和总结归纳

数列求和总结归纳 数列专题复习二数列求和（教师版）班别姓名学号1.基本公式法?1等差数列求和公式?11122nnn aan nSnad?2等比数列求和公式?1?111,11,11nnnnaqSaqaa qqqq?3*?2221121216nn nn?；?4*?23333112314nn n?；2.错位相消法给12nnSaaa?各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和nS.一般适应于数列?n nab的前n向求和，其中?n a成等差数列，?nb成等比数列。 3.分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。 4.拆项（裂项）求和把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有?1若?n a是公差为d的等差数列，则111111nnnna ada?a?；?2?1111212122?121nnnn?；?3*?1111122112n nnn nnn?；?4?11ababab?；?5*?111nnknkn?；5.倒序相加法根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。 6导数法灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答.7.递推法.8.奇偶分析法.一基本公式法例1?13742222n?练1?988522?2?n=练2.1232332323?二错位相消法例).0()1?2(531:112?aanaaSnn?求和.)1()1 (21)12(1,1)1 (2)12 (1)12() (21)(1?a?)1?2n()322a(53)1a2(n531?01a.21)12(1)12(5311211113222aaaaanSaaaannaaSaan?aaaSanaaS?aannnnSannnnnnnnnnnnn?得时，当时，解当例2已知数列n a满足,2)32()1?2(3121nnnbnanaa数列?的前n项和nnnnWnbannS项和的前求数列.222?.解当),12 (22)52 (2)32()1?2(,21?nnnannnnnn时;14,2.4)2(2,4?;2111?n?SSbnanaaannnnnnn时当得而而.)2(1?41,111?nnbbbn得)1?4 (215211272),14(211272?443232?nsnWnnn?记)1?4 (2)54(2112722143?nnsnn?，得)1?4 (2)222(428143?nsnn?).54 (2),54 (24),45 (24)1?4 (2)1?n2(322811112?nWsnnnnnnnn得练1.已知数列.,)109()1(nnnnSnana项和的前求?解.nnnbna)109(,1?为等差数列?为等比数列，应运用错位求和方法.)109()10 (999),10()109 (1099)109()1()109(1108159)109()1()109()109()109(59101:,)109()1()109 (3)109(2109;)109()1()109(31092111321322nnnnnnnnnnnnnSnnnSnSnS?两式相减得练2.已知数列nnnb4249?，求数列nb的前n项和n T。 解2113242294,44nnnT?112294413,244nnnT?两式相减得12321949414199n941941n9313138,244424221nnnnnnnnT?故2321813.332?2nnnnT?三分组求和法例1求数列1,?,6,4,2nnnnnn?,前n项的和.例2.已知数列na的通项65()2()nnnnan?为奇数为偶数，求其前n项和n S练1.数列?815,413,211的前n项和为练2.已知nSnn?1)1(654321?.求n S.解.当n为正奇数时，2121)1()2()43()21(?nnnnnnSn?当n为正偶数时，2)1?()43()21(nnnSn?综上知?2n?) (2)(1为正偶数为正奇数nnnSn，注意按n的奇偶性讨论！练3.已知等比数列432,aaaan中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641?qa公比（）求n a；（）设nnab2log?，求数列.|nnTnb项和的前解析（I）依题意032),(32244342?aaaaaaa即03213131?qaqaqa21101322?qqqq或211?qq?1)21(64?nn a故（II）nbnnn?72log)21(64log7212?7777|nnnnbn nnnnTbnn)13(2?)76(,6|,71?时当2)7)(6 (212)7)(71(,1|,778?nnnnTTbnn时当?)7 (212)7)(6()7 (2)13(nnnnnnTn练4*.求数列5，55，555，555的前n项和Sn5解因为555=)1?10(9n所以Sn=5+55+555+5555?=?)110()1?10()110(92?nnn=?1nn10)110(1095=815095108150?nn四裂项相消法例1.数列n a的前n项和为n S，且满足,)1(2,11nnanSa?（I）求n a与1?n a的关系式，并求n a的通项公式；（II）求和.1111112n12322?naaaW?解（I）),2(1,2)1(2111?nannanaSanSnnnnnn两式相减得?;,12211122111nannnnnaaaaaaaannnnnn?（II）)4121()311 (21)2(1531421311?nnWn?.21112321)211()5131(?nnnn?练 1、设数列na的前n项和为n S，点(,)()nSnnNn?均在函数y3x2的图像上. （1）求数列na的通项公式； （2）设16?nnnaab，nT是数列nb的前n项和，求使得10nmT?对所有nN?都成立的最小正整数m.练2.求数列2112?，2124?，2136?，2148?，的前n项和nS.练3.已知数列n a的通项公式)12)(12()2(2?nnnan，求它的前n项和.例2设9)(2?xxf （1）若;),2(),(,111nnnunufuu求? （2）若;,3,2,1?,11nnkkkSnakuua项和的前求数列?解 （1）),2(912n2n12n1unuuu?是公差为9的等差数列，,89,0,892n?nuununn? （2）),8919(9119891?kkkkak);119 (91)8919()1019()1?10(91?nnnSn?练 4、数列na的通项公式是1()1nanNnn?，若前n项和为10，则项数n为()A11B99C120D121练5.12121531311:?nnSn?求和),2,1?)(1212(2112121nkkkkkak?解).112 (21)1212()35()1?3(21?nnnSn?五倒序相加法例1求和222222222222110108339221011?得解5S1011388299110?10211010283392210112222222222222222222222?SS练1.设221)(xx?xf?，求)4(f)3(f)2(f)()()(213141fff?；).xx()xx()2(f)()()()(2131xx1xx1ffffff?【解题思路】观察)(xf及?xf1的特点，发现1)1x()(?fxf.【解析】?221)(xx?xf?，?1)1x()(?fxf.441)4(f)3(f)2(f)()()(213141?fff原式xx)1xx(1?练2.函数f(x)对任意x?R都有1()f x (1)2fx? （1）求1()2f的值； （2）数列an满足na= (0)f+)1()1()2()1(fnnfnfnf?，数列?na是等差数列吗？请给予证明. （3）令.1632,1442n232221nSbbbbTabnnnn?试比较nT与nS的大小解 （1）因为211)21()21()211()21(?ffff所以41)21(?f2分 （2）令nx1?，得211)11()1(?nfn1f，即21)1()(?n?nfnf4分)1()()()0(fnnfnffan?,又)0(f)1()1()1(fnfnnfan?两式相加（倒序求和！）21)0(f)1(f)1()1()1(f)0(f2?n?nnfnfan?7分所以1,4nnanN?，又41414111?nnaann故数列an是等差数列9分44? （3）nabnn14?,2n2221nbbbT?)131211(16222n?)1(1321211116?nn?12分)111()3121()211(116nn?n Snn?1632)12(16,所以nnST?14分六观察规律法 1、数列1，31，31，31，51，51，51，51，51，71的前100项之和为_。 2、求和22222210099989721?=_。 3.若数列na的各项按如下规则排列1121231234,233444555512,nn1,?n?n则15?a;1nn?是第项4将正偶数集合2，4，6，从小到大按第n组有216，18，第一组、第二组、第三组，则xx位于第组。 A30B31C32D331n?个偶数进行分组，2，4，6，8，10，12，14，.（07江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵12345678910按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为6.（xx北京卷第14题）已知n次多项式1011()nnnnnP xaxa xaxa?,如果在一种算法中，计算0kx（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算30()P x的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()nP x的值共需要次运算下面给出一种减少运算次数的算法0011(),()x()kkkP xaPxP xa?（k0，1，2，n1）利用该算法，计算30()P x的值共需要6次运算，计算100()Px的值共需要次运算7*.已知数列n a的通项公式,)1(122?nnnan求它的前n项和.解.,)1 (11)1()1?(222222?nnnnnnan?.)1 (11)1(11()1)1?(1()3121()211(22222222?nnnnnSn?8*.设函数),2)(1(,1:n,332)(11?x?nbfbbbxxfnn作数列求和.)1?(11433221?nnnnbbbbbbbbW?解),384(