高中数学必修一知识归纳整理

高中数学必修一知识归纳整理 高中数学必修一知识归纳集合一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。 一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“A包含于B”，或“B包含于A”。 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A?B或B?A，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”。 一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A=B。 一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A?B，读作“A交B”。 一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A?B，读作“A并B”。 如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中补集，记作CuA，读作“A在U中的补集”。 ?（）元素与集合的关系属于（?）和不属于（?）?1?（?集合与元素?2）集合中元素的特性确定性、互异性、无序性?（?3）集合的分类按集合中元素的个数多少分为有限集、无限集、空集?4）集合的表示方法列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（?子集若x?A?x?B，则A?B，即A是B的子集。 ?n n? 1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2个，真子集有(2-1)个。 ? 2、任何一个集合是它本身的子集，即A?A?注?关系? 3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.? 4、空集是任何集合的（真）子集。 ?真子集若A?B且A?B?（即至少存在x0?B但x0?A），则A是B的真子集。 集合?集合相等A?B且A?B?A?B?集合与集合?定义A?B?x/x?A且x?B?交集?性质A?A?A，A?，A?B?B?A，A?B?A,A?B?B，A?B?A?B?A?定义A?B?x/x?A或x?B?并集?性质A?A?A，A?A，A?B?B?A，A?B?A，A?B?B，A?B?A?B?B?运算?Card(A?B)?Card(A)?Card(B)-Card(A?B)?定义C UA?x/x?U且x?A?A?补集?性质?(C UA)?A?，(C UA)?A?U，C U(C UA)?A，C U(A?B)?(C UA)?(C UB)，?C(A?B)?(C A)?(C B)?U UU?1对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的?确定性、互异性、无序性?。 如集合A?x|y?lgx?，B?y|y?lgx?，C?(x,y)|y?lgx?，A、B、C中元素各表示什么？2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 2?x|ax?如集合A?x|x?2x?3?0，B?，若B?A，则实数a的值构成的集合为?1?答?1，0，?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3注意下列性质 （1）集合?a1，a2，a n?的所有子集的个数是2n?1?3? （2）若A?B?A B?A，A B?B；4你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如已知关于x的不等式ax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a的取值范围。 2x?aa3?5?3?M，?0?5?32?a?a?1，?5?5?3?5?M，a?0?52?a?25?9，函数函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个（唯一确定）元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。 这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)。 于是y=f(x)，x称作y的原象。 映射f也可记为fAB，xf(x).其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f(A)。 注意1.“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2.函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。 3.集合A和B是有先后顺序的，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。 4.“有且仅有一个（唯一确定）”意思是一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 构成函数的三要素是定义域、对应关系和值域。 ?构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。 ?两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 区间的概念?区间的分类开区间、闭区间、半开半闭区间?无穷区间?区间的数轴表示如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数。 函数的单调性定义对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, （1）若当x1 （2）若当x1f(x2)，则说f(x)在这个区间上是减函数。 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。 此时也说函数是这一区间上的单调函数。 判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤?任取x1，x2?D，且x1 取值作差变形定号下结论设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x?D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。 设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x?D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。 ?映射定义设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，?在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f?B为从集合A到集合B的一个映射?传统定义如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，?定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。 那么y就是x的函数。 记作y?f(x?近代定义函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ?定义域?函数及其表示函数的三要素值域?对应法则?解析法?函数的表示方法?列表法?图象法?传统定义在区间?a,b?上，若a?x1?x2?b,如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递增,?a,b?是?递增区间；如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递减,?a,b?是的递减区间。 ?单调性?导数定义在区间a,b上，若f(x)?0，则f(x)在?a,b?上递增,?a,b?是递增区间；如f(x)?0?a,b?是的递减区间。 ?则f(x)在?a,b?上递减,?最大值设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 （1）对于任意的x?I，都有f(x)?M；?函数? （2）存在x0?I，使得f(x0)?M。 则称M是函数y?f(x)的最大值函数的基本性质?最值?最小值设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数?N满足 （1）对于任意的x?I，都有f(x)?N；? （2）存在x?I，使得f(x0)?N。 则称N是函数y?f(x)的最小值?0? (1)f(?x)?f(x),x?定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。 ?奇偶性? (2)f(?x)?f(x),x?定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。 ?奇偶函数的定义域关于原点对称?周期性在函数f(x)的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期；?T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期?（?1）描点连线法列表、描点、连线?向左平移?个单位y1?y,x1?a?x?y?f(x?a)?向右平移a个单位y?y,x?a?x?y?f(x?a)?平移变换?向上平移b个单位x1?x,y1?b?y?y?b?f(x)11?向下平移b个单位x1?x,y1?b?y?y?b?f(x)?横坐标变换把各点的横坐标x1缩短（当w?1时）或伸长（当0?w?1时）?到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1?wx?y?f(wx)?伸缩变换?纵坐标变换把各点的纵坐标y伸长（A?1)或缩短（0?A?1)到原来的A倍1?函数图象的画法?（横坐标不变），即y?y/A?y?f(x)?1? （2）变换法?x?x1?2x0x?2x0?x?1?2y0?y?f(2x0?x)?关于点(x0,y0)对称?y?y1?2y0?y1?2y0?y?x?x1?2x0x?2x0?x?关于直线x?x0对称?1?y?f(2x0?x)?y?y1y1?y?对称变换?x?x1x1?x?关于直线y?y对称?2y0?y?f(x)0?y1?y?2y0y1?2y0?y?x?x1?关于直线y?x对称?y?f?1(x)?y?y1? 一、函数的定义域的常用求法 1、分式的分母不等于零； 2、偶次方根的被开方数大于等于零； 3、对数的真数大于零； 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； 5、三角函数正切函数y?tan x中x?k?(k?Z)；余切函数y?cot x中；2? 6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 三、函数的值域的常用求法 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法； 7、直接法 四、函数的最值的常用求法 1、配方法； 2、换元法； 3、不等式法； 4、几何法； 5、单调性法 五、函数单调性的常用结论 1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)?g(x)在这个区间上也为增（减）函数 2、若f(x)为增（减）函数，则?f(x)为减（增）函数 3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?fg(x)是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则y?fg(x)是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论 1、如果一个奇函数在x?0处有定义，则f (0)?0，如果一个函数y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)?0（反之不成立） 2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 4、两个函数y?f(u)和u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为11f(x)?f(x)?f(?x)?f(x)?f(?x)22，该式的特点是右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 函数y=kx+b（k?0）叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R。 一次函数y=kx+b（k?0）的图象是直线，以后简写为直线y=kx+b，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。 一次函数又叫做线性函数。 函数y=ax2+bx+c（a?0）叫做二次函数，它的定义域是R。 函数的应用?零点对于函数y?f（x）,我们把使f(x)?0的实数x叫做函数y?f(x)的零点。 ?定理如果函数y?f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0,?零点与根的关系?那么，函数y?f(x)在区间a,b内有零点。 即存在c?(a,b),使得f(c)?0,这个c也是方?程f(x)?0的根。 （反之不成立）?关系方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)有零点?函数y?f(x)的图象与x轴有交点? (1)确定区间a,b,验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?；函数与方程? (2)求区间(a,b)的中点c;?函数的应用? (3)计算f(c)；?二分法求方程的近似解若f(c)?0,则c就是函数的零点；?若f(a)?f(c)?0,则令b?（此时零点c x?(a,b)）；?0?若f(c)?f(b)?0,则令a?（此时零点c x?(c,b)）；?0? (4)判断是否达到精确度?即若a-b?,则得到零点的近似值a(或b);否则重复2?4。 ?几类不同的增长函数模型?函数模型及其应用?用已知函数模型解决问题?建立实际问题的函数模型?基本初等函数整数指数a n叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。 并规定a1=a。 n必须是正整数，所以这样的幂叫做正整指数幂。 正整指数幂的运算满足如下法则am?an?am?n(am)n?amn(ab)n?an bnam?am?n(m?n,a?0)na分数指数正数的分数指数幂的意义规定a?na(a?0)ma?nam(a?0,m,n?N*,且为既约分数)nmn1n负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可以定义为a?mn?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,且m为既约分数)n0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂有理数指数幂运算性质 （1）ar?ar?ar?s(a?0,r,s?Q)；(a?0,r,s?Q)； （2）(a r)s?a rs （3）(ab)r?a ra s(a?0,b?0,r?Q)根式的概念一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用符号na表示式子na叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成na（a0）由此可得负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0?0表1定义域值域指数函数y?ax?a?0,a?1?x?R对数数函数y?log a x?a?0,a?1?x?0,?y?R y?0,?图象过定点(0,1)?减函数增函数减函数过定点(1,0)增函数x?(?,0)时，y?(1,?)x?(?,0)时，y?(0,1)x?(0,?)时，y?(1,?)x?(0,?)时，y?(0,1)性质x?(0,1)时，y?(0,?)x?(1,?)时，y?(?,0)x?(0,1)时，y?(?,0)x?(1,?)时，y?(0,?)a?b底数越小越接近坐标轴a?b底数越大越接近坐标轴a?b底数越小越接近坐标轴a?b底数越大越接近坐标轴表2幂函数y?x?(?R)?p q?00?1?1?1p为奇数q为奇数奇函数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数第一象限性质减函数增函数偶函数（0，1）过定点m na,n为根指数，a为被开方数?根式?n m?a n?a?分数指数幂?r sr?s?a a?a(a?0,r,s?Q)?指数的运算?r s?指数函数?rs?性质?(a)?a(a?0,r,s?Q)?(ab)r?a rb s(a?0,b?0,r?Q)?定义一般地把函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数。 ?指数函数?性质见表1?对数x?log aN,a为底数，N为真数?log a(M?N)?log aM?log aN;?基本初等函数?log aM?log aM?log aN;?.N?对数的运算?性质?n?nlog M;(a?0,a?1,M?0,N?0)?a?log aM?对数函数?log cb?log a b?(a,c?0且a,c?1,b?0)?换底公式?log a?c?对数函数?定义一般地把函数y?log ax(a?0且a?1)叫做对数函数?性质见表1?定义一般地，函数y?x?叫做幂函数，x是自变量，?是常数。 ?幂函数?性质见表2?以10为底的对数叫做常用对数。 换底公式log bN?log aN log ab自然对数以e为底的对数叫做自然对数。 积、商、幂的对数运算法则 （1）log a(MN)=log aM+log aN log a(N1N2N3?N k)=log aN1+log aN2+log aN3+?+log aN k即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。 （2）log a(M)=log aM-log aN N即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。 （3）logaM?=?logaM即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。 幂函数定义一般地，函数y=x a叫做幂函数，x是自变量，a是常数。 幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，+?)都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因1x=1）; 2、在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在(1，+?)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴。 3、幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，值域是否出现在第 二、第三象限内，要看函数的奇偶性，幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。 4、幂函数的定义域的求法可分五种情况，即 （1）?为0； （2）?为正整数； （3）?为负整数； （4）?为正分数； （5）?为负分数。 5、作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象。 6、幂函数y?x(?R)的图象主要分为以下几类? (1)当?=0时，图象是过(1，1)点平行于x轴但抠去(0，1)点的一条“断”直线； (2)当?为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第 一、第二象限及原点。 (3)当?为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第 一、第三象限及原点。 (4)当?为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第 一、第二象限，但不过原点。 (5)当?为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第 一、第二象限，但不过原点。 7、当?0时，幂函数y?x图象一些性质? (1)图象都通过点(1，1)，(0，0)； (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大； (3)在第一象限内，?1时，图象是向下凸的；0 8、当?0时，幂函数y?x图象一些性质? (1)图象都通过点(1，1)； (2)在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的。 反函数当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。 我们称这两个函数互为反函数。 高中数学必修2知识点数轴上的基本公式如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移。 位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称向量。 数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。 平面直角坐标系中的基本公式 1、两点间距离公式设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，B x2,y2）则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2。 2、中点公式设A(x1,y1)，（，M(x,y)是线段AB的中点，x?B x2,y2）x1?x2y?y2,y?122直线与方程 （1）直线的倾斜角定义x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。 特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。 因此，倾斜角的取值范围是0180 （2）直线的斜率定义倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k表示。 即k?tan?。 斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当?0?,90?时，k?0；当?90?,180?时，k?0；当?90?时，k不存在。 过两点的直线的斜率公式k?注意下面四点 (1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90； (2)k与P 1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 y2?y1(x1?x2)x2?x1 （3）直线方程的几种形式点斜式y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?注意当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式y?y1x?x1?y2?y1x2?x1（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?x y?1a截矩式b其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。 一般式Ax?By?C?0（A，B不全为0）注意1各式的适用范围2特殊的方程如平行于x轴的直线y?b（b为常数）；平行于y轴的直线x?a（a为常数）； （5）直线系方程即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系A0x?B0y?C?0（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；（）过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为?A1x?B1y?C1?A2x?B2y?C2?0（?为参数），其中直线l2不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，两直线平行的充要条件l1/l2?k1?k2,b1?b2；两直线垂直的充要条件l1?l2?k1k2?1注意利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 点到直线距离公式一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 （7）两条直线的交点l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0相交A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ?A2x?B2y?C2?0Ax0?By0?CA2?B2方程组无解?l1/l2；方程组有无数解?l1与l2重合圆的方程 1、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程?x?a?2?y?b?2?r2，圆心?a,b?，半径为r；特别的，如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的标准方程就是x2?y2?r2。 （2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0DE?，半径为r?1当D2?E2?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?,?22?2D2?E2?4F当D2?E2?4F?0时，表示一个点；当D2?E2?4F?0时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法一般都采用待定系数法先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断 （1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2?y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为d?Aa?Bb?CA?B22，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交 （2）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2?y?b?2?r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有?0?l与C相离；?0?l与C相切；?0?l与C相交注如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0?yy0?r2去解直线与圆相切的问题，其中?x0,y0?表示切点坐标，r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0?yy0?r2(课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广) 4、圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆C1:?x?a1?2?y?b1?2?r2，C2:?x?a2?2?y?b2?2?R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当d?R?r时，两圆内含；当d?0时，为同心圆。 空间直角坐标系 （1）定义如图，OBCD?D A B C是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA1,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴、y轴、z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 （2）右手表示法令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。 大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这,样也可以决定三轴间的相位置。 （3）任意点坐标表示空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）空间两点的距离公式空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离公式为d(A,B)?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2特别地，点A(x1,y1,z1)到原点O的距离公式为d(O,A)?OA?x2?y22?z2立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示用各顶点字母，如五棱柱ABCDE?ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等P?A BC DE表示用各顶点字母，如五棱锥几何特征侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示用各顶点字母，如五棱台P?ABCDE几何特征上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱定义以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥定义以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台定义用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。 （7）球体定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图定义三视图正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）1S直棱柱侧面积?ch S圆柱侧?2?rh S正棱锥侧面积?chS圆锥侧面积?rl2S正棱台侧面积?1(c1?c2)h2S圆台侧面积?(r?R)?l S圆柱表?2?r?r?l?S圆锥表?r?r?l?S圆台表?r2?rl?Rl?R2? （3）柱体、锥体、台体的体积公式V柱?Sh V圆柱?S h?1V台?(S?SS?S)h32r h V锥?1Sh V圆锥?1?r2h3322?S)h?(r?rR?R)hV圆台?(S?S S1313 （4）球体的表面积和体积公式V球=4?R；S球面=4?R 2334、空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面平面的概念A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；平面的表示通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。 点与平面的关系点A在平面?内，记作A?；点A不在平面?内，记作A?点与直线的关系点A的直线l上，记作Al；点A在直线l外，记作A?l；直线与平面的关系直线l在平面内，记作l?；直线l不在平面内，记作l?。 （2）公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线）应用检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1A?l,B?l,A?,B?l? （3）公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理2及其推论作用它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据 （4）公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号平面和相交，交线是a，记作a。 符号语言P?AB?AB?l,P?l公理3的作用它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系交线必过公共点。 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 （5）公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系异面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线异面直线性质既不平行，又不相交。 异面直线判定过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线所成角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa，bb，则把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明 （1）判定空间直线是异面直线方法根据异面直线的定义；异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 （3）求异面直线所成角步骤A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角 （7）等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点三种位置关系的符号表示a?aA a （9）平面与平面之间的位置关系平行没有公共点；相交有一条公共直线。 b 5、空间中的平行问题 （1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行?线面平行线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 线面平行?线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行）， （2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行面面平行）， （3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线线平行） 6、空间中的垂直问题 （1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 线面垂直如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。 平面和平面垂直如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 （2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 面面垂直的判定定理和性质定理判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 7、空间角问题 （1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角规定为0?。 两条相交直线所成的角两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 两条异面直线所成的角过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a?,b?，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 （2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角规定为0?。 平面的垂线与平面所成的角规定为90?。 平面的斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息 （1）斜线上一点到面的垂线； （2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 （3）二面角和二面角的平面角二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角高一数学必修3公式总结1算法初步秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。 一般地，一元n次多项式的求值需要经过n（n+1）/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。 对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法表达式如下a nx n?a n?1x n?1?.?a1?a nx?a n?1?x?a n?2?x?.?x?a2?x?a1654323x?4x?5x?6x?7x?8x?1,当x?0.4时,例题秦九韶算法计算多项式需要做几次加法和乘法运算?答案6，6即:?3x?4?x?5?x?6?x?7?x?8?x?1?理解算法的含义一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，如广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法(algorithm)1.描述算法有三种方式自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.2.算法的特征有限性算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去确定性算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。 没有输出的算法是无意义的。 可行性算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度3.算法含有两大要素操作算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构。 ?流程图（flow chart）:是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。 注意1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯。 2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。 3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一